【正文】 1 Ptt+ ?tt ?tgra d tq第一章 導(dǎo)熱理論基礎(chǔ) 第一節(jié)基本概念及傅里葉定律 11 導(dǎo)熱基本概念 一、溫度場 定義 ：在某一時(shí)間，物體內(nèi)部各處的溫度分布即為 溫度場 。 直角 坐標(biāo)系 ： ),( ?zyxft ? （ 21） 熱流是由高溫向低溫傳遞，具有方向性 。 而溫度則屬于標(biāo)量，無方向性。 分類 ： 從時(shí)間坐標(biāo)看， 穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱：溫度分布與時(shí)間無關(guān)， ),( zyxft ? ； 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱：溫度分布與時(shí)間有關(guān)， ),( ?zyxft ? 。 從空間坐標(biāo)可將導(dǎo)熱分為一維 、二維、三維導(dǎo)熱。其中最簡單的是一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱，可表示為： )(xft? 。 等溫面（線） 在同一瞬間，物體內(nèi)溫度相同的點(diǎn)連成的面即為 等溫面 。不同的等溫面與同一平面相交，在平面上得到的一組線為 等溫線 。 不同的等溫面（線）之間是不可能相交的。圖 21所示的即為 一維大平壁和一維圓筒壁內(nèi)的等溫面（線）的示意圖。 二、溫度梯度 定義沿 法線方向的溫度變化 率為 溫度梯度 ，以tgrad? 表示。 ntntgr ad nt ?????? ??? 0lim (23) 溫度梯度是一個(gè)矢量，具有 方向性 。它的方向是沿 等溫面法線由低溫指向高溫方向 。 在 直角坐標(biāo)系： kztjytixtgr adt ????????? （ 24） 圖 21 等溫線 a：平壁 b：圓筒壁 圖 22. 溫度梯度與熱流密度矢量 2 其中，xt??、yt??、zt??分別為沿 x、 y、 z方向的 溫度梯度。 三、熱流密度 熱流密度。 熱流密度是一個(gè)矢量，具有方向性 ，其大小等于沿著這 方向單位時(shí)間單位面積流過的熱量，方向即為沿等溫面之法線方向，且 由高溫指向低溫方向 ，見圖。在 直角坐標(biāo)系中，同樣 可以分解成由沿 坐標(biāo)軸 三個(gè) 方向的分量表示： kqjqiqq zyx ??? （ 2） 式中 zyx qqq , 為沿坐標(biāo)軸 三個(gè) 方向的分熱流。而通過該 等溫面?zhèn)鬟f的熱量為 zzyyxx AqAqAqAq ?????? ?? （ 2） 12．傅立葉定律 傅立葉（ J. Fourier） 熱流密度與溫度梯度的關(guān)系可以用下式表示 nntgr ad tq ?????? ?? （ 25） nntAA gr adt ??????? ?? （ 26） 式中的比例系數(shù) ? 即為材料的 導(dǎo)熱系數(shù) （或稱熱導(dǎo)率），單位 )( CmW ?? 。負(fù)號(hào)代表 熱流密度與溫度梯度的方向剛好相反。 傅立葉定律 直接 給定了 熱流密度和溫度之間的關(guān)系。 在直角坐標(biāo) 系， 傅立葉定律可以展開為： )( kztjytixtkqjqiq zyx ???????????? ? （ 27） 對(duì)應(yīng)可寫出各個(gè)方向上的分 熱流密度 為： ztqytqxtqzyx??????????????? （ 28） **： 傅立葉定律 僅適用于導(dǎo)熱系數(shù)為 各向同性的材料 。 例 21．已知厚度為 100mm 的平壁，壁面內(nèi)穩(wěn)態(tài)溫度分布 式 為 2cxbxat ??? 。式中： t 單位為 C? ， x 單位為 m ， Ca ??900 ， mCb /300??? ， 5/50 mCc ??? 。 平壁導(dǎo)熱系數(shù) )/(40 KmW ??? 。求：（ 1） 平壁兩側(cè)的熱流密度；（ 2）平壁內(nèi)是否有 3 內(nèi)熱源？內(nèi)熱源為多大。 解： 討論： 1. 平壁不同位置處的熱流密度不一定是定值； 2．只要已知溫 度分布，就可以根據(jù)傅里葉定律求得熱流密度。即使在有內(nèi)熱源甚至是非穩(wěn)態(tài)的的情況下也可以。 第二節(jié) 導(dǎo)熱系數(shù) 導(dǎo)熱系數(shù)的定義 ： gradtq??? （ 2） 它的值應(yīng)該為每單位溫度梯度下傳遞的熱流密度。它表證物體導(dǎo)熱能力的大小。 在工程上，導(dǎo)熱系數(shù)的值是由實(shí)驗(yàn)測定的。 常用材料在常溫時(shí)的導(dǎo)熱系數(shù)的數(shù)值見 表 21。 常溫時(shí)各種不同材料的導(dǎo)熱系數(shù)的變化范圍很大。 不同物質(zhì)導(dǎo)熱系數(shù)的數(shù)值不同，一般情況是固體的導(dǎo)熱系數(shù)最大 (保溫材料除外 )，液體 （不包括液態(tài)金屬）次之， 而絕熱材料和 氣體最小。 對(duì)各種材料導(dǎo)熱系數(shù)的數(shù)值，除因其種類的不同而不同以外， 導(dǎo)熱系數(shù)的數(shù)值往往隨溫度、壓力、密度和濕度等的改變而變化。 固體材料 ： 導(dǎo)熱系數(shù)隨溫度上升而增大。 金屬導(dǎo)體：導(dǎo)熱系數(shù)隨溫度上升而減小 。純金屬的導(dǎo)熱系數(shù)值大于合金，且合金中雜質(zhì)含量越多，導(dǎo)熱系數(shù)值越小。 液體：導(dǎo)熱系數(shù)隨溫度上升略有下降，只有水例外 。 氣體 ： 導(dǎo)熱系數(shù)隨溫度上升而增大。 在工程計(jì)算時(shí)，溫度的變化在不大的范圍內(nèi)，對(duì)大部分材料來說，可以認(rèn)為 導(dǎo)熱系數(shù) 隨溫度是線性關(guān)系的，即： )1(0 bt???? （ 2） 式中， t 為溫度， 0? 為 溫度為 0C? 時(shí)的 導(dǎo)熱系數(shù)， b 是 由實(shí)驗(yàn)測定的常數(shù)。在實(shí)際計(jì)算時(shí)，一般可以取其平均溫度時(shí)的 導(dǎo)熱系數(shù)的數(shù)值，在計(jì)算中作為常數(shù)處理。 按照國家標(biāo)準(zhǔn)（ GB427292）的規(guī)定，凡平均溫度不高于 350 C? ， 導(dǎo)熱系數(shù)的數(shù)值不大于 )/( KmW ? 材 料稱為 絕熱保溫材料 （隔熱材料或熱絕緣材料）。 特點(diǎn)： 是內(nèi)部有很多細(xì)小的空隙，其中充滿氣體，因而并非為密實(shí)固體。但由于其空隙細(xì)小，氣體在其內(nèi)部可視為靜止的，主要以導(dǎo)熱的方式傳熱，高溫時(shí)還伴有輻射方式。氣體導(dǎo)熱系數(shù)小，最終使得整個(gè)隔熱材料的導(dǎo)熱系數(shù)（也稱表觀導(dǎo)熱系數(shù)）的數(shù)值非常小，達(dá)到隔熱保溫的作用。 影響因素： 對(duì)絕熱保溫材料，除了要考慮 溫度的 影響以外，還必須注意到 濕度 的影響。在使用這類絕熱保溫材料的場合，必須要注意防潮。 4 yxz? x ?x+ d xdxdydz第三節(jié)．導(dǎo)熱微分方程 求解導(dǎo)熱問題實(shí)際上就是求解 物體內(nèi)部的溫度分布 ，我們可以依據(jù)能量守恒定律，來建立物體內(nèi)部的溫度分布的方程式。 假定：（ 1）物體為均質(zhì)的連續(xù)體； （ 2） 體的物性參數(shù)已知； （ 3） 熱源均勻，且為 )( 3mWqv 。 一、導(dǎo)熱微分方程 在直角坐標(biāo)系中： ?????? ???????? ???????? ? Uvc 能的增量微元體的內(nèi)的發(fā)熱量微元體內(nèi)熱源體的凈導(dǎo)熱量導(dǎo)進(jìn)與導(dǎo)出微元 （ 231） 下面對(duì)每一項(xiàng)分別進(jìn)行討論： c? ：在坐標(biāo)系三個(gè)方向上均有熱量的導(dǎo)進(jìn)與導(dǎo)出，首先來看 x方向： 沿 x方向?qū)нM(jìn)的熱量： dydzqxx ?? 導(dǎo)出的熱量： dx dy dzxqdxx xxxxdxx ???????????? ? 因此，由 x方向?qū)氲膬魧?dǎo)熱量為： dx dy dzxq xdxxx ??????? ? 同理，沿 y 和 z方向?qū)氲膬魧?dǎo)熱量分別為： dxdydzyqy??? dxdydzzqz??? 最后可得進(jìn)入該 微元體的凈導(dǎo)熱量： )( dx dy dzzqdx dy dzyqdx dy dzxq zyxc ??????????? （ f） 將 傅里葉定律表達(dá)式，即 式（ 28）代入上式，得： dx dy dzztzytyxtxc )]()()([ ???????????????? ??? （ a） 微元體 內(nèi) 部發(fā)熱量： dxdydzqvv ?? （ b） 微元體的內(nèi)能增量： 圖 24. 微元體的導(dǎo)熱分析 5 dx dy dztcU ?? ???? （ c） 將（ a）、（ b）、（ c）代入（ 231），并經(jīng)整理得： vqztzytyxtxtc ?????????????????? )()()( ????? （ 232） 該式即為通用的導(dǎo)熱 微分方程。 二、簡化 1．常物性：cqz ty tx tat v?? ???????????? )( 222222 （ 233b） 式中，ca ???稱為材料的熱擴(kuò)散系數(shù) （或?qū)叵禂?shù)），其單位為 sm2 。 表征了 材料在非穩(wěn)態(tài) 導(dǎo)熱時(shí)擴(kuò)散熱量的能力或傳播溫度變化的能力。 2． 穩(wěn)態(tài) 導(dǎo)熱，微分方程可簡化為： 0)( 222222 ?????????? ?vqz ty tx t （ 234） 3． 穩(wěn)態(tài) 導(dǎo)熱，若無內(nèi)熱源，則 0222222 ????????? z ty tx t （ 235） 4．常物性、一維穩(wěn)態(tài)且無內(nèi)熱源，則簡化為： 022 ?dxtd 三、其它坐標(biāo)系中導(dǎo)熱微分方程。 對(duì)圓柱坐標(biāo)系 ),( zrt ? （見圖） 6 vqztztrrtrrrtc ?????????????????? )()(1)(1 2 ??????? （ 236） 對(duì)球坐標(biāo)系 ),( ??rt （見圖） vqtrtrrtrrrtc ?????????????????? )s i n(s i n1)(s i n1)(1 22222 ???????????? （ 237） 對(duì)常物性、一維穩(wěn)態(tài)且無內(nèi)熱 源的導(dǎo)熱問題，兩方程可簡化為 0)( ?drdtrdrd 0)( 2 ?drdtrdrd 第四節(jié)．導(dǎo)熱過程的單值性條件 特解 = 通解 +單值性條件。 定解條件有四種 ： 1．幾何條件 何條件是指參與 導(dǎo)熱過程物體的 幾何形狀、尺寸。 δ 2．物理?xiàng)l件 物理?xiàng)l件是指參與 導(dǎo)熱過程物體的物理特性。即已知物性參數(shù) ? 、 ? 、 c 的數(shù)值。 3．時(shí)間條件 穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱，不存在 時(shí)間條 件。 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱，給出過程剛開始進(jìn)行時(shí)物體的溫度分布情況，故也稱初始 條件。 ),(,0 zyxft ??? （ 238） 4．邊界條件 參與 導(dǎo)熱物體 邊界面上的溫度條件。有幾個(gè)邊界，就應(yīng)給出幾個(gè)邊界條件。常見 導(dǎo)熱物體的 邊界條件有三類： 第一類邊界條件：已知邊界面上各點(diǎn)的溫度 值 。即： is szyxft i ),( ?? （ 239） 最簡單的邊界條件是 constttwsi ??，即 邊界面上各點(diǎn)的溫度為 定值。 第二類邊界條件：已知邊界面上的熱流密度 值 。即： ),( ?zyxfqq ws i ?? （ 2310a） 或 ： ?ws qnt i ???? （ 2310c） 7 當(dāng)邊界面絕熱時(shí)，此時(shí)邊界上 0????? ws qnt i?，即可以表示為： 0???isnt （ 2311） 第三類邊界條件：已知邊界面上與之接觸的流體的溫度 tf 和表面?zhèn)鳠嵯禂?shù) h 。 sfss nttthqi ?????? ?)( )( fss tthnt ????? ? （ 2312） 而式中的snt?? 和 st 是未知的。 例 21．對(duì)大平壁一維穩(wěn)態(tài) 導(dǎo)熱， 已知兩側(cè)壁面溫度 tw1， tw2，壁面厚度 δ ，導(dǎo)熱系數(shù) ? 為定值。試推導(dǎo)通過該 平壁的熱流密度及壁面內(nèi)溫度分布。 分析：由于該問題為一 維穩(wěn)態(tài) 且無內(nèi)熱源的導(dǎo)熱，故可由 傅立葉定律直接求解。同理，對(duì)圓柱坐標(biāo)系及球坐標(biāo)系的 一 維穩(wěn)態(tài) 且無內(nèi)熱源的導(dǎo)熱問題，我們可用同樣的方法進(jìn)行求解。 思考