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數(shù)學模型第三版課后習題答案(已修改)

2025-06-19 19:11 本頁面
 

【正文】 《數(shù)學模型》作業(yè)解答 第二章(1)(2008年9月16日) 1. 學校共1000名學生,235人住在A宿舍,333人住在B宿舍,試用下列辦法分配各宿舍的委員數(shù):(1). 按比例分配取整數(shù)的名額后,剩下的名額按慣例分給小數(shù)部分較大者。(2). 167。1中的Q值方法;(3).d’Hondt方法:將A、B、C各宿舍的人數(shù)用正整數(shù)n=1,2,3,……相除,其商數(shù)如下表: 1 2 3 4 5ABC235 …333 111 …432 216 144 108 將所得商數(shù)從大到小取前10個(10為席位數(shù)),在數(shù)字下標以橫線,表中A、B、C行有橫線的數(shù)分別為2,3,5,?如果委員會從10個人增至15人,用以上3種方法再分配名額,將3種方法兩次分配的結果列表比較. 解:先考慮N=10的分配方案, 方法一(按比例分配) 分配結果為: 方法二(Q值方法)9個席位的分配結果(可用按比例分配)為:第10個席位:計算Q值為 最大, 方法三(d’Hondt方法) 此方法的分配結果為:此方法的道理是:記和為各宿舍的人數(shù)和席位(i=1,2,3代表A、B、C宿舍).是每席位代表的人數(shù),取從而得到的中選較大者,可使對所有的盡量接近. 再考慮的分配方案,:宿舍(1) (2) (3)(1) (2) (3)ABC 3 2 2 3 3 3 4 5 54 4 35 5 56 6 7總計 10 10 1015 15 152. 試用微積分方法,建立錄像帶記數(shù)器讀數(shù)n與轉過時間的數(shù)學模型.解: 設錄像帶記數(shù)器讀數(shù)為n時,.考慮到時間內錄像帶纏繞在右輪盤上的長度,可得兩邊積分,得 第二章(2)(2008年10月9日) 15.速度為的風吹在迎風面積為的風車上,空氣密度是 ,用量綱分析方法確定風車獲得的功率與、S、的關系.解: 設、S、的關系為, 其量綱表達式為:[P]=, []=,[]=,[]=,這里是基本量綱.量綱矩陣為:A=齊次線性方程組為:它的基本解為由量綱定理得 , , 其中是無量綱常數(shù).16.雨滴的速度與空氣密度、粘滯系數(shù)和重力加速度有關,其中粘滯系數(shù)的定義是:運動物體在流體中受的摩擦力與速度梯度和接觸面積的乘積成正比,比例系數(shù)為粘滯系數(shù),用量綱分析方法給出速度的表達式.解:設, 的關系為,=[]=LM0T1,[]=L3MT0,[]=MLT2(LT1L1)1L2=MLL2T2T=L1MT1,[]=LM0T2,其中L,M,T是基本量綱.量綱矩陣為 A=齊次線性方程組Ay=0 ,即 的基本解為y=(3 ,1 ,1 ,1)由量綱定理 得 . ,其中是無量綱常數(shù).16.雨滴的速度與空氣密度、粘滯系數(shù)、特征尺寸和重力加速度有關,其中粘滯系數(shù)的定義是:運動物體在流體中受的摩擦力與速度梯度和接觸面積的乘積成正比,比例系數(shù)為粘滯系數(shù),用量綱分析方法給出速度的表達式.解:設,, []=LM0T1,[]=L3MT0,[]=MLT2(LT1L1)1L2=MLL2T2T=L1MT1,[]=LM0T0 ,[]=LM0T2其中L,M,T是基本量綱.量綱矩陣為A=齊次線性方程組Ay=0 即 的基本解為 得到兩個相互獨立的無量綱量即 . 由 , 得 , 其中是未定函數(shù). ,即在單擺運動中考慮阻力,然后討論物理模擬的比例模型,即怎樣由模型擺的周期計算原型擺的周期.解:設阻尼擺周期,擺長, 質量,重力加速度,阻力系數(shù)的關系為其量綱表達式為:, 其中,是基本量綱.量綱矩陣為 A=齊次線性方程組 的基本解為得到兩個相互獨立的無量綱量∴, , ∴ ,其中是未定函數(shù) . 考慮物理模擬的比例模型,設和不變,記模型和原型擺的周期、擺長、質量分別為,;,。,. 又 當無量綱量時, 就有 .《數(shù)學模型》作業(yè)解答第三章1(2008年10月14日)1. ,重新確定最優(yōu)訂貨周期和訂貨批量.證明在不允許缺貨模型中結果與原來的一樣,而在允許缺貨模型中最優(yōu)訂貨周期和訂貨批量都比原來結果減少.解:設購買單位重量貨物的費用為,其它假設及符號約定同課本. 對于不允許缺貨模型,每天平均費用為:              令 ,  解得       由 , 得與不考慮購貨費的結果比較,T、Q的最優(yōu)結果沒有變. 對于允許缺貨模型,每天平均費用為:               令 , 得到駐點:    與不考慮購貨費的結果比較,T、Q的最優(yōu)結果減少.2.建立不允許缺貨的生產銷售存貯模型.設生產速率為常數(shù),銷售速率為常數(shù),.在每個生產周期T內,開始的一段時間一邊生產一邊銷售,后來的一段時間只銷售不生產,單位時間每件產品貯存費為,以總費用最小為目標確定最優(yōu)生產周期,討論和的情況. 解:由題意可得貯存量的圖形如下:O 貯存費為 又 , 貯存費變?yōu)? 于是不允許缺貨的情況下,生產銷售的總費用(單位時間內)為 . , 得 易得函數(shù)取得最小值,即最優(yōu)周期為: . 相當于不考慮生產的情況. . 此時產量與銷量相抵消,無法形成貯存量.第三章2(2008年10月16日)3.,如果考慮消防隊員的滅火速度與開始救火時的火勢有關,試假設一個合理的函數(shù)關系,重新求解模型.解:考慮滅火速度與火勢有關,可知火勢越大,滅火速度將減小,我們作如下假設: ,分母而加的.總費用函數(shù)最優(yōu)解為 5.在考慮最優(yōu)價格問題時設銷售期為T,由于商品的損耗,成本隨時間增長,設,.,每段的價格固定,,再求的最優(yōu)值. 解:按分段價格,單位時間內的銷售量為 又 .于是總利潤為==, 得到最優(yōu)價格為:在銷售期T內的總銷量為于是得到如下極值問題: 利用拉格朗日乘數(shù)法,解得:即為的最優(yōu)值.第三章3(2008年10月21日)6. 某廠每天需要角鋼100噸,?改變后能節(jié)約多少費用?解:已知:每天角鋼的需要量r=100(噸)。每次訂貨費=2500(元)。每天每噸角鋼的貯存費=(元).又現(xiàn)在的訂貨周期T=30(天)根據(jù)不允許缺貨的貯存模型:得:令 , 解得: 由實際意義知:當(即訂貨周期為)時,總費用將最小. 又=300+100k =353.33+100k-=(+100k)-(300+100k)=53.33.(周期)為T=,能節(jié)約費用約53.33元.《數(shù)學模型》作業(yè)解答第四章(2008年10月28日)1. 某廠生產甲、乙兩種產品,一件甲產品用原料1千克, 原料5千克;一件乙產品用原料2千克, , 、?解:設安排生產甲產品x件,乙產品y件,相應的利潤為S則此問題的數(shù)學模型為: max S=20x+30y . 這是一個整線性規(guī)劃問題,現(xiàn)用圖解法進行求解可行域為:由直線:x+2y=20, :5x+4y=70 y 以及x=0,y=0組成的凸四邊形區(qū)域. 直線:20x+30y=c在可行域內 平行移動. 易知:當過與的交點時, xS取最大值. 由 解得 此時 =20=350(元)2. 某廠擬用集裝箱托運甲乙兩種貨物,每箱的體積、重量以及可獲利潤如下表:貨物體積(立方米/箱)重量(百斤/箱)利潤(百元/箱)甲5220乙4510 已知這兩種貨物托運所受限制是體積不超過24立方米,使得所獲利潤最大,并求出最大利潤.解:設甲貨物、乙貨物的托運箱數(shù)分別為,所獲利潤為則問題的數(shù)學模型可表示為 這是一個整線性規(guī)劃問題. 用圖解法求解. 可行域為:由直線 及組成直線 在此凸四邊形區(qū)域內平行移動. 易知:當過與的交點時,取最大值由 解得 . 3.某微波爐生產企業(yè)計劃在下季度生產甲、乙型微波爐所耗原料分別為2和3個單位,工時為120個單位,且甲型、,確定生產甲型、乙型微波爐的臺數(shù),使獲利潤最大.并求出最大利潤.解:設安排生產甲型微波爐件,乙型微波爐件,相應的利潤為S
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