【正文】 《數(shù)學(xué)模型》作業(yè)解答 第二章(1)（2008年9月16日） 1． 學(xué)校共1000名學(xué)生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，試用下列辦法分配各宿舍的委員數(shù)：（1）. 按比例分配取整數(shù)的名額后,剩下的名額按慣例分給小數(shù)部分較大者。（2）. 167。1中的Q值方法；（3）.d’Hondt方法：將A、B、C各宿舍的人數(shù)用正整數(shù)n=1,2,3,……相除，其商數(shù)如下表： 1 2 3 4 5ABC235 …333 111 …432 216 144 108 將所得商數(shù)從大到小取前10個(gè)（10為席位數(shù)），在數(shù)字下標(biāo)以橫線，表中A、B、C行有橫線的數(shù)分別為2，3，5，？如果委員會(huì)從10個(gè)人增至15人，用以上3種方法再分配名額，將3種方法兩次分配的結(jié)果列表比較. 解：先考慮N=10的分配方案， 方法一（按比例分配） 分配結(jié)果為： 方法二（Q值方法）9個(gè)席位的分配結(jié)果（可用按比例分配）為：第10個(gè)席位：計(jì)算Q值為 最大， 方法三（d’Hondt方法） 此方法的分配結(jié)果為：此方法的道理是：記和為各宿舍的人數(shù)和席位（i=1,2,3代表A、B、C宿舍）.是每席位代表的人數(shù)，取從而得到的中選較大者，可使對(duì)所有的盡量接近. 再考慮的分配方案，：宿舍（1） （2） （3）（1） （2） （3）ABC 3 2 2 3 3 3 4 5 54 4 35 5 56 6 7總計(jì) 10 10 1015 15 152． 試用微積分方法，建立錄像帶記數(shù)器讀數(shù)n與轉(zhuǎn)過(guò)時(shí)間的數(shù)學(xué)模型.解： 設(shè)錄像帶記數(shù)器讀數(shù)為n時(shí)，.考慮到時(shí)間內(nèi)錄像帶纏繞在右輪盤(pán)上的長(zhǎng)度，可得兩邊積分，得 第二章(2)（2008年10月9日） 15．速度為的風(fēng)吹在迎風(fēng)面積為的風(fēng)車(chē)上，空氣密度是 ，用量綱分析方法確定風(fēng)車(chē)獲得的功率與、S、的關(guān)系.解: 設(shè)、S、的關(guān)系為， 其量綱表達(dá)式為:[P]=, []=,[]=,[]=,這里是基本量綱.量綱矩陣為：A=齊次線性方程組為：它的基本解為由量綱定理得　， ， 其中是無(wú)量綱常數(shù).16．雨滴的速度與空氣密度、粘滯系數(shù)和重力加速度有關(guān)，其中粘滯系數(shù)的定義是：運(yùn)動(dòng)物體在流體中受的摩擦力與速度梯度和接觸面積的乘積成正比，比例系數(shù)為粘滯系數(shù)，用量綱分析方法給出速度的表達(dá)式.解：設(shè), 的關(guān)系為,=[]=LM0T1，[]=L3MT0，[]=MLT2（LT1L1）1L2=MLL2T2T=L1MT1，[]=LM0T2,其中L，M，T是基本量綱.量綱矩陣為 A=齊次線性方程組Ay=0 ，即 的基本解為y=(3 ,1 ,1 ,1)由量綱定理 得 . ，其中是無(wú)量綱常數(shù).16．雨滴的速度與空氣密度、粘滯系數(shù)、特征尺寸和重力加速度有關(guān)，其中粘滯系數(shù)的定義是：運(yùn)動(dòng)物體在流體中受的摩擦力與速度梯度和接觸面積的乘積成正比，比例系數(shù)為粘滯系數(shù)，用量綱分析方法給出速度的表達(dá)式.解：設(shè),， []=LM0T1，[]=L3MT0，[]=MLT2（LT1L1）1L2=MLL2T2T=L1MT1，[]=LM0T0 ，[]=LM0T2其中L，M，T是基本量綱.量綱矩陣為A=齊次線性方程組Ay=0 即 的基本解為 得到兩個(gè)相互獨(dú)立的無(wú)量綱量即 . 由 , 得 , 其中是未定函數(shù). ，即在單擺運(yùn)動(dòng)中考慮阻力，然后討論物理模擬的比例模型，即怎樣由模型擺的周期計(jì)算原型擺的周期.解：設(shè)阻尼擺周期,擺長(zhǎng), 質(zhì)量,重力加速度，阻力系數(shù)的關(guān)系為其量綱表達(dá)式為：， 其中，是基本量綱.量綱矩陣為 A=齊次線性方程組 的基本解為得到兩個(gè)相互獨(dú)立的無(wú)量綱量∴, , ∴ ，其中是未定函數(shù) . 考慮物理模擬的比例模型，設(shè)和不變，記模型和原型擺的周期、擺長(zhǎng)、質(zhì)量分別為,；,。,. 又 當(dāng)無(wú)量綱量時(shí)， 就有 .《數(shù)學(xué)模型》作業(yè)解答第三章1（2008年10月14日）1. ,重新確定最優(yōu)訂貨周期和訂貨批量．證明在不允許缺貨模型中結(jié)果與原來(lái)的一樣，而在允許缺貨模型中最優(yōu)訂貨周期和訂貨批量都比原來(lái)結(jié)果減少．解：設(shè)購(gòu)買(mǎi)單位重量貨物的費(fèi)用為,其它假設(shè)及符號(hào)約定同課本． 對(duì)于不允許缺貨模型，每天平均費(fèi)用為：　　　　 　　　　 　　　　令 ， 　解得　　　　　　　由 ，　得與不考慮購(gòu)貨費(fèi)的結(jié)果比較，Ｔ、Ｑ的最優(yōu)結(jié)果沒(méi)有變． 對(duì)于允許缺貨模型，每天平均費(fèi)用為：　　　 　　　 　　　 　　　令　，　得到駐點(diǎn)：　　　　與不考慮購(gòu)貨費(fèi)的結(jié)果比較，Ｔ、Ｑ的最優(yōu)結(jié)果減少．2．建立不允許缺貨的生產(chǎn)銷(xiāo)售存貯模型．設(shè)生產(chǎn)速率為常數(shù)，銷(xiāo)售速率為常數(shù)，．在每個(gè)生產(chǎn)周期Ｔ內(nèi)，開(kāi)始的一段時(shí)間一邊生產(chǎn)一邊銷(xiāo)售，后來(lái)的一段時(shí)間只銷(xiāo)售不生產(chǎn)，單位時(shí)間每件產(chǎn)品貯存費(fèi)為，以總費(fèi)用最小為目標(biāo)確定最優(yōu)生產(chǎn)周期，討論和的情況. 解：由題意可得貯存量的圖形如下：O 貯存費(fèi)為 又 , 貯存費(fèi)變?yōu)? 于是不允許缺貨的情況下，生產(chǎn)銷(xiāo)售的總費(fèi)用（單位時(shí)間內(nèi)）為 . , 得 易得函數(shù)取得最小值，即最優(yōu)周期為： . 相當(dāng)于不考慮生產(chǎn)的情況. . 此時(shí)產(chǎn)量與銷(xiāo)量相抵消，無(wú)法形成貯存量.第三章2（2008年10月16日）3．，如果考慮消防隊(duì)員的滅火速度與開(kāi)始救火時(shí)的火勢(shì)有關(guān)，試假設(shè)一個(gè)合理的函數(shù)關(guān)系，重新求解模型.解：考慮滅火速度與火勢(shì)有關(guān)，可知火勢(shì)越大，滅火速度將減小，我們作如下假設(shè): ，分母而加的.總費(fèi)用函數(shù)最優(yōu)解為 5．在考慮最優(yōu)價(jià)格問(wèn)題時(shí)設(shè)銷(xiāo)售期為T(mén)，由于商品的損耗，成本隨時(shí)間增長(zhǎng)，設(shè)，.，每段的價(jià)格固定，，再求的最優(yōu)值. 解：按分段價(jià)格，單位時(shí)間內(nèi)的銷(xiāo)售量為 又 .于是總利潤(rùn)為==, 得到最優(yōu)價(jià)格為:在銷(xiāo)售期T內(nèi)的總銷(xiāo)量為于是得到如下極值問(wèn)題： 利用拉格朗日乘數(shù)法，解得：即為的最優(yōu)值.第三章3（2008年10月21日）6. 某廠每天需要角鋼100噸，？改變后能節(jié)約多少費(fèi)用？解：已知：每天角鋼的需要量r=100(噸)。每次訂貨費(fèi)＝2500（元）。每天每噸角鋼的貯存費(fèi)＝（元）.又現(xiàn)在的訂貨周期T＝30（天）根據(jù)不允許缺貨的貯存模型：得：令 ， 解得： 由實(shí)際意義知：當(dāng)（即訂貨周期為）時(shí)，總費(fèi)用將最小. 又＝300＋100k =353．33＋100k－＝（＋100k）－（300＋100k）＝53．33.（周期）為T(mén)=，能節(jié)約費(fèi)用約53．33元.《數(shù)學(xué)模型》作業(yè)解答第四章（2008年10月28日）1. 某廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品,一件甲產(chǎn)品用原料1千克, 原料5千克；一件乙產(chǎn)品用原料2千克, , 、？解：設(shè)安排生產(chǎn)甲產(chǎn)品x件,乙產(chǎn)品y件，相應(yīng)的利潤(rùn)為S則此問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型為： max S=20x+30y . 這是一個(gè)整線性規(guī)劃問(wèn)題，現(xiàn)用圖解法進(jìn)行求解可行域?yàn)椋河芍本€：x+2y=20, :5x+4y＝70 y 以及x=0,y=0組成的凸四邊形區(qū)域. 直線：20x+30y=c在可行域內(nèi) 平行移動(dòng). 易知：當(dāng)過(guò)與的交點(diǎn)時(shí)， xS取最大值. 由 解得 此時(shí) ＝20＝350（元）2. 某廠擬用集裝箱托運(yùn)甲乙兩種貨物，每箱的體積、重量以及可獲利潤(rùn)如下表：貨物體積（立方米/箱）重量（百斤/箱）利潤(rùn)（百元/箱）甲5220乙4510 已知這兩種貨物托運(yùn)所受限制是體積不超過(guò)24立方米，使得所獲利潤(rùn)最大，并求出最大利潤(rùn).解:設(shè)甲貨物、乙貨物的托運(yùn)箱數(shù)分別為,所獲利潤(rùn)為則問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型可表示為 這是一個(gè)整線性規(guī)劃問(wèn)題. 用圖解法求解. 可行域?yàn)椋河芍本€ 及組成直線 在此凸四邊形區(qū)域內(nèi)平行移動(dòng). 易知：當(dāng)過(guò)與的交點(diǎn)時(shí)，取最大值由 解得 . 3．某微波爐生產(chǎn)企業(yè)計(jì)劃在下季度生產(chǎn)甲、乙型微波爐所耗原料分別為2和3個(gè)單位,工時(shí)為120個(gè)單位,且甲型、,確定生產(chǎn)甲型、乙型微波爐的臺(tái)數(shù),使獲利潤(rùn)最大．并求出最大利潤(rùn).解：設(shè)安排生產(chǎn)甲型微波爐件,乙型微波爐件,相應(yīng)的利潤(rùn)為S