應(yīng)用回歸分析第章課后習(xí)題參考答案(已修改)
2025-06-19 18:24 本頁面
【正文】 第二章 一元線性回歸分析思考與練習(xí)參考答案 一元線性回歸有哪些基本假定?答： 假設(shè)解釋變量X是確定性變量，Y是隨機(jī)變量； 假設(shè)隨機(jī)誤差項(xiàng)ε具有零均值、同方差和不序列相關(guān)性： E(εi)=0 i=1,2, …,n Var (εi)=s2 i=1,2, …,n Cov(εi, εj)=0 i≠j i,j= 1,2, …,n 假設(shè)隨機(jī)誤差項(xiàng)ε與解釋變量X之間不相關(guān)： Cov(Xi, εi)=0 i=1,2, …,n 假設(shè)ε服從零均值、同方差、零協(xié)方差的正態(tài)分布 εi~N(0, s2 ) i=1,2, …,n 考慮過原點(diǎn)的線性回歸模型 Yi=β1Xi+εi i=1,2, …,n誤差εi（i=1,2, …,n）仍滿足基本假定。求β1的最小二乘估計(jì)解：得： 證明（），Sei =0 ，SeiXi=0 。證明：其中：即： Sei =0 ，SeiXi=0（Y）=β0+β1X的參數(shù)β0，β1的最小二乘估計(jì)與最大似然估計(jì)在什么條件下等價(jià)?給出證明。答：由于εi~N(0, s2 ) i=1,2, …,n所以Yi=β0 + β1Xi + εi~N（β0+β1Xi , s2 )最大似然函數(shù)：使得Ln（L）最大的，就是β0，β1的最大似然估計(jì)值。同時(shí)發(fā)現(xiàn)使得Ln（L）最大就是使得下式最小，上式恰好就是最小二乘估計(jì)的目標(biāo)函數(shù)相同。值得注意的是：最大似然估計(jì)是在εi~N(0, s2 )的假設(shè)下求得，最小二乘估計(jì)則不要求分布假設(shè)。 所以在εi~N(0, s2 ) 的條件下， 參數(shù)β0，β1的最小二乘估計(jì)與最大似然估計(jì)等價(jià)。 證明是β0的無偏估計(jì)。證明： 證明證明： 證明平方和分解公式：SST=SSE+SSR證明： 驗(yàn)證三種檢驗(yàn)的關(guān)系，即驗(yàn)證：（1）；（2）證明：（1）（2） 驗(yàn)證（）式：證明：其中： 用第9題證明是s2的無偏估計(jì)量證明： 驗(yàn)證決定系數(shù)與F值之間的關(guān)系式證明： 為了調(diào)查某廣告對銷售收入的影響，某商店記錄了5個(gè)月的銷售收入y（萬元）和廣告費(fèi)用x（萬元），要求用手工計(jì)算：月份12345X12345Y1010202040（1） 畫散點(diǎn)圖（略）（2） X與Y是否大致呈線性關(guān)系？答：從散點(diǎn)圖看，X與Y大致呈線性關(guān)系。（3） 用最小二乘法估計(jì)求出回歸方程。計(jì)算表XY1104100206（14）2（4）221011001013（7）2（3）2320000200042010027727254044004034142（6）2和15100和Lxx=10Lyy=600和Lxy=70和100SSR=490SSE=110均3均20均20 回歸方程為：（4） 求回歸標(biāo)準(zhǔn)誤差先求SSR（Qe）見計(jì)算表。所以（5） 給出 的置信度為95%的區(qū)間估計(jì)；由于(1a)的置信度下， 的置信區(qū)間是 查表可得所以 的95%的區(qū)間估計(jì)為：（7—*，7+*），即（,）。所以 的95%的區(qū)間估計(jì)為：（*，1+*），即（, ）。的置信區(qū)間包含0，表示不顯著。（6） 計(jì)算x和y的決定系數(shù) 說明回歸方程的擬合優(yōu)度高。（7） 對回歸方程作方差分析方差分析表方差來源平方和自由度均方F值SSR4901490SSE1103SST6004F值=(1,3)=(當(dāng)n=1,n=8時(shí)，α=),所以拒絕原假設(shè)，說明回歸方程顯著。（8）做回歸系數(shù)β1的顯著性檢驗(yàn)H0: β1=0t值=(3)=,所以拒絕原假設(shè)，說明x對Y有顯著的影響。（8） 做相關(guān)系數(shù)R的顯著性檢驗(yàn)R值=(3)=,所以接受原假設(shè)，說明x和Y有顯著的線性關(guān)系。（9） 對回歸方程作殘差圖并作相應(yīng)的分析殘差圖(略) .從殘差圖上看出，殘差是圍繞e=0在一個(gè)固定的帶子里隨機(jī)波動(dòng)，基本滿足模型的假設(shè)ei~N(0, s2 ), 但由于樣本量太少, 所以誤差較大.（10） ,銷售收入將達(dá)到多少?并給出置信度為95%的置信區(qū)間.解: 當(dāng)X0=, , .由于置信度為1α?xí)r，Y0估計(jì)值的置信區(qū)間為:所以求得Y0的95%的置信區(qū)間為: [ ,]預(yù)測誤差較大. 一家保險(xiǎn)公司十分關(guān)心其總公司營業(yè)部加班的制度，決定認(rèn)真調(diào)查一下現(xiàn)狀。經(jīng)過十周時(shí)間，收集了每周加班工作時(shí)間的數(shù)據(jù)和簽發(fā)的新保單數(shù)目，x為每周新簽發(fā)的保單數(shù)目，y為每周加班工作時(shí)間（小時(shí)）。表2..7周序號12345678910X825215107055048092013503256701215Y畫散點(diǎn)圖由散點(diǎn)圖可以看出， x與y之間大致呈線性關(guān)系。用最小二乘法求出回歸系數(shù)由表可知： 回歸方程為： 求回歸標(biāo)準(zhǔn)誤差由方差分析表可以得到:SSE= 故回歸標(biāo)準(zhǔn)誤差，=。給出回歸系數(shù)的置信度為95%的區(qū)間估計(jì)由回歸系數(shù)顯著性檢驗(yàn)表可以看出，當(dāng)置信度為95%時(shí)：的預(yù)測區(qū)間為[,], 的預(yù)測區(qū)間為[,].的置信區(qū)間包含0，表示不拒絕為零的假設(shè)。決定系數(shù) ，說明模型的擬合優(yōu)度高。 7. 對回歸方程作方差分析由方差分析表可知：F值=(當(dāng)n=1,n=8時(shí)，)P值0，所以拒絕原假設(shè)，說明回歸方程顯著。對的顯著性檢驗(yàn)從上面回歸系數(shù)顯著性檢驗(yàn)表可以得到的t統(tǒng)計(jì)量為t=，所對應(yīng)的p值近似為0，通過t檢驗(yàn)。說明每周簽發(fā)的新保單數(shù)目x對每周加班工作時(shí)間y有顯著的影響。，說明x與y顯著線性相關(guān)。對回歸方程作殘差圖并作相應(yīng)分析從殘差圖上看出，殘差是圍繞e=0隨即波動(dòng)，滿足模型的基本假設(shè)。1該公司預(yù)計(jì)下一周簽發(fā)新保單X0=1000張,需要的加班時(shí)間是多少?當(dāng)
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