【正文】 167。 三角形及其全等 中考數(shù)學(xué) (山東專用 ) A組 2022— 2022年山東中考題組 考點(diǎn)一 三角形的相關(guān)概念及邊角性質(zhì) 五年中考 1.(2022聊城 ,10,3分 )如圖 ,將一張三角形紙片 ABC的一角折疊 ,使點(diǎn) A落在△ ABC外的 A39。處 ,折 痕為 ∠ A=α,∠ CEA39。=β,∠ BDA39。=γ,那么下列式子中正確的是 ? ( ) ? =2α+β =α+2β =α+β =180176。αβ 答案 A 設(shè) DA39。交 AC于點(diǎn) F,經(jīng)過折疊 ,∠ A39。=∠ A=α,由三角形的外角定理 ,∠ A39。FC=∠ CEA39。+∠ A39。=α+β,∠ BDF=∠ A+∠ AFD=α+α+β,即 γ=2α+β,故選 A. 2.(2022棗莊 ,4,3分 ) 如圖 ,在△ ABC中 ,AB=AC,∠ A=30176。,E為 BC延長線上一點(diǎn) ,∠ ABC與 ∠ ACE的平分線相交于點(diǎn) D, 則 ∠ D等于 ? ( ) 176。 176。 176。 176。 審題技巧 在求與三角形有關(guān)的角度問題時(shí) ,常常要用到三角形的內(nèi)角和等于 180176。,或三角形 的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和 . 答案 A ∵ BD平分 ∠ ABC,CD平分 ∠ ACE, ∴∠ DBE=? ∠ ABC,∠ DCE=? ∠ ACE,又 ∵∠ DCE∠ DBE=∠ D,∠ ACE∠ ABC=∠ A,∴∠ D=? ∠ A=? 30176。=15176。,故選擇 A. 12 12 12123.(2022濱州 ,7,3分 )在△ ABC中 ,∠ A∶∠ B∶∠ C=3∶ 4∶ 5,則 ∠ C等于 ? ( ) 176。 176。 176。 176。 答案 C ∵ 三角形內(nèi)角和是 180176。,∴∠ C=180176。? =75176。,故選 C. 5345??一題多解 本題也可以根據(jù)比例設(shè)未知數(shù) ,列方程求解 .設(shè) ∠ A=3x176。,∠ B=4x176。,∠ C=5x176。,則 3x+4x +5x=180,解得 x=15,∴ 5x=75,即 ∠ C=75176。. 4.(2022青島 ,4,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,∠ C=90176。,∠ B=30176。,AD是△ ABC的角平分線 ,DE⊥ AB,垂足 為 E,DE=1,則 BC=? ( ) ? A.? D.? +2 3 3答案 C ∵ DE⊥ AB,∠ B=30176。,∴ BD=2DE=2, ∵ DC⊥ AC,DE⊥ AB,AD是 ∠ BAC的平分線 , ∴ DC=DE=1, ∴ BC=BD+DC=2+1= C. 思路分析 根據(jù)“在直角三角形中 ,如果一個(gè)銳角等于 30176。,那么它所對的直角邊等于斜邊的 一半”可求得 BD的長 ,再根據(jù)“角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等”可得到 DE= DC,從而可求出 BC的長 . 考點(diǎn)二 全等三角形 1.(2022臨沂 ,11,3分 )如圖 ,∠ ACB=90176。,AC=BC,AD⊥ CE,BE⊥ CE,垂足分別是點(diǎn) D,E,AD=3,BE= 1,則 DE的長是 ? ( ) ? A.? ? D.? 32 210答案 B ∵ AD⊥ CE,BE⊥ CE,∴∠ ADC=∠ CEB=90176。,∠ DAC+∠ DCA=90176。,∵∠ ACB=90176。,∴ ∠ ECB+∠ DCA=90176。,∴∠ DAC=∠ ECB,∵ AC=CB,∴ △ ACD≌ △ CBE,∴ AD=CE=3,CD=BE=1, ∴ DE=CECD=31=2. 思路分析 通過證明△ ACD與△ CBE全等 ,得到 AD=CE,CD=BE,然后利用線段的和差計(jì)算 DE 的長 . 2.(2022泰安 ,18,3分 )如圖 ,在△ PAB中 ,PA =PB,M,N,K分別是邊 PA ,PB,AB上的點(diǎn) ,且 AM=BK,BN= AK,若 ∠ MKN=44176。,則 ∠ P的度數(shù)為 ? ( ) ? 176。 176。 176。 176。 答案 D ∵ PA =PB,∴∠ A=∠ ∵ BK=AM,BN=AK,∴ △ AKM≌ △ BNK(SAS),∴∠ AMK=∠ BKN,∵∠ MKN+∠ BKN=∠ A+∠ AMK,∴∠ A=∠ MKN,∵∠ MKN=44176。,∴∠ A=44176。,∴∠ P=180176。2 ∠ A=180176。244176。=92176。.故答案為 D. 思路分析 通過題中所給的條件 AM=BK,BN=AK,以及由 PA =PB,可得 ∠ A=∠ B,得到△ AKM≌ △ BNK,所以對應(yīng)角相等 ,再利用三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和 ,便可求出 ∠ A 與 ∠ MKN相等 ,最后由三角形的內(nèi)角和等于 180176。,求出 ∠ P的度數(shù) . 3.(2022威海 ,10,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,∠ B=∠ C=36176。,AB的垂直平分線交 BC于點(diǎn) D,交 AB于點(diǎn) H. AC的垂直平分線交 BC于點(diǎn) E,交 AC于點(diǎn) AD, ? ( ) ? A.? =? ,AE將 ∠ BAC三等分 C.△ ABE≌ △ ACD △ ADH=S△ CEG BDBC512?答案 A ∵∠ B=∠ C=36176。,∴ AB=AC,∠ BAC=108176。, ∵ DH垂直平分 AB,EG垂直平分 AC, ∴ DB=DA,EA=EC, ∴∠ B=∠ DAB=∠ C=∠ CAE=36176。,∴∠ BAD=∠ BCA, 又 ∵∠ B=∠ B,∴ △ BDA∽ △ BAC, ∴ ? =? , ∵∠ ADC=∠ B+∠ BAD=72176。,∠ DAC=∠ BAC∠ BAD=72176。, ∴∠ ADC=∠ DAC, ∴ CD=CA=BA, ∴ BD=BCCD=BCAB, 則 ? =? =? , 易求得 ? =? =? ,故 A錯(cuò)誤 。 ∵∠ BAC=108176。,∠ DAB=∠ CAE=36176。, BDBAC BABA?512?∴∠ DAE=∠ BAC∠ DAB∠ CAE=36176。, 即 ∠ DAB=∠ DAE=∠ CAE=36176。, ∴ AD,AE將 ∠ BAC三等分 ,故 B正確 。 ∵∠ BAE=∠ BAD+∠ DAE=72176。,∠ CAD=∠ CAE+∠ DAE=72176。, ∴∠ BAE=∠ CAD, 在△ BAE和△ CAD中 ,? ∴ △ BAE≌ △ CAD,故 C正確 。 由△ BAE≌ △ CAD可得 S△ BAE=S△ CAD, 即 S△ BAD+S△ ADE=S△ CAE+S△ ADE, ∴ S△ BAD=S△ CAE, 又 ∵ DH垂直平分 AB,EG垂直平分 AC, ∴ S△ ADH=? S△ ABD,S△ CEG=? S△ CAE, ∴ S△ ADH=S△ CEG,故 D正確 ,故選 A. ,BCA B A CB A E C A D? ? ?????? ? ? ??12 124.(2022菏澤 ,17,6分 )如圖 ,AB∥ CD,AB=CD,CE= DF與 AE的數(shù)量關(guān)系 ,并證明你的結(jié) 論 . ? 解析 DF=AE. 證明 :∵ AB∥ CD,∴∠ C=∠ B.∵ CE=BF,∴ CEEF=BFFE,∴ CF= ∵ CD=AB,∴ △ DCF≌ △ ABE(SAS),∴ DF=AE. 思路分析 由已知條件易證△ DCF≌ △ ABE(SAS),可得 DF=AE. 5.(2022臨沂 ,25,11分 )數(shù)學(xué)課上 ,張老師出示了問題 :如圖 1,AC、 BD是四邊形 ABCD的對角線 ,若 ∠ ACB=∠ ACD=∠ ABD=∠ ADB=60176。,則線段 BC,CD,AC三者之間有何等量關(guān)系 ? 經(jīng)過思考 ,小明展示了一種正確的思路 :如圖 2,延長 CB到 E,使 BE=CD,連接 AE,證得△ ABE≌ △ ADC,從而容易證明△ ACE是等邊三角形 ,故 AC=CE,所以 AC=BC+CD. ? 小亮展示了另一種正確的思路 :如圖 3,將△ ABC繞著點(diǎn) A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60176。,使 AB與 AD重合 ,從而 容易證明△ ACF是等邊三角形 ,故 AC=CF,所以 AC=BC+CD. 在此基礎(chǔ)上 ,同學(xué)們作了進(jìn)一步的研究 : (1)小穎提出 :如圖 4,如果把“ ∠ ACB=∠ ACD=∠ ABD=∠ ADB=60176?！备臑椤?∠ ACB=∠ ACD=∠ ABD=∠ ADB=45176。” ,其他條件不變 ,那么線段 BC,CD,AC三者之間有何等量關(guān)系 ?針對小穎提 出的問題 ,請你寫出結(jié)論 ,并給出證明 。 ? (2)小華提出 :如圖 5,如果把“ ∠ ACB=∠ ACD=∠ ABD=∠ ADB=60176?！备臑椤?∠ ACB=∠ ACD=∠ ABD=∠ ADB=α” ,其他條件不變 ,那么線段 BC,CD,AC三者之間有何等量關(guān)系 ?針對小華提出 的問題 ,請你寫出結(jié)論 ,不用證明 . 解析 (1)BC+CD=? AC. 證明 :如圖 ,延長 CB到 E,使 BE=CD,連接 AE. ? ∵∠ ACB=∠ ACD=∠ ABD=∠ ADB=45176。, ∴∠ BAD=90176。,∠ BCD=90176。,AD=AB. ∴∠ ABC+∠ ADC=180176。,又 ∵∠ ABE+∠ ABC=180176。, ∴∠ ADC=∠ ABE.∴ △ ADC≌ △ ABE. ∴ AC=AE,∠ CAD=∠ EAB.∴∠ EAC=∠ BAD=90176。. ∴ CE=? AC,∴ BC+CD=? AC. (2)BC+CD=2ACcos α. (證明 :如圖 ,延長 CB到 E,使 BE=CD,連接 AE. 22 2? ∵∠ ACB=∠ ACD=∠ ABD=∠ ADB=α, ∴∠ BA