高等數(shù)學(xué)討論題及練習(xí)題(已修改)
2025-06-20 00:27 本頁(yè)面
【正文】 第一章 函數(shù)、極限、連續(xù)第一次 討論題及練習(xí)題1．下列說(shuō)法能否作為 是數(shù)列 的極限的定義？ (1) 對(duì)任給的 ， ，使得當(dāng) 時(shí)，不等式 成立；(2) 對(duì)于無(wú)窮多個(gè) ，存在 ，當(dāng) 時(shí)，恒有 成立；(3) ， ，當(dāng) 時(shí)，有無(wú)窮多項(xiàng) ，使 成立；(4) 對(duì)給定的 ，不等式 恒成立。2．說(shuō)明下列表述都可作為 是 極限的定義。 (1) ， ，當(dāng) 時(shí)，恒有 成立；(2) ， ，當(dāng) 時(shí)，恒有 成立；(3) ，存在 ，當(dāng) 時(shí)，恒有 成立，其中 是正常數(shù)。3．若 與 是兩個(gè)發(fā)散系列，它們的和與積是否發(fā)散？為什么？若其中一個(gè)收斂 ，一個(gè)發(fā)散，它們的和與積的收斂性又如何？4．用 語(yǔ)言表述 不收斂于 。5．下列計(jì)算方法是否正確？為什么？(1) ；(2) 設(shè) ，若 ，因?yàn)?，兩邊取極限得 ，從而必有 ，故 。6．證明：設(shè) ，則 ，使 ， 。7．下列結(jié)論是否正確？若有正確，請(qǐng)給出證明；若不正確，請(qǐng)舉出反例。(1) 若 ，則 ； (2) 若 ，則 ( )；(3) 若 ，則 ； (4) 若 ，則 ；(5) 若 ，則 ； (6) 若對(duì)任何實(shí)數(shù)， ，則 8．用 定義證明下列極限 (1) ； (2) 若 有界， ，則 。9．設(shè)由數(shù)列 的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)組成的兩個(gè)子列收斂于同一個(gè)極限 ，證明 也收斂于 。10．試證明：若 ， ，則 。11．證明：任何實(shí)數(shù)都是某個(gè)有理數(shù)列的極限。12．單調(diào)有界收斂準(zhǔn)則中，若“數(shù)列 單調(diào)增(減)”改為“從某一項(xiàng)之后單調(diào)增(減)”結(jié)論成立嗎？數(shù)列 是否收斂？若收斂，試求其極限值。課外作業(yè)：1．完成上述討論題中尚未討論的題；2．，(A)．2．(5)；10．(1)(3)；11．(4) (B)．4．(3)，(4)；6；8；3．指出下面的作法是否正確？為什么？∵ ， ( )∴ ，從而 第二次討論題及練習(xí)題1．寫出下列極限的定義 (1) (2) 時(shí)， 2．試用 語(yǔ)言來(lái)表述當(dāng) 時(shí) 不收斂于 。3．證明 。4．用極限的定義證明
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