【正文】 《數(shù)學模型》作業(yè)解答 第二章(1)（2008年9月16日） 1． 學校共1000名學生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，試用下列辦法分配各宿舍的委員數(shù)：（1）. 按比例分配取整數(shù)的名額后,剩下的名額按慣例分給小數(shù)部分較大者。（2）. 167。1中的Q值方法；（3）.d’Hondt方法：將A、B、C各宿舍的人數(shù)用正整數(shù)n=1,2,3,……相除，其商數(shù)如下表： 1 2 3 4 5ABC235 …333 111 …432 216 144 108 將所得商數(shù)從大到小取前10個（10為席位數(shù)），在數(shù)字下標以橫線，表中A、B、C行有橫線的數(shù)分別為2，3，5，？如果委員會從10個人增至15人，用以上3種方法再分配名額，將3種方法兩次分配的結果列表比較. 解：先考慮N=10的分配方案， 方法一（按比例分配） 分配結果為： 方法二（Q值方法）9個席位的分配結果（可用按比例分配）為：第10個席位：計算Q值為 最大， 方法三（d’Hondt方法） 此方法的分配結果為：此方法的道理是：記和為各宿舍的人數(shù)和席位（i=1,2,3代表A、B、C宿舍）.是每席位代表的人數(shù)，取從而得到的中選較大者，可使對所有的盡量接近. 再考慮的分配方案，：宿舍（1） （2） （3）（1） （2） （3）ABC 3 2 2 3 3 3 4 5 54 4 35 5 56 6 7總計 10 10 1015 15 152． 試用微積分方法，建立錄像帶記數(shù)器讀數(shù)n與轉過時間的數(shù)學模型.解： 設錄像帶記數(shù)器讀數(shù)為n時，.考慮到時間內錄像帶纏繞在右輪盤上的長度，可得兩邊積分，得 第二章(2)（2008年10月9日） 15．速度為的風吹在迎風面積為的風車上，空氣密度是 ，用量綱分析方法確定風車獲得的功率與、S、的關系.解: 設、S、的關系為， 其量綱表達式為:[P]=, []=,[]=,[]=,這里是基本量綱.量綱矩陣為：A=齊次線性方程組為：它的基本解為由量綱定理得　， ， 其中是無量綱常數(shù).16．雨滴的速度與空氣密度、粘滯系數(shù)和重力加速度有關，其中粘滯系數(shù)的定義是：運動物體在流體中受的摩擦力與速度梯度和接觸面積的乘積成正比，比例系數(shù)為粘滯系數(shù)，用量綱分析方法給出速度的表達式.解：設, 的關系為,=[]=LM0T1，[]=L3MT0，[]=MLT2（LT1L1）1L2=MLL2T2T=L1MT1，[]=LM0T2,其中L，M，T是基本量綱.量綱矩陣為 A=齊次線性方程組Ay=0 ，即 的基本解為y=(3 ,1 ,1 ,1)由量綱定理 得 . ，其中是無量綱常數(shù).16．雨滴的速度與空氣密度、粘滯系數(shù)、特征尺寸和重力加速度有關，其中粘滯系數(shù)的定義是：運動物體在流體中受的摩擦力與速度梯度和接觸面積的乘積成正比，比例系數(shù)為粘滯系數(shù)，用量綱分析方法給出速度的表達式.解：設,， []=LM0T1，[]=L3MT0，[]=MLT2（LT1L1）1L2=MLL2T2T=L1MT1，[]=LM0T0 ，[]=LM0T2其中L，M，T是基本量綱.量綱矩陣為A=齊次線性方程組Ay=0 即 的基本解為 得到兩個相互獨立的無量綱量即 . 由 , 得 , 其中是未定函數(shù). ，即在單擺運動中考慮阻力，然后討論物理模擬的比例模型，即怎樣由模型擺的周期計算原型擺的周期.解：設阻尼擺周期,擺長, 質量,重力加速度，阻力系數(shù)的關系為其量綱表達式為：， 其中，是基本量綱.量綱矩陣為 A=齊次線性方程組 的基本解為得到兩個相互獨立的無量綱量∴, , ∴ ，其中是未定函數(shù) . 考慮物理模擬的比例模型，設和不變，記模型和原型擺的周期、擺長、質量分別為,；,。,. 又 當無量綱量時， 就有 .《數(shù)學模型》作業(yè)解答第三章1（2008年10月14日）1. ,重新確定最優(yōu)訂貨周期和訂貨批量．證明在不允許缺貨模型中結果與原來的一樣，而在允許缺貨模型中最優(yōu)訂貨周期和訂貨批量都比原來結果減少．解：設購買單位重量貨物的費用為,其它假設及符號約定同課本． 對于不允許缺貨模型，每天平均費用為：　　　　 　　　　 　　　　令 ， 　解得　　　　　　　由 ，　得與不考慮購貨費的結果比較，Ｔ、Ｑ的最優(yōu)結果沒有變． 對于允許缺貨模型，每天平均費用為：　　　 　　　 　　　 　　　令　，　得到駐點：　　　　與不考慮購貨費的結果比較，Ｔ、Ｑ的最優(yōu)結果減少．2．建立不允許缺貨的生產銷售存貯模型．設生產速率為常數(shù)，銷售速率為常數(shù)，．在每個生產周期Ｔ內，開始的一段時間一邊生產一邊銷售，后來的一段時間只銷售不生產，單位時間每件產品貯存費為，以總費用最小為目標確定最優(yōu)生產周期，討論和的情況. 解：由題意可得貯存量的圖形如下：O 貯存費為 又 , 貯存費變?yōu)? 于是不允許缺貨的情況下，生產銷售的總費用（單位時間內）為 . , 得 易得函數(shù)取得最小值，即最優(yōu)周期為： . 相當于不考慮生產的情況. . 此時產量與銷量相抵消，無法形成貯存量.第三章2（2008年10月16日）3．，如果考慮消防隊員的滅火速度與開始救火時的火勢有關，試假設一個合理的函數(shù)關系，重新求解模型.解：考慮滅火速度與火勢有關，可知火勢越大，滅火速度將減小，我們作如下假設: ，分母而加的.總費用函數(shù)最優(yōu)解為 5．在考慮最優(yōu)價格問題時設銷售期為T，由于商品的損耗，成本隨時間增長，設，.，每段的價格固定，，再求的最優(yōu)值. 解：按分段價格，單位時間內的銷售量為 又 .于是總利潤為==, 得到最優(yōu)價格為:在銷售期T內的總銷量為于是得到如下極值問題： 利用拉格朗日乘數(shù)法，解得：即為的最優(yōu)值.第三章3（2008年10月21日）6. 某廠每天需要角鋼100噸，？改變后能節(jié)約多少費用？解：已知：每天角鋼的需要量r=100(噸)。每次訂貨費＝2500（元）。每天每噸角鋼的貯存費＝（元）.又現(xiàn)在的訂貨周期T＝30（天）根據(jù)不允許缺貨的貯存模型：得：令 ， 解得： 由實際意義知：當（即訂貨周期為）時，總費用將最小. 又＝300＋100k =353．33＋100k－＝（＋100k）－（300＋100k）＝53．33.（周期）為T=，能節(jié)約費用約53．33元.《數(shù)學模型》作業(yè)解答第四章（2008年10月28日）1. 某廠生產甲、乙兩種產品,一件甲產品用原料1千克, 原料5千克；一件乙產品用原料2千克, , 、？解：設安排生產甲產品x件,乙產品y件，相應的利潤為S則此問題的數(shù)學模型為： max S=20x+30y . 這是一個整線性規(guī)劃問題，現(xiàn)用圖解法進行求解可行域為：由直線：x+2y=20, :5x+4y＝70 y 以及x=0,y=0組成的凸四邊形區(qū)域. 直線：20x+30y=c在可行域內 平行移動. 易知：當過與的交點時， xS取最大值. 由 解得 此時 ＝20＝350（元）2. 某廠擬用集裝箱托運甲乙兩種貨物，每箱的體積、重量以及可獲利潤如下表：貨物體積（立方米/箱）重量（百斤/箱）利潤（百元/箱）甲5220乙4510 已知這兩種貨物托運所受限制是體積不超過24立方米，使得所獲利潤最大，并求出最大利潤.解:設甲貨物、乙貨物的托運箱數(shù)分別為,所獲利潤為則問題的數(shù)學模型可表示為 這是一個整線性規(guī)劃問題. 用圖解法求解. 可行域為：由直線 及組成直線 在此凸四邊形區(qū)域內平行移動. 易知：當過與的交點時，取最大值由 解得 . 3．某微波爐生產企業(yè)計劃在下季度生產甲、乙型微波爐所耗原料分別為2和3個單位,工時為120個單位,且甲型、,確定生產甲型、乙型微波爐的臺數(shù),使獲利潤最大．并求出最大利潤.解：設安排生產甲型微波爐件,乙型微波爐件,相應的利潤為S