高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)學(xué)案(第45講)橢圓(已修改)
2025-06-19 23:27 本頁(yè)面
【正文】 題目 第八章圓錐曲線橢圓高考要求 掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，了解橢圓的參數(shù)方程知識(shí)點(diǎn)歸納 ：①平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)FF2的距離之和等于常數(shù)(大于|F1F2|，即)，這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫橢圓(這兩個(gè)定點(diǎn)叫焦點(diǎn))．②點(diǎn)M與一個(gè)定點(diǎn)的距離和它到一條定直線的距離的比是常數(shù)e（0e1），則P點(diǎn)的軌跡是橢圓，如下圖所示：（1）|PF1|+|PF2|=2a，|PM2|+|PM1|=，==e；（2）,；（3）|BF2|=|BF1|=a，|OF1|=|OF2|=c；（4）|F1K1|=|F2K2|=p=，：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種形式 和其中橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)是，準(zhǔn)線方程是，離心率是，通徑的長(zhǎng)是焦準(zhǔn)距（焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離），焦參數(shù)（通徑長(zhǎng)的一半）范圍：，長(zhǎng)軸長(zhǎng)=，短軸長(zhǎng)=2b，焦距＝2c ， 焦半徑：，.、三角形面積公式將有關(guān)線段、2c，有關(guān)角()結(jié)合起來(lái)，建立+、等關(guān)系.：；題型講解 例1已知橢圓的焦點(diǎn)是,直線是橢圓的一條準(zhǔn)線. ① 求橢圓的方程。 ② 設(shè)點(diǎn)P在橢圓上,且,求.解:① . ?、谠O(shè)則 又 , 例2 求中心在原點(diǎn),一個(gè)焦點(diǎn)為且被直線截得的弦中點(diǎn)橫坐標(biāo)為的橢圓方程.解: 設(shè)橢圓方程 ,因?yàn)橄褹B中點(diǎn),所以由 得,（點(diǎn)差法）所以 又 例3 已知F1為橢圓的左焦點(diǎn)，A、B分別為橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，P為橢圓上的點(diǎn)，當(dāng)PF1⊥F1A，PO∥AB（O為橢圓中心）時(shí)，求橢圓的離心率.分析：求橢圓的離心率，即求，只需求a、c的值或a、因此只需把a(bǔ)、c用同一量表示，由PF1⊥F1A，PO∥AB易得b=c，a=b.解：設(shè)橢圓方程為+=1（a＞b＞0），F(xiàn)1（－c，0），c2=a2－b2，則P（－c，b），即P（－c，）.∵AB∥PO，∴kAB=kOP，即－=.∴b=c.又∵a==b，∴e===.點(diǎn)評(píng)：由題意準(zhǔn)確畫出圖形，利用橢圓方程及直線平行與垂直的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.例4 如下圖，設(shè)E：+=1（a＞b＞0）的焦點(diǎn)為F1與F2，且P∈E，∠F1PF2=2θ. 求證：△PF1F2的面積S=b2tanθ.分析：，設(shè)|PF1|=r1，|PF2|=r2，則S=，問題即獲解決. 證明：設(shè)|PF1|=r1，|PF2|=r2，則S=r1r2sin2θ，又|F1F2|=2c，由余弦定理有（2c）2=r12+r22－2r1r2cos2θ=（r1+r2）2－2r1r2－2r1r2cos2θ=（2a）2－2r1r2（1+cos2θ），于是2r1r2（1+cos2θ）=4a2－4c2=4b2.所以r1r2=.從而有 S=sin2θ=b2=b2tanθ.點(diǎn)評(píng)：①解與△PF1F2（P為橢圓上的點(diǎn)）有關(guān)的問題，常用正弦定理或余弦定理，并結(jié)合|PF1|+|PF2|=2a來(lái)解決.②我們?cè)O(shè)想點(diǎn)P在
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