【正文】 長沙恒一教育2010年新七年級(jí)數(shù)學(xué)講義（高）前 言同學(xué)們已經(jīng)有了六年學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的經(jīng)驗(yàn)，你認(rèn)為數(shù)學(xué)是個(gè)什么樣子的呢？為什么“學(xué)數(shù)學(xué)可以使人‘變得更聰明’呢”？數(shù)學(xué)有非常廣泛的用途，數(shù)學(xué)的內(nèi)涵極其豐富，“生活中處處都有數(shù)學(xué)”，你同意這種觀點(diǎn)嗎？請(qǐng)同學(xué)們來討論下面的幾個(gè)問題： （1）幾個(gè)老人去趕集，半路買了一堆梨，每人一個(gè)多一個(gè)，每人兩個(gè)少兩個(gè)，請(qǐng)你用心想一想究竟有幾個(gè)老人幾個(gè)梨? （2）你能將兩個(gè)同樣大小的正方形適當(dāng)?shù)胤指?，再拼成一個(gè)較大的正方形么？你還能將三個(gè)同樣大小的正方形適當(dāng)分割后，再將其拼成一個(gè)較大正方形么?（3）有這樣一個(gè)故事：太平洋中有A、B兩個(gè)靠得較近的小島．A島居民都是誠實(shí)的人，向他們問問題都能得到真實(shí)的答案；而B島的居民則恰恰相反，都不誠實(shí)，向他們問問題都不會(huì)得到真話回答．某天一個(gè)旅游者獨(dú)自登上了A、B兩島中的一個(gè)，但不能分辨這個(gè)島是A島還是B島，而且這個(gè)島上的人既有該島的居民，也有從另一個(gè)島來的客人．旅游者想問島上的人“這是A島還是B島？”卻又無法判斷被問者的答案是否正確．旅游者動(dòng)了動(dòng)腦筋，想了想，終于想出一個(gè)好辦法：他只需問遇到的任何一個(gè)人一句話，就能從對(duì)方的回答中斷定這里是A島還是B島．你知道這個(gè)旅游者問的問題是什么嗎？他又是怎樣做出判斷的呢？數(shù)學(xué)所包括的內(nèi)容是豐富多彩的，既有關(guān)于數(shù)的問題，如第（1）題；也有關(guān)于圖形的問題，如第（2）題；也有關(guān)于邏輯推理的問題，如第（3）題，等等．此外，數(shù)學(xué)的運(yùn)用也是非常廣泛的．我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾經(jīng)說過：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁，無處不用數(shù)學(xué)．”下面我們來嘗試解答以上三個(gè)問題。第（1）題可能有下面幾種不同的解法，如果學(xué)生給出我們可能沒有想到的“新”解法，則需要老師靈活處理．法一：由于梨的總數(shù)與人數(shù)不變，而兩種不同的分梨方法使得梨的總數(shù)量相差3個(gè)，而每人所分得的梨的個(gè)數(shù)相差1個(gè)，因此由3247。1=3可知有3個(gè)老人，于是由32－2=4可知有4個(gè)梨． 法二：假設(shè)有2個(gè)老人，借助檢驗(yàn)可以發(fā)現(xiàn)與實(shí)際情形不相符；假設(shè)有3個(gè)老人，借助檢驗(yàn)可以發(fā)現(xiàn)老人的數(shù)量與題目敘述是一致的，于是可以在此基礎(chǔ)上求得一共有4個(gè)梨． 法三：假設(shè)有x個(gè)老人，則有（x+1）個(gè)梨；而每人分2個(gè)梨，于是一共有（2x－2）個(gè)梨．從而有方程2x－2＝x＋1，解此方程得x = 3．因此，我們知道一共有3個(gè)老人，4個(gè)梨．按照假設(shè)法解答這個(gè)問題，答案正確是予肯定的．但假設(shè)法并不能說明除此解之外，就一定沒有其他符合這個(gè)問題的解了．因此，還需要做更深入的繼續(xù)思考．假設(shè)法雖然有一定的局限性，但是也有其合理性，當(dāng)你還不能全面把握這個(gè)問題之前，試探性地假設(shè)一些數(shù)據(jù)去探索這個(gè)問題的屬性，有助于我們更深刻地揭示問題的本質(zhì)，進(jìn)而在把握問題本質(zhì)的基礎(chǔ)上去尋找解決的方法，因此假設(shè)法對(duì)我們解決數(shù)學(xué)問題是有幫助的，而且也是我們常用的一種數(shù)學(xué)問題解決的途徑之一． 設(shè)未知數(shù)列方程來解答數(shù)學(xué)問題，也是一種很好的解決數(shù)學(xué)的途徑之一，而且這種方法也是初中數(shù)學(xué)常用的一種重要的方法，在七年級(jí)第一學(xué)期將要重要學(xué)習(xí)，需要同學(xué)們引起足夠的重視． 對(duì)于第（2）個(gè)問題，我們可以通過動(dòng)手操作來解決問題。比如先可以將三個(gè)正方形中的兩個(gè)沿對(duì)角線剪開，如圖1，然后再拼成圖2的形狀．再在圖2的基礎(chǔ)上，連結(jié)AB、BC、CD、DA，將畫陰影的四個(gè)三角形剪掉，補(bǔ)到黑色部分上去，如圖3，這樣所得到的四邊形ABCD就是一個(gè)符合條件的較大的正方形了．圖2圖3這個(gè)問題的求解過程，作為圖形的拼合時(shí)用到了旋轉(zhuǎn)的方法；若要證明最后拼合而成的四邊形是一個(gè)正方形的話，則需要用到全等或者圖形的旋轉(zhuǎn)等．不論是旋轉(zhuǎn)變換，還是全等等方法都是初中數(shù)學(xué)所不可回避的重要內(nèi)容．第（3）題是一道邏輯推理題，可以先把學(xué)生分成小組讓他們討論幾分鐘，讓他們相互交流一下思想，然后再找學(xué)生來談自己的想法或推導(dǎo)過程，教師再在此基礎(chǔ)上綜合學(xué)生的發(fā)言，進(jìn)行適當(dāng)?shù)难a(bǔ)充或深化．我們?cè)谙卤碇辛谐隽嗽诓煌牡攸c(diǎn)，不同的被訪問者，針對(duì)同一問題的不同回答．問題：你是這個(gè)島的居民嗎？問話的地點(diǎn)被訪問者A島居民B島居民A島回答是是B島不是不是借助這張表我們可以一目了然地得到這樣的一個(gè)結(jié)論：如果這個(gè)問題是在A島提出來的，那么不論是A島的居民，還是B島的居民，給出的答案都應(yīng)該是“是”；如果這個(gè)問題在B島提出來的，答案總“不是”．這就為旅游者判斷提問的地方是哪個(gè)島提供了依據(jù)，于是“問路問題”就得到了解決．聰明的旅游者的問話是“你是這個(gè)島的居民嗎？”如果對(duì)方回答“是”，那么這個(gè)島一定是A島；如果對(duì)方回答“不是”，那么這個(gè)島就一定是B島．學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是件很有趣的事情，數(shù)學(xué)可以讓我們變得聰明，“數(shù)學(xué)是思維的體操”，只要我們多與數(shù)學(xué)打交道，與數(shù)學(xué)交朋友，堅(jiān)持用數(shù)學(xué)的眼光去看問題，用數(shù)學(xué)的頭腦去想問題我們就一定能感受到數(shù)學(xué)的魅力與樂趣，就一定能夠?qū)W好數(shù)學(xué)，成為主宰世界未來的科學(xué)家。拓展練習(xí) （1）如圖4，要在所有的臺(tái)階上鋪上地毯，至少需要長為多少米地毯？ （2）用火柴棒拼成圖5所示的“田”字形圖，拼1個(gè)“田”字要12根火柴棒，拼2個(gè)這樣的田字形圖，需要多少根火柴棒？拼3個(gè)呢？4個(gè)呢？5個(gè)呢？你能從中找到規(guī)律，拼寫n個(gè)這樣的田字形圖，需要多少根火柴棒嗎？（3）撲克牌游戲：在撲克牌1~k中，請(qǐng)你任抽一張，點(diǎn)數(shù)記在心，然后做下面的計(jì)算：把這張牌的點(diǎn)數(shù)乘以2，再加上3，把得數(shù)乘以5，最后減去25．我將這個(gè)得數(shù)加上10后再除以10就可以知道你抽取的牌的點(diǎn)數(shù)了，你知道個(gè)中的緣由嗎?第一章 有 理 數(shù)正數(shù) 負(fù)數(shù)(1)一、學(xué)前準(zhǔn)備小學(xué)里學(xué)過哪些數(shù)請(qǐng)寫出來： 、 、 .在生活中，僅有整數(shù)和分?jǐn)?shù)夠用了嗎？有沒有比0小的數(shù)？如果有，那叫做什么數(shù)？二、探究新知正數(shù)與負(fù)數(shù)的產(chǎn)生 1）、生活中具有相反意義的量如：運(yùn)進(jìn)5噸與運(yùn)出3噸；上升7米與下降8米；向東50米與向西47米等都是生活中遇到的具有相反意義的量.請(qǐng)你也舉一個(gè)具有相反意義量的例子： .2）負(fù)數(shù)的產(chǎn)生同樣是生活和生產(chǎn)的需要正數(shù)和負(fù)數(shù)的表示方法1）一般地，我們把上升、運(yùn)進(jìn)、零上、收入、前進(jìn)、高出等規(guī)定為正的，而與它相反的量，如：下降、運(yùn)出、零下、支出、后退、低于等規(guī)定為負(fù)的。正的量就用小學(xué)里學(xué)過的數(shù)表示，有時(shí)也在它前面放上一個(gè)“+”（讀作正）號(hào)，如前面的50；負(fù)的量用小學(xué)學(xué)過的數(shù)前面放上“—”（讀作負(fù)）號(hào)來表示，如上面的———47。2）活動(dòng) 兩個(gè)同學(xué)為一組，一同學(xué)任意說意義相反的兩個(gè)量，另一個(gè)同學(xué)用正負(fù)數(shù)表示.正數(shù)、負(fù)數(shù)的概念1）大于0的數(shù)叫做 ，小于0的數(shù)叫做 。2）正數(shù)是大于0的數(shù)，負(fù)數(shù)是 的數(shù)，0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)。三、練習(xí)讀出下列各數(shù)，指出其中哪些是正數(shù)，哪些是負(fù)數(shù)？—2， ， +， 0， —， 200， —754200，舉出幾對(duì)（至少兩對(duì)）具有相反意義的量，并分別用正、負(fù)數(shù)表示 四、應(yīng)用遷移，鞏固提高（A組為必做題）A組1．任意寫出5個(gè)正數(shù)：________________；任意寫出5個(gè)負(fù)數(shù)：_______________． 2．小明的姐姐在銀行工作，她把存入3萬元記作+3萬元，那么支取2萬元應(yīng)記作_______,4萬元表示________________． 3．已知下列各數(shù)：，，+3065，0，239． 則正數(shù)有_____________________；負(fù)數(shù)有____________________． 4．如果向東為正，那么 50m表示的意義是………………………（ ） A．向東行進(jìn)50m C．向北行進(jìn)50m B．向南行進(jìn)50m D．向西行進(jìn)50m 5．下列結(jié)論中正確的是 …………………………………………（ ） A．0既是正數(shù)，又是負(fù)數(shù) B．O是最小的正數(shù) C．0是最大的負(fù)數(shù) D．0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù) 6．給出下列各數(shù)：3，0，+5，+，2004，+2008． 其中是負(fù)數(shù)的有 ……………………………………………………（ ） A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)B組1．零下15℃，表示為_________，比O℃低4℃的溫度是_________．2．地圖上標(biāo)有甲地海拔高度30米，乙地海拔高度為20米，丙地海拔高度為5米，其中最高處為_______地，最低處為_______地．3．“甲比乙大3歲”表示的意義是______________________．C組1．寫出比O小4的數(shù)，比4小2的數(shù)，比4小2的數(shù)． 2．如果海平面的高度為0米，一潛水艇在海水下40米處航行，一條鯊魚在潛水艇上方10米處游動(dòng)，試用正負(fù)數(shù)分別表示潛水艇和鯊魚的高度．正數(shù) 負(fù)數(shù)(2)一、學(xué)前準(zhǔn)備 通過上節(jié)課的學(xué)習(xí),我們知道在實(shí)際生產(chǎn)和生活中存在著兩種不同意義的量,為了區(qū)分它們,我們用正數(shù)和負(fù)數(shù)來分別表示它們.問題1：“零”為什么即不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)呢?思考討論,:溫度表示中的零上,零下和零度. 解決問題問題2：先分析，再獨(dú)立完成例 (1)一個(gè)月內(nèi),小明體重增加2kg,小華體重減少1kg,小強(qiáng)體重?zé)o變化,寫出他們這個(gè)月的體重增長值。(2)2001年下列國家的商品進(jìn)出口總額比上一年的變化情況是:%, %, %, %,%, %.寫出這些國家2001年商品進(jìn)出口總額的增長率.三、鞏固練習(xí)從0表示一個(gè)也沒有,是正數(shù)和負(fù)數(shù)的分界用正負(fù)數(shù)表示加工允許誤差. 問題:? ?請(qǐng)舉例. 四、練習(xí)1）.甲冷庫的溫度是12176。C,乙冷庫的溫度比甲冷酷低5176。C,則乙冷庫的溫度是 . 2.）一種零件的內(nèi)徑尺寸在圖紙上是9177。(單位:mm),表示這種零件的標(biāo)準(zhǔn)尺寸是9mm,加工要求最大不超過標(biāo)準(zhǔn)尺寸多少?最小不小于標(biāo)準(zhǔn)尺寸多少?有 理 數(shù)一、探究新知通過兩節(jié)課的學(xué)習(xí),我們已經(jīng)將數(shù)的范圍擴(kuò)大了,那么你能寫出3個(gè)不同類的數(shù)嗎?.問題1：任意寫出9個(gè)數(shù)，再將這9個(gè)數(shù)做一下分類..該分為幾類，又該怎樣分呢？先分組討論交流，再寫出來 分為 類，分別是： 引導(dǎo)歸納： 統(tǒng)稱為整數(shù)， 統(tǒng)稱為有理數(shù).問題2：我們是否可以把上述數(shù)分為兩類?如果可以,應(yīng)分為哪兩類? 正數(shù)集合與負(fù)數(shù)集合所有的正數(shù)組成 集合，所有的負(fù)數(shù)組成 集合二、知識(shí)應(yīng)用把下列各數(shù)填入它所屬于的集合的圈內(nèi):15, , 5, , , , , 80, 123, .正整數(shù)集合 負(fù)整數(shù)集合正分?jǐn)?shù)集合 負(fù)分?jǐn)?shù)集合 三、引導(dǎo)歸納有理數(shù)分類 或者 四、練習(xí)下列說法中不正確的是……………………………………………（ ）A．，分?jǐn)?shù)，也是有理數(shù) B．0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)，但是整數(shù)c．2000既是負(fù)數(shù)，也是整數(shù)，但不是有理數(shù) D．O是正數(shù)和負(fù)數(shù)的分界在下表適當(dāng)?shù)目崭窭锂嬌稀啊獭碧?hào)有理數(shù)整數(shù)分?jǐn)?shù)正整數(shù)負(fù)分?jǐn)?shù)自然數(shù)9是O是+5是數(shù) 軸一、創(chuàng)設(shè)情境，引入新課觀察下面的溫度計(jì), 176。C、 176。C、 176。C.在一條東西向的馬路上,有一個(gè)汽車站,試畫圖表示這一情境?東 汽車站請(qǐng)同學(xué)們分小組討論，交流合作，動(dòng)手操作二、合作交流，探究歸納由上面的兩個(gè)問題，你受到了什么啟發(fā)？能用直線上的點(diǎn)來表示有理數(shù)嗎？自己動(dòng)手操作，看看可以表示有理數(shù)的直線必須滿足什么條件？1）、畫數(shù)軸需要三個(gè)條件，即 、 方向和 長度.2）數(shù)軸：