函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性1(已修改)
2025-05-28 01:41 本頁面
【正文】 函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性（首先定義域必須關于原點對稱）(1)為奇函數(shù)。為偶函數(shù)。(2)奇函數(shù)在原點有定義(3)任一個定義域關于原點對稱的函數(shù)一定可以表示成一個奇函數(shù)和一個偶函數(shù)之和 即 （奇）（偶）.(注:①先確定定義域。②單調(diào)性證明一定要用定義)(1)定義:區(qū)間上任意兩個值,若時有,稱為上增函數(shù),若時有,稱為上減函數(shù).(2)奇函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上單調(diào)性相同。:①定義法,即比差法。②圖象法。③單調(diào)性的運算性質(zhì)（實質(zhì)上是不等式性質(zhì)）。④復合函數(shù)單調(diào)性判斷法則.:周期性主要運用在三角函數(shù)及抽象函數(shù)中,:①定義法。②公式法。③圖象法。④利用重要結(jié)論:若函數(shù)f(x)滿足f(ax)=f(a+x),f(bx)=f(b+x),a≠b,則T=2|ab|.【例1】已知定義域為的函數(shù)是奇函數(shù).(Ⅰ)求的值。(Ⅱ)若對任意的,不等式恒成立,求的取值范圍.解析：（Ⅰ）因為是奇函數(shù)，所以=0，即又由f（1）= f（1）知（Ⅱ）由（Ⅰ）知．又由題設條件得： ， 即?。?， 整理得 上式對一切均成立，從而判別式【例2】設函數(shù)在處取得極值－2,試用表示和,并求的單調(diào)區(qū)間. 解：依題意有而 故解得 從而。 令，得或。 由于在處取得極值，故，即。（1） 若，即，則當時，；（2）當時，；當時，； 從而的單調(diào)增區(qū)間為； 單調(diào)減區(qū)間為若，即，同上可得， 的單調(diào)增區(qū)間為；單調(diào)減區(qū)間為 【例3】(理)設函數(shù),若對所有的,都有成立,求實數(shù)的取值范圍(文)討論函數(shù)的單調(diào)性 （理） 解法一：令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，對函數(shù)g(x)求導數(shù)：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a，令g′(x)＝0，解得x＝ea－1－1， (i)當a≤1時，對所有x＞0，g′(x)＞0，所以g(x)在[0，＋∞)上是增函數(shù)，又g(0)＝0，所以對x≥0，都有g(x)≥g(0)，即當a≤1時，對于所有x≥0，都有 f(x)≥ax．(ii)當a＞1時，對于0＜x＜ea－
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