【正文】 第 4 講 平面向量應(yīng)用舉例 A 級(jí) 基礎(chǔ)演練 (時(shí)間： 30 分鐘 滿分： 55 分 ) 一、選擇題 (每小題 5 分，共 20 分 ) 1． (2020西安 模擬 )已知 a＝ (1， sin2x)， b＝ (2， sin 2x)，其中 x∈ (0， π)．若 |ab|＝ |a||b|，則 tan x 的值等于 ( )． A． 1 B．－ 1 C. 3 D. 22 解析 由 |ab|＝ |a||b|知， a∥ b. 所以 sin 2x＝ 2sin2x，即 2sin xcos x＝ 2sin2x，而 x∈ (0， π)， 所以 sin x＝ cos x，即 x＝ π4，故 tan x＝ 1. 答案 A 2． (2020九江模擬 )若 |a|＝ 2sin 15176。， |b|＝ 4cos 15176。， a 與 b 的夾角為 30176。，則 ab的值是 ( )． A. 32 B. 3 C． 2 3 解析 ab＝ |a||b|cos 30176。＝ 8sin 15176。cos 15176。 32 ＝ 4 sin 30176。 32 ＝ 3. 答案 B 3.(2020哈爾濱模擬 )函數(shù) y＝ tanπ4x－ π2的部分圖象如圖所示，則(OA→ ＋ OB→ )AB→ ＝ ( )． A． 4 B． 6 C． 1 D． 2 解析 由條件可得 B(3,1)， A(2,0)， ∴ (OA→ ＋ OB→ )AB→ ＝ (OA→ ＋ OB→ )(OB→ － OA→ )＝ OB→ 2－ OA→ 2＝ 10－ 4＝ 6. 答案 B 4．在 △ ABC 中， ∠ BAC＝ 60176。， AB＝ 2， AC＝ 1， E， F 為邊 BC 的三等分點(diǎn)，則 AE→ AF→ ＝ ( )． 解析 法一 依題意，不妨設(shè) BE→ ＝ 12E C→ ， BF→ ＝ 2F C→ ， 則有 AE→ － AB→ ＝ 12(AC→ － AE→ )，即 AE→ ＝ 23AB→ ＋ 13AC→ ； AF→ － AB→ ＝ 2(AC→ － AF→ )， 即 AF→ ＝ 13A B→ ＋ 23A C→ . 所以 AE→ AF→ ＝ ??? ???23A B→ ＋ 13A C→ ??? ???13A B→ ＋ 23A C→ ＝ 19(2A B→ ＋ AC→ )(AB→ ＋ 2A C→ ) ＝ 19(2A B→ 2＋ 2A C→ 2＋ 5A B→ AC→ ) ＝ 19(2 22＋ 2 12＋ 5 2 1 cos 60176。)＝ 53，選 A. 法二 由 ∠ BAC＝ 60176。， AB＝ 2， AC＝ 1可得 ∠ ACB＝ 90176。， 如圖建立直角坐標(biāo)系，則 A(0,1)， E??? ???－ 2 33 ， 0 ， F??? ???－ 33 ， 0 ， ∴ AE→ AF→ ＝ ??? ???－ 2 33 ，－ 1 ??? ???－ 33 ，－ 1 ＝ ??? ???－ 2 33 ??? ???－ 33 ＋ (－ 1)(－ 1)＝ 23＋ 1＝ 53，選 A. 答案 A 二、填空題 (每小題 5 分，共 10 分 ) 5． (2020溫州適應(yīng)性測試 )在平行四邊形 ABCD 中 ，已知 AB＝ 2， AD＝ 1， ∠BAD＝ 60176。， E 為 CD 的中點(diǎn)，則 AE→ BD→ ＝ ________. 解析 AE→ BD→ ＝ ??? ???AD→ ＋ 12DC→ ( BA→ ＋ BC→ )＝ (AD→ ＋ 12D C→ )(AD→ － DC→ )＝ AD→ 2－ 12DC→ AD→ － 12DC→ 2＝ 1－ 12 1 2cos 60176。－12 4＝－32. 答案 － 32 6． (2020東北三校一模 )設(shè) △ ABC 的內(nèi)角 A， B， C 所對(duì)的邊分別為 a， b， c，若 (3b－ c)cos A＝ acos C， S△ ABC＝ 2，則 BA→ AC→ ＝ ________. 解析 依題意得 (3sin B－ sin C)cos A＝ sin Acos C， 即 3sin Bcos A＝ sin Acos C＋ sin Ccos A＝ sin(A＋ C)＝ sin B0， 于是有 cos A＝ 13， sin A＝ 1－ cos2A＝ 2 23 ， 又 S△ ABC＝ 12bcsin A＝ 12bc 2 23 ＝ 2， 所以 bc＝ 3， BA→ AC→ ＝ bccos(π－ A)＝－ bccos A＝－ 3 13＝－ 1. 答案 － 1 三、解答題 (共 25 分 ) 7． (12 分 )已知圓 C： (x－ 3)2＋ (y－ 3)2＝ 4 及點(diǎn) A(1,1)， M 是圓 C 上的任意一點(diǎn)，點(diǎn) N 在線段 MA 的延長線上，且 MA→ ＝ 2A N→ ，求點(diǎn) N 的軌跡方程． 解 設(shè) M(x0， y0)、 N(x， y)．由 MA→ ＝ 2A N→ ，得 (1－ x0,1－ y0)＝ 2(x－ 1， y－ 1)， ∴ ??? x0＝ 3－ 2x，y0＝ 3－ 2y. ∵ 點(diǎn) M(x0， y0)在圓 C 上， ∴ (x0－ 3)2＋ (y0－ 3)2＝ 4， 即 (3－ 2x－ 3)2＋ (3－ 2y－ 3)2＝ 4.∴ x2＋ y2＝ 1. ∴ 所求點(diǎn) N 的軌跡方程是 x2＋ y2＝ 1. 8． (13 分 )(2020北京海淀模擬 )在 △ ABC 中，角 A， B， C 的對(duì)邊分別為 a， b，c，若 AB→ AC→ ＝ BA→ BC→ ＝ k(k∈ R)． (1)判斷 △ ABC 的形狀； (2)若 c＝ 2，求 k 的值． 解 (1)∵ AB→ AC→ ＝ cbcos A， BA→ BC→ ＝ cacos B， 又 AB→ AC→ ＝ BA→ BC→ ， ∴ bccos A＝ accos B， ∴ sin Bcos A＝ sin Acos B， 即 sin Acos B－ sin Bcos A＝ 0， ∴ sin(A－ B)＝ 0， ∵ － π＜ A－ B＜ π， ∴ A＝ B，即 △ ABC 為等腰三角形． (2)由 (1)知， AB→ AC→ ＝ bccos A＝ bcb2＋ c2－ a22bc ＝c22 ＝ k， ∵ c＝ 2， ∴ k＝ 1. B級(jí) 能力突破 (時(shí)間： 30 分鐘 滿分： 45 分 ) 一、選擇題 (每小題 5 分，共 10 分 ) 1． (2020安慶二模 )在 △ ABC 中， a， b， c 分別為角 A， B， C 所對(duì)應(yīng)的三角形的邊長，若 4aBC→ ＋ 2bC A→ ＋ 3cA B→ ＝ 0，則 cos B＝ ( )． A．－ 1124 D．－ 2936 解析 由 4aB C→ ＋ 2bC A→ ＋ 3cA B→ ＝ 0，得 4aB C→ ＋ 3cA B→ ＝－ 2bC A→ ＝－ 2b(BA→ － BC→ )＝ 2bA B→ ＋ 2bB C→ ， 所以 4a＝ 3c＝ 2b. 由余弦定理得 cos B＝ a2＋ c2－ b22ac ＝b24＋49b2－ b22b223b＝－ 1124. 答案 A 2． (2020鄭州三模 )△ ABC 的外接圓圓心為 O，半徑為 2， O A→ ＋ AB→ ＋ AC→ ＝ 0，且 |OA→ |＝ |AB→ |，則 CA→ 在 CB→ 方向上的投影為 ( )． A． 1 B． 2 C. 3 D． 3 解析 如圖，由題意可設(shè) D為 BC 的中點(diǎn)，由 OA→＋ AB→ ＋ AC→ ＝ 0，得 OA→ ＋ 2A D→ ＝ 0，即 A O→ ＝2A D→ ， ∴ A， O， D 共線且 |A O→ |＝ 2|AD→ |，又 O為 △ ABC 的外心， ∴ AO為 BC 的中垂線， ∴ |AC→ |＝ |AB→ |＝ |OA→ |＝ 2， |AD→ |＝ 1， ∴ |CD→ |＝ 3， ∴ CA→ 在 CB→ 方向上的投影為 3. 答案 C 二、填空題 (每小題 5 分，共 10 分 ) 3．已知向量 a＝ (x－ 1,2)， b＝ (4， y)，若 a⊥ b，則 9x＋ 3y 的最小值為 ________． 解析 若 a⊥ b，則 4(x－ 1)＋ 2y＝ 0，即 2x＋ y＝ 2. 9x＋ 3y＝ 32x＋ 3y≥ 2 32x＋ y＝ 2 32＝ 6. 當(dāng)且僅當(dāng) x＝ 12， y＝ 1時(shí)取得最小值． 答案 6 4． (2020山西大學(xué)附中月考 )已知 |a|＝ 2|b|≠ 0，且關(guān)于 x 的函數(shù) f(x)＝ 13x3＋ 12|a|x2＋ abx 在 R 上有極值，則 a 與 b 的夾角范圍為 ________． 解析 由題意得： f′ (x)＝ x2＋ |a|x＋ ab必有可變號(hào)零點(diǎn)，即 Δ＝ |a|2－ 4ab0，即 4|b|2－ 8|b|2cos〈 a， b〉 0，即－ 1≤ cos〈 a， b〉 a與 b的夾角范圍為 ??? ???π3， π . 答案 ??? ???π3， π 三、解答題 (共 25 分 ) 5． (12 分 )在 △ ABC 中，內(nèi)角 A， B， C 的對(duì)邊分別為 a， b， c，向量 m＝ (2sin B，－ 3)， n＝ ??? ???cos 2B， 2cos2B2－ 1 且 m∥ n. (1)求銳角 B 的大小； (2)如果 b＝ 2，求 S△ ABC 的最大值． 解 (1)∵ m∥ n， ∴ 2sin B??? ???2cos2B2－ 1 ＝－ 3cos 2B， ∴ sin 2B＝－ 3cos 2B，即 tan 2B＝－ 3. 又 B 為銳角， ∴ 2B∈ (0， π)， ∴ 2B＝ 2π3 ， ∴ B＝ π3. (2)∵ B＝ π3， b＝ 2，由余弦定理 cos B＝ a2＋ c2－ b22ac ， 得 a2＋ c2－ ac－ 4＝ a2＋ c2≥ 2ac，代入上式， 得 ac≤ 4(當(dāng)且僅當(dāng) a＝ c＝ 2 時(shí)等號(hào)成立 )． S△ ABC＝ 12acsin B＝ 34 ac≤ 3(當(dāng)且僅當(dāng) a＝ c＝ 2 時(shí)等號(hào)成立 )，即 S△ ABC 的最大值為 3. 6． (13 分 )(2020南通模擬 )已知向量 m＝ ??? ???3sin x4， 1 ， n＝ ??? ???cos x4， cos2 x4 . (1)若 mn＝ 1，求 cos??? ???2π3 － x 的值； (2)記 f(x)＝ mn，在 △ ABC 中，角 A， B， C 的對(duì)邊分別是 a， b， c，且滿足(2a－ c)cos B＝ bcos C，求函數(shù) f(A)的取值范圍． 解 (1)mn＝ 3sin x4cos x4＋ cos2 x4 ＝ 32 sin x2＋1＋ cos x22 ＝ sin??????x2＋π6 ＋12， ∵ mn＝ 1， ∴ sin??? ???x2＋ π6 ＝ 12. cos??? ???x＋ π3 ＝ 1－ 2sin2??? ???x2＋ π6 ＝ 12， cos??? ???2π3 － x ＝－ cos??? ???x＋ π3 ＝－ 12. (2)∵ (2a－ c)cos B＝ bcos C， 由正弦定理得 (2sin A－ sin C)cos B＝ sin Bcos C， ∴ 2sin Acos B－ sin Ccos B＝ sin Bcos C. ∴ 2sin Acos B＝ sin(B＋ C)． ∵ A＋ B＋ C＝ π， ∴ sin(B＋ C)＝ sin A≠ 0. ∴ cos B＝ 12， ∵ 0＜ B＜ π， ∴ B＝ π3， ∴ 0＜ A＜ 2π3 . ∴ π6＜ A2＋ π6＜ π2， sin??? ???A2＋ π6 ∈ ??? ???12， 1 . 又 ∵ f(x)＝ sin??? ???x2＋ π6 ＋ 12， ∴ f(A)＝ sin??? ???A2＋ π6 ＋ 12. 故函數(shù) f(A)的取值范圍是 ??? ???1， 32 . 以下是附加文檔，不需要 的朋友下載后刪除，謝謝 頂崗實(shí)習(xí)總結(jié)專題 13 篇 第一篇 :頂崗實(shí)習(xí)總結(jié) 為了進(jìn)一步鞏固理論知識(shí)，將理論與實(shí)踐有機(jī)地結(jié)合起來，按照學(xué)校的計(jì)劃要求，本人