【正文】 167。 等腰三角形與直角三角形 中考數(shù)學(xué) (江蘇專用 ) 考點(diǎn) 1 等腰三角形 A組 20222022年江蘇中考題組 五年中考 1.(2022宿遷 ,6,3分 )若實(shí)數(shù) m、 n滿足等式 |m2|+? =0,且 m、 n恰好是等腰△ ABC的兩條邊的 邊長(zhǎng) ,則△ ABC的周長(zhǎng)是 ( ) 4n?答案 B ∵ |m2|+? =0, ∴ m2=0,n4=0, 解得 m=2,n=4, 當(dāng)腰長(zhǎng)為 2時(shí) ,三邊長(zhǎng)為 2,2,4,不符合三邊關(guān)系定理 。 當(dāng)腰長(zhǎng)為 4時(shí) ,三邊長(zhǎng)為 2,4,4,符合三邊關(guān)系定理 ,此時(shí)周長(zhǎng)為 2+4+4=10. 故選 B. 4n?2.(2022蘇州 ,7,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,AB=AC,D為 BC中點(diǎn) ,∠ BAD=35176。,則 ∠ C的度數(shù)為 ? ( ) ? 176。 176。 176。 176。 答案 C ∵ AB=AC,D為 BC中點(diǎn) , ∴∠ CAD=∠ BAD=35176。,AD⊥ DC, ∴ 在△ ADC中 ,∠ C=90176。∠ DAC=55176。,故選 C. 3.(2022蘇州 ,6,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,點(diǎn) D在 BC上 ,AB=AD=DC,∠ B=80176。,則 ∠ C的度數(shù)為 ? ( ) ? 176。 176。 176。 176。 答案 B 因?yàn)?AB=AD,所以 ∠ B=∠ ADB=80176。, 因?yàn)?DC=AD,所以 ∠ C=∠ CAD, 又因?yàn)?∠ ADB是△ ACD的外角 , 所以 ∠ ADB=∠ C+∠ CAD=2∠ C, 所以 ∠ C=40176。,故選 B. 4.(2022淮安 ,13,3分 )若一個(gè)等腰三角形的頂角等于 50176。,則它的底角等于 176。. 答案 65 解析 ∵ 等腰三角形的頂角等于 50176。,等腰三角形的底角相等 , ∴ 底角等于 (180176。50176。)? =65176。. 故答案為 65. 125.(2022鎮(zhèn)江 ,12,2分 )有一張等腰三角形紙片 ,AB=AC=5,BC=3,小明將它沿虛線 PQ剪開 ,得到△ AQP和四邊形 BCPQ兩張紙片 (如圖所示 ),且滿足 ∠ BQP=∠ B,則下列五個(gè)數(shù)據(jù) ? ,3,? ,2,? 中 可以作為 ? 長(zhǎng)的有 個(gè) . ? 154 165 53AQ????線 段答案 3 解析 如圖 ,當(dāng) PQ過點(diǎn) C時(shí) , ? 設(shè) BQ=x. ∵∠ BQC=∠ B,∠ A=∠ A, ∴ △ BQC∽ △ BCA. 則 ? =? ,即 ? =? , ∴ x=? , 則 AQ=5? =? .∴ 0AQ? . ∴ 五個(gè)數(shù)據(jù)中滿足條件的有三個(gè) ,分別為 3,2,? . BCBA BQBC 35 3x9595 16516553思路分析 取特殊位置 ,利用三角形相似確定 AQ的取值范圍 ,從而確定滿足條件的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù) . 解題關(guān)鍵 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是三角形的相似 ,解題關(guān)鍵是找出臨界位置 AQ的長(zhǎng) . 6.(2022蘇州 ,15,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,AB=AC=5,BC= ∠ BPC=? ∠ BAC,則 tan∠ BPC= . ? 12答案 ? 43解析 過 A作等腰△ ABC底邊 BC上的高 AD,垂足為 D,則 AD 平分 ∠ BAC,且 D為 BC的中點(diǎn) ,所以 BD=4,根據(jù)勾股定理可求出 AD=3,又因?yàn)?∠ BPC=? ∠ BAC,所以 ∠ BPC=∠ BAD,所以 tan∠ BPC =tan∠ BAD=? =? . 12BDAD 437.(2022蘇州 ,28,10分 )如圖① ,直線 l表示一條東西走向的筆直公路 ,四邊形 ABCD是一塊邊長(zhǎng)為 100米的正方形草地 ,點(diǎn) A,D在直線 l上 .小明從點(diǎn) A出發(fā) ,沿公路 l向西走了若干米后到達(dá)點(diǎn) E處 , 然后轉(zhuǎn)身沿射線 EB方向走到點(diǎn) F處 ,接著又改變方向沿射線 FC方向走到公路 l上的點(diǎn) G處 ,最后 沿公路 l回到點(diǎn) A處 .設(shè) AE=x米 (其中 x0),GA=y米 ,已知 y與 x之間的函數(shù)關(guān)系如圖②所示 . (1)求圖②中線段 MN所在直線的函數(shù)表達(dá)式 。 (2)試問小明從起點(diǎn) A出發(fā)直至最后回到點(diǎn) A處 ,所走過的路徑 (△ EFG)是否可以是一個(gè)等腰三 角形 ?如果可以 ,求出相應(yīng) x的值 。如果不可以 ,說明理由 . ? 解析 (1)設(shè)線段 MN所在直線的函數(shù)表達(dá)式為 y=kx+b(k≠ 0), ∵ M,N兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 (30,230),(100,300), ∴ ? 解這個(gè)方程組 ,得 ? ∴ 線段 MN所在直線的函數(shù)表達(dá)式為 y=x+200. (2)可以 . ① 第一種情況 :考慮 FE=FG是否成立 . 連接 EC, ∵ AE=x,AD=100,GA=x+200,∴ ED=GD=x+100. 又 ∵ CD⊥ EG,∴ CE=CG,∴∠ CGE=∠ CEG, ∴∠ FEG∠ CGE, ∴ FE≠ FG. 30 230,100 ???? ???1, ??? ??? ② 第二種情況 :考慮 FG=EG是否成立 . ∵ 四邊形 ABCD是正方形 ,∴ BC∥ EG,∴ △ FBC∽ △ FEG, 假設(shè) FG=EG成立 ,則 FC=BC亦成立 , ∴ FC=BC=100. ∵ AE=x,GA=x+200,∴ FG=AE+AG=2x+200, ∴ CG=FGFC=2x+200100=2x+100, 在 Rt△ CDG中 ,CD=100,GD=x+100,CG=2x+100, 且 CD2+GD2=CG2, ∴ 1002+(x+100)2=(2x+100)2, 解這個(gè)方程 ,得 x1=100,x2=? , ∵ x0,∴ x=? . 則當(dāng) x=? 時(shí) ,FG=EG,此時(shí)△ EFG為等腰三角形 . ③ 第三種情況 :考慮 EF=EG是否成立 . 與②同理 ,假設(shè) EF=EG成立 ,則 FB=BC亦成立 , 且 BE=EFFB=2x+200100=2x+100, 在 Rt△ ABE中 ,AE=x,AB=100,BE=2x+100, 且 AB2+AE2=BE2,∴ 1002+x2=(2x+100)2, 解這個(gè)方程 ,得 x1=0,x2=? (均不合題意 ,舍去 ),故 EF≠ EG. 綜上所述 ,當(dāng) x=? 時(shí) ,△ EFG是一個(gè)等腰三角形 . 10031003100340031003解題關(guān)鍵 本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、等腰三角形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí) .應(yīng)用數(shù)形結(jié)合、分類討論思想 ,根據(jù)勾股定理列出方程是解決問題的關(guān)鍵 . 8.(2022徐州 ,25,8分 )如圖 ,已知 AC⊥ BC,垂足為 C,AC=4,BC=3? ,將線段 AC繞點(diǎn) A按逆時(shí)針方 向旋轉(zhuǎn) 60176。,得到線段 AD,連接 DC,DB. (1)線段 DC= 。 (2)求線段 DB的長(zhǎng)度 . ? 3解析 (1)∵ AC=AD,∠ CAD=60176。, ∴ △ ACD是等邊三角形 , ∴ DC=AC=4. (2)過點(diǎn) D作 DE⊥ BC于點(diǎn) E. ∵ △ ACD是等邊三角形 , ∴∠ ACD=60176。, 又 ∵ AC⊥ BC, ∴∠ DCE=∠ ACB∠ ACD=90176。60176。=30176。, ∴ 在 Rt△ CDE中 ,DE=? DC=2, 12CE=DCcos 30176。=4? =2? , ∴ BE=BCCE=3? 2? =? . ∴ 在 Rt△ BDE中 ,BD=? =? =? . 3233 3 322DE BE? 222 ( 3)? 7考點(diǎn) 2 直角三角形 1.(2022揚(yáng)州 ,7,3分 )在 Rt△ ABC中 ,∠ ACB=90176。,CD⊥ AB于 D,CE平分 ∠ ACD交 AB于 E,則下列結(jié) 論一定成立的是 ? ( ) ? =EC =BE =BE =EC 答案 C ∵∠ ACB=90176。,CD⊥ AB, ∴∠ ACD+∠ BCD=90176。,∠ ACD+∠ A=90176。, ∴∠ BCD=∠ A. ∵ CE平分 ∠ ACD, ∴∠ ACE=∠ DCE. 又 ∵∠ BEC=∠ A+∠ ACE,∠ BCE=∠ BCD+∠ DCE, ∴∠ BEC=∠ BCE,∴ BC=BE. 故選 C. 思路分析 根據(jù)同角的余角相等可得出 ∠ BCD=∠ A,根據(jù)角平分線的定義可得出 ∠ ACE=∠ DCE,再結(jié)合 ∠ BEC=∠ A+∠ ACE、 ∠ BCE=∠ BCD+∠ DCE即可得出 ∠ BEC=∠ BCE,利用等角 對(duì)等邊即可得出 BC=BE,此題得解 . 方法總結(jié) 本題考查了三角形外角的性質(zhì)、余角、角平分線的定義以及等腰三角形的判定 , 通過計(jì)算得到 ∠ BEC=∠ BCE是解題的關(guān)鍵 . 2.(2022常州 ,7,2分 )已知在△ ABC中 ,BC=6,AC=3,CP⊥ AB,垂足為 P,則 CP的長(zhǎng)可能是 ? ( ) 答案 A 如圖 ,根據(jù)垂線段最短可得 CP A. ? 3.(2022揚(yáng)州 ,7,3分 )如圖 ,已知 ∠ AOB=60176。,點(diǎn) P在邊 OA上 ,OP=12,點(diǎn) M、 N在邊 OB上 ,PM=PN,若 MN=2,則 OM=( ) ? 答案 C 如圖 ,過點(diǎn) P作 PH⊥ MN,垂足為 H, ? 因?yàn)?PM=PN,MN=2, 所以 MH=? MN=1, 在 Rt△ POH中 , OP=12,∠ POH=60176。, 所以 OH=6, 所以 OM=OHMH=61= C. 124.(2022無錫 ,18,3分 )如圖 ,已知 ∠ XOY=60176。,點(diǎn) A在邊 OX上 ,OA= A作 AC⊥ OY于點(diǎn) C,以 AC 為一邊在 ∠ XOY內(nèi)作等邊三角形 ABC,點(diǎn) P是△ ABC圍成的區(qū)域 (包括各邊 )內(nèi)的一點(diǎn) ,過點(diǎn) P作 PD∥ OY交 OX于點(diǎn) D,作 PE∥ OX交 OY于點(diǎn) OD=a,OE=b,則 a+2b的取值范圍是 . ? 答案 2≤ a+2b≤ 5 解析 過 P作 PH⊥ OY交 OY于點(diǎn) H, ? ∵ PD∥ OY,PE∥ OX, ∴ 四邊形 EODP是平行四邊形 ,∠ HEP=∠ XOY=60176。, ∴ EP=OD=a,∠ EPH=30176。, ∴ EH=? EP=? a, ∴ a+2b=2? =2(EH+EO)=2OH, 當(dāng) P在 AC邊上時(shí) ,H與 C重合 ,此時(shí) OH的值最小 ,最小值 =OC=? OA=1,故 a+2b的最小值是 2。 當(dāng) P在點(diǎn) B處時(shí) ,OH的值最大 ,最大值是 1+? =? ,故 (a+2b)的最大值是 5, ∴ 2≤ a+2b≤ 5. 12 1212 ab???????1232 52思路分析 作輔助線 ,構(gòu)建含 30度角的直角三角形 ,先證明四邊形 EODP是平行四邊形 ,得 EP= OD=a,在 Rt△ HEP中 ,∠ EPH=30176。,可得 EH的長(zhǎng) ,從而可得 a+2b=2OH,確認(rèn) OH取最大和最小值 時(shí)點(diǎn) H的位置 ,可得結(jié)論 . 解后反思 本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、構(gòu)造法 ,平行四邊形的判定和性質(zhì) ,掌握 a+2b的最 值就是確認(rèn) OH的范圍 ,即可解決問題 . 5.(2022鹽城 ,16,3分 )如圖 ,在直角△ ABC中 ,∠ C=90176。,AC=6,BC=8,P、 Q分別為邊 BC、 AB上的兩 個(gè)動(dòng)點(diǎn) ,若要使△ APQ是等腰三角形且△ BPQ是直角三角形 ,則 AQ= . ? 答案 ? 或 ? 154 307解析 ①如圖 1,當(dāng) AQ=PQ,∠ QPB=90176。時(shí) ,設(shè) AQ=PQ=x, ∵∠ C=90176。,AC=6,BC=8,∴ AB=10, ∵ PQ∥ AC, ∴ △ BPQ∽ △ BCA, ∴ ? =? , ∴ ? =? , ∴ x=? , ∴ AQ=? . ? 圖 1 ② 如圖 2,當(dāng) AQ=PQ,∠ PQB=90176。時(shí) ,設(shè) AQ=PQ=y. BQBA PQAC1010x?6x154154? 圖 2 易知△ BQP∽ △ BCA, ∴ ? =? , ∴ ? =? , ∴ y=? . 綜上所述 ,滿足條件的 AQ的值為 ? 或 ? . PQAC BQBC6y108 y?307154 307思路分析 分兩種情形分別求解 :① AQ=PQ,∠ QPB=90176。,② AQ=PQ,∠ PQB=90176。. 解題關(guān)鍵 本題考查勾股定理、等腰三角形