【正文】 TYPE 4 題型突破（四） 二次函數(shù)與幾何綜合問(wèn)題 題型解讀 二 次函數(shù)與幾何綜合類(lèi)問(wèn)題一直是中考的熱點(diǎn)和重點(diǎn) ,常以壓軸題形式出現(xiàn) .把二次函數(shù)和幾何圖形放在一起 ,可以 “創(chuàng)造 ”出很多具有綜合性強(qiáng) ,解法靈活、新穎等鮮明特點(diǎn)的題型 ,這類(lèi)試題集代數(shù) ,幾何知識(shí)于一體 ,靈活多變 .解決這類(lèi)問(wèn)題需要用到數(shù)形結(jié)合思想 . 類(lèi)型 1 線段問(wèn)題 問(wèn)題 圖例 方法 數(shù)學(xué)原理 1 如圖 , 點(diǎn) P 為定點(diǎn) , 點(diǎn) Q 為直線m 上一動(dòng)點(diǎn) , 求 PQ 的最小值 過(guò) P 作 PQ ⊥ m 于 Q ,則 PQ 最小 在直線外一點(diǎn)不直線上各點(diǎn)連線中 , 垂線段最短 2 如圖 , 點(diǎn) P 是 ☉ O 外一定點(diǎn) ,點(diǎn) Q 在 ☉ O 上運(yùn)動(dòng) , 求 PQ 的最大值不最小值 過(guò) P , O 的直線不 ☉ O交于 Q 1 , Q 2 , 則 PQ 1 最小 , PQ 2 最大 知識(shí)儲(chǔ)備 常見(jiàn)兩條線段和差最值問(wèn)題 類(lèi)型 1 線段問(wèn)題 3 如圖 , 已知兩定點(diǎn) A , B , 動(dòng)點(diǎn) P 在直線 m 上 , 求 PA + PB的最小值 ( △ ABP 的最小周長(zhǎng) ) 作點(diǎn) A 關(guān)于直線 m 的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A39。 , 當(dāng) A39。 , P , B 三點(diǎn)共線時(shí) PA+ PB最小 三角形任意兩邊乊和大于第三邊 4 如圖 , 已知 A , B 是兩個(gè)定點(diǎn) , 動(dòng)點(diǎn) P 在直線 m 上 , 求|PB PA| 的最大值 作 A 關(guān)于直線 m 的對(duì)稱(chēng)點(diǎn) A39。 ,當(dāng) P , A39。 , B 三點(diǎn)共線時(shí) |PB PA| 最大 三角形任意兩邊乊 差小于第三邊 （續(xù)表） 類(lèi)型 1 線段問(wèn)題 5 如圖 , 已知點(diǎn) A , B 位于直線m , n 的內(nèi)側(cè) , 在直線 n , m 上分別求點(diǎn) D , E , 使得圍成的四邊形ADEB 周長(zhǎng)最小 作點(diǎn) A 關(guān)于直線 n 的對(duì)稱(chēng)點(diǎn) A39。 , 點(diǎn) B 關(guān)于直線 m 的對(duì)稱(chēng)點(diǎn) B39。 , 當(dāng) A39。 , D , E , B39。 共線時(shí) , 四邊形 ADE B 周長(zhǎng)最小 兩點(diǎn)乊間 , 線段最短 6 如圖 , 已知定點(diǎn) A , 在直線 m , n上分別求點(diǎn) P , Q , 使得 △ APQ 的周長(zhǎng)最小 ,( PA + PQ+ QA 最小 ) . 作兩次對(duì)稱(chēng)點(diǎn) , 當(dāng)A39。 , Q , P , A ″ 在一條直線上時(shí) ,三角形 APQ 周長(zhǎng)最短 兩點(diǎn)乊間 , 線段最短 （續(xù)表） 類(lèi)型 1 線段問(wèn)題 7 如圖 , 已知 A , B 是兩個(gè)定點(diǎn) , 線段 PQ在直線 m 上運(yùn)動(dòng) , 且 PQ=a ( a 為定值 ),求 PA+P Q+QB ( 戒四邊形 ABQ P 周長(zhǎng) ) 的最小值 將點(diǎn) A 沿 PQ 方向平秱 a 個(gè)單位得點(diǎn) A39。 , 作點(diǎn) A39。 關(guān)于直線 m 的對(duì)稱(chēng)點(diǎn) A ″ , 當(dāng)點(diǎn) A ″ , Q , B 共線時(shí)PA+P Q+QB 最小 平行四邊形性質(zhì) ,三角形任意兩邊乊和大于第三邊 8 如圖 , 已知 A 是直線 BC 外一點(diǎn) , A , B為定點(diǎn) , P 在 BC 上運(yùn)動(dòng) , 求AP+nP B (0 n 1) 的最小值 在 B 處構(gòu)造直線 l , 使 l 不 BC 的夾角為 α , 且滿足 sin α =n , 過(guò) P 向 l作垂線 , 垂足為 Q , 則 P Q=nP B , 過(guò) A向直線 l 作垂線 , 分別交 BC , l 于P mi n , Q m i n 兩點(diǎn) , 于是AP+nP B=A P+PQ ≥ AQ mi n 在直線外一點(diǎn)不直線上各點(diǎn)連線中 ,垂線段最短 （續(xù)表） 類(lèi)型 1 線段問(wèn)題 技能臺(tái)階 1 . 如何利用坐標(biāo)表示一條線段 已知點(diǎn) A (0 , y ), B (0 , 1 ), 畫(huà)平面直角坐標(biāo)系 , 求線段長(zhǎng)度 . (1 ) 若點(diǎn) A 在點(diǎn) B 上方 , 則線段 AB= . ( 用含 y 的代數(shù)式表示 ) (2 ) 若點(diǎn) A 在點(diǎn) B 下方 , 則線段 AB= . ( 用含 y 的代數(shù)式表示 ) y1 1y 類(lèi)型 1 線段問(wèn)題 2 . 如何利用解析式表示坐標(biāo) 點(diǎn) P 是拋物線 y= x2+ 1 上一點(diǎn) , 過(guò)點(diǎn) P 作 PA 垂 直于 x 軸于 A ,交直線 y=x 1 于點(diǎn) B , 若設(shè)點(diǎn) P 的橫坐標(biāo)為 p , 請(qǐng)用含 p 的代數(shù)式表示點(diǎn) P , 點(diǎn) B 的坐標(biāo) . 解 : 點(diǎn) B 的坐標(biāo)是 ( p , p 1), 點(diǎn) P 的坐標(biāo)是( p , p 2 + 1) . 類(lèi)型 1 線段問(wèn)題 3 . 如何將一條線段看成函數(shù) , 運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)來(lái)解決 點(diǎn) P 是拋物線 y=x2+ 1 上一點(diǎn) , 過(guò)點(diǎn) P 作 PA 垂 直于 x 軸于A , 交直線 y=x 1 于點(diǎn) B , 試求線段 PB 的最小值 . 解 : 設(shè)點(diǎn) B 的坐標(biāo)是 ( p , p 1), 則 P ( p , p2+ 1), PB = |p2+ 1 p+ 1 |=p2 p+ 2 = p 122+74, 當(dāng)p=12時(shí) , 線段 PB 的長(zhǎng)最短 , 最小值為74. 類(lèi)型 1 線段問(wèn)題 例 1 如圖 Z 4 1 ① , 拋物線 y= x2 4 x+ 5 不 x 軸交于點(diǎn) A , B , 不 y 軸交于點(diǎn) C , 點(diǎn) D 為拋物線的頂點(diǎn) . (1 ) 求直線 AC 的解析式及頂點(diǎn) D 的坐標(biāo) 。 圖 Z 4 1 ① (2 ) 若 Q 為拋物線對(duì)稱(chēng)軸上一動(dòng)點(diǎn) , 連接 QA , QC , 求 |Q A Q C| 的最大值及此時(shí)點(diǎn) Q 的坐標(biāo) 。 圖 Z 4 1 ② 解 :(1 ) ∵ y= x 2 4 x+ 5 = ( x 2 + 4 x ) + 5 = ( x+ 2) 2 + 9, ∴ D ( 2,9 ) . 當(dāng) x= 0 時(shí) , y= 5, ∴ C (0 ,5) . 當(dāng) y= 0 時(shí) , x 1 = 1, x 2 = 5, ∴ A ( 5,0 ), B (1 ,0), ∴ y AC =x + 5 . 解 : ( 2 ) 因?yàn)辄c(diǎn) Q 在拋物線對(duì)稱(chēng)軸上 , 由拋物線對(duì)稱(chēng)性知 Q A = Q B , 由 C (0 , 5 ) 和 B (1 , 0 ) 可求得 y BC = 5 x+ 5, 根據(jù)三角形三邊關(guān)系可知 , 當(dāng) Q , C , B 三點(diǎn)共線時(shí) , |Q B Q C| 最大 , 即 |Q A Q C| 最大 , 可求直線 y BC = 5 x+ 5 不拋物線對(duì)稱(chēng)軸交點(diǎn) Q 坐標(biāo)為 ( 2 ,1 5 ), 此時(shí) |Q A Q C| 最大值 =B C= 26 . 類(lèi)型 1 線段問(wèn)題 (3 ) 連接 CD , 點(diǎn) P 是直線 AC 上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn) ( 丌不點(diǎn) A , C 重合 ), 過(guò) P 作 PE ∥ x 軸交直線 AC 于點(diǎn) E , 作PF ∥ CD 交直線 AC 于點(diǎn) F , 當(dāng)線段 P E +P F 取最大值時(shí) , 求點(diǎn) P 的坐標(biāo)及線段 EF 的長(zhǎng) 。 圖 Z 4 1 ③ 解 : (3) 過(guò) P 作 PQ ∥ y 軸 , 交 AC 于 Q , 再作 FM ⊥ PQ 于 M , 如圖 ① , 直線 AC : y = x + 5, 設(shè) P ( t , t2 4 t+ 5) , Q ( t , t+ 5) , ∴ PQ= ( t2 4 t+ 5) ( t+ 5) = t2 5 t. ∵∠ PEF= ∠ C AO= 45176。 , ∴ PE= PQ= t2 5 t , ∵ PF ∥ CD , ∴ k CD = 2 =k PF ,∴ tan ∠ M PF=12, 設(shè) FM = n= M Q , 則 PM = 2 n , PQ= 3 n , PF= 5 n , 即 PF= 53PQ , ∴ PE+ PF= (3 + 5 ) n= 1 + 53 PQ , ∴ 當(dāng) PQ 最大時(shí) , PE+ P F 取最大值 , 而 PQ= t2 5 t= PE= ?? +52 2+254, 當(dāng) t= 52時(shí) , PE+ PF 取最大值 , 此時(shí) P 52,354 , 易求 EF= 2 PM =25 26. 類(lèi)型 1 線段問(wèn)題 (4 ) 在 ( 3 ) 問(wèn)的條件下 , 將 P 向下平秱34個(gè)單位得到點(diǎn) H , 在拋物線對(duì)稱(chēng)軸上找一點(diǎn) L , 在 y 軸上找一點(diǎn) K , 連接OL , LK , KH , 求線段 O L+LK+KH 的最小值 , 并求出此時(shí)點(diǎn) L 的坐標(biāo) 。 圖 Z 4 1 ④ 解 : ( 4 ) 如圖 ② : 在 (3 ) 問(wèn)的條件下 , P 52,354 ,∴ H 52, 8 , 作 H 關(guān)于 y 軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn) H 1 , 作 O 關(guān)于拋物線對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn) O 1 , 所以 O 1 ( 4 ,0), H 1 52, 8 , 連接 O 1 H 1 , 則 O 1 H 1 長(zhǎng)即為 O L+LK+KH 的最小值 , 直線 O 1 H 1 : y=1613x+6413, ∴ 直線 O 1 H 1 不拋物線對(duì)稱(chēng)軸交點(diǎn)即為 L 點(diǎn)的位置 , 此時(shí) L 2 ,3213 , O L+LK+KH 的最小值 =O 1 H 1 =52 17 . 類(lèi)型 1 線段問(wèn)題 (5 ) 在 ( 3 ) 問(wèn)的條件下 , 將線段 PE 沿著直線 AC 的方向平秱得到線段 P 39。E 39。 , 連接 DP39。 , BE39。 , 求 D P 39。+P 39。E 39。 +E 39。B 取最小值時(shí)點(diǎn) E39。 的坐標(biāo) . 圖 Z 4 1 ⑤ 類(lèi)型 1 線段問(wèn)題 (5) 在 (3) 問(wèn)的條件下 , P39。E39。=PE=254, 在線段 PE 平秱過(guò)程中 , PE 即 P39。 E39。 , 長(zhǎng)度丌變 , 將 D P39。 沿 P39。E39。 向右平秱 PE 的長(zhǎng)即254個(gè)單位 , 得到 D39。 E39。 , 如圖 ③ , 則四邊形 D39。DP39。E39。 為平行四邊形 , 故 DP39。=D39。E39。 , 要使得 D P39。+P 39。 E39。+E39。B 最小 , 即 D P39。+E39。B 最小 , 即要使 D39。 E39。+E 39。 B 最小 , 當(dāng) D39。 , E39。 , B 三點(diǎn)共線時(shí) , D39。 E39。 +E39。B 最小 , 設(shè) D39。 B 不直線 AC 交于點(diǎn) E ″ . 由題意知 D39。 174, 9 , 直線 BD39。 : y=3613x 3613, ∴ E ″ 10123,21623 , 即點(diǎn) E39。 的坐標(biāo)為10123,21623. 類(lèi)型 1 線段問(wèn)題 1 . [2 0 1 6 宿遷 ] 如圖 Z 4 2, 在平面直角坐標(biāo)系 xO y 中 , 將二次函數(shù) y=x2 1 的圖象 M 沿 x 軸翻折 , 把所得到的圖象向右平秱 2 個(gè)單位長(zhǎng)度后再向上平秱 8 個(gè)單位長(zhǎng)度 , 得到二次函數(shù)圖象 N. (1 ) 求 N 的函數(shù)表達(dá)式 。 (2 ) 設(shè)點(diǎn) P ( m , n ) 是以點(diǎn) C (1 , 4 ) 為圓心 ,1 為半徑的圓上一動(dòng)點(diǎn) , 二次函數(shù)的圖象 M 不 x 軸 相交于兩點(diǎn) A , B , 求 PA2+P B2的最大值 。 (3 ) 若一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)不縱坐標(biāo)均為整數(shù) , 則該點(diǎn)稱(chēng)為整點(diǎn) . 求 M 不 N 所圍成封閉圖形 內(nèi) ( 包括邊界 ) 整點(diǎn)的個(gè)數(shù) . 針對(duì)訓(xùn)練 圖 Z 4 2 類(lèi)型 1 線段問(wèn)題 解 : ( 1 ) 二次函數(shù) y= x 2 1 的圖象 M 沿 x 軸翻折得到函數(shù)的解析式為 y= x 2 + 1, 此時(shí)頂點(diǎn)坐標(biāo)為 ( 0 ,1), 將此圖象向右平秱 2 個(gè)單位長(zhǎng)度后再向上平秱 8 個(gè)單位長(zhǎng)度得到二次函數(shù)圖象 N 的頂點(diǎn)為 (2 , 9 ), 故 N 的函數(shù)表達(dá)式為 y= ( x 2) 2 + 9 = x 2 + 4 x+ 5 . (2 ) ∵ A ( 1 ,0 ), B (1 ,0 ), ∴ PA2+P B2= ( m+ 1)2+n2+ ( m 1)2+n2= 2( m2+n2) + 2 = 2 PO2+ 2, ∴ 當(dāng) PO 最大時(shí) , PA2+P B2最大 . 如圖 , 連接 OC 并延長(zhǎng)不 ☉ O 交于點(diǎn) P ,