全等三角形中的熱點問題(已修改)
2025-06-19 15:45 本頁面
【正文】 全等三角形中的熱點問題一：條件開放與探索 給出問題的結(jié)論，讓解題者分析探索使結(jié)論成立應(yīng)具備的條件，而滿足結(jié)論的條件往往不是惟一的，這樣的問題是條件開放性問題。它要求解題者善于從問題的結(jié)論出發(fā)，逆向追求，多途尋求，這類題常以基礎(chǔ)知識為背景加以設(shè)計而成，主要考查解題者對基礎(chǔ)知識的掌握程度和歸納能力。例（2005年玉溪）．如圖8，已知AB＝AD，∠1＝∠2，要使△ABC≌△ADE，還需添加的條件是（只需填一個） 。ABCDE12（圖8）解：∠B＝∠D或∠C＝∠E或AC＝AE例（2005年長沙）．如圖，AB＝AC ，要使，應(yīng)添加的條件是____________ (添加一個條件即可)EABCD解：AD=AE 或∠B=∠C 或∠ADC=∠AEB 例（2005年金華）如圖，在△ＡＢＣ中，點Ｄ在ＡＢ上，點Ｅ在ＢＣ上，ＢＤ＝ＢＥ。（１） 請你再添加一個條件，使得△ＢＥＡ≌△ＢＤＣ，并給出證明。 你添加的條件是：___________（２） 根據(jù)你添加的條件，再寫出圖中的一對全等三角形：______________（只要求寫出一對全等三角形，不再添加其他線段，不再標注或使用其他字母，不必寫出證明過程）提示：（1）∠BAE=∠BCD或∠AEB=∠CDB或AE=CD ，證明略 ；（2）△ADC≌△AEC例4（2005年福州課改卷）已知：如圖7，點C、D在線段AB上，PC＝PD。請你添加一個條件，使圖中存在全等三角形并給予證明。所加條件為＿＿＿＿＿＿＿，你得到的一對全等三角形是△＿＿＿≌△＿＿＿。提示： 所添條件為： ∠A＝∠B（或PA＝PB或AC＝BD或AD＝BC或∠APC＝∠BPD或∠APD＝∠BPC等）全等三角形為：△PAC≌△PBD（或△APD≌△BPC） 證明：（略）二：結(jié)論開放與探索 給定問題的條件，讓解題者根據(jù)條件探索相應(yīng)的結(jié)論，并且符合條件的結(jié)論往往呈現(xiàn)多樣性，或者相應(yīng)的結(jié)論的“存在性”需要解題者景象推斷，甚至要求解題者探索條件在變化中的結(jié)論，這些問題都是結(jié)論開放性的問題，它要求解題者充分利用條件進行大膽而合理的猜想，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，得出結(jié)論，這類題主要考查解題者的發(fā)散性思維和所學(xué)基本知識的應(yīng)用能力例5（2005年安徽）. 如圖, 已知AB∥DE, AB=DE, AF=DC, 請問圖中有哪幾對全等三角形? 并任選其中一對給予證明.解：圖中有3對全等三角形，分別：△ABF≌△DEC?！?ABC≌△DEF，△BCF≌△EFC。證明：∵AB∥DE，∴∠A＝∠D，又∵AB=DE, AF=DC，∴△ABF≌△DEC。例6（2005年寧波）.如圖,△ABC中,AB=AC,過點A作GE∥BC,角平分線BD、CF相交于點H,它們的延長線分別交GE于點E、,并對其中一對全等三角形給出證明.EAGDFHCB提示：△AGC≌△AFB。△AGF≌△DFD。△HBF≌△HDC?！鰽FC≌△ADB。證明略例7．（2005年常州）如圖，已知為等邊三角形，、分別在邊、上，且也是等邊三角形．（1）除已知相等的邊以外，請你猜想還有哪些相等線段，并證明你的猜想是正確的；（2）你所證明相等的線段，可以通過怎樣的變化相互得到？寫出變化過程．提示：（1）AE=BF=CD ；AF=BD=CE；證明：（略）（2）繞E、D、F進行旋轉(zhuǎn)，然后對折。例8．（2005年馬尾）用兩個全等的等邊三角形△ABC和△176。角的三角尺與這個菱形疊合，使三角尺的60176。角的頂點與點A重合，兩邊分別與AB，.（1）當(dāng)三角尺的兩邊分別與菱形的兩邊BC，CD相交于點E，F(xiàn)時，（如圖13—1），通過觀察或測量BE，CF的長度，你能得出什么結(jié)論？并證明你的結(jié)論；（2）當(dāng)三角尺的兩邊分別與菱形的兩邊BC，CD的延長線相交于點E，F(xiàn)時（如圖13—2），你在（1）中得到的結(jié)論還成立嗎？簡要說明理由.解：（1）BE=CF. 證明：在△ABE和△ACF中， ∵∠BAE+∠EAC=∠CAF+∠EAC=60176。， ∴∠BAE=∠CAF.∵AB=AC，∠B=∠ACF=60176。，∴△ABE≌△ACF（ASA）. ∴BE=CF. （2）BE=CF仍然成立. 根據(jù)三角形全等的判定公理，同樣可以證明
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