【正文】 167。 函數的圖像 1． 描點法作圖 方法步驟 ： (1)確定函數的定義域 ； (2)化簡函數的解析式 ； (3)討論函數的性質即奇偶性 、周期性 、 單調性 、 最值 (甚至變化趨勢 )； (4)描點連線 ， 畫出函數的圖像 ． 2． 圖像變換 (1)平移變換 (2)對稱變換 ① y＝ f(x) ―― →關于 x軸對稱 y＝ － f(x)； ② y＝ f(x) ―― →關于 y軸對稱 y＝ f(－ x)； ③ y＝ f(x) ―― →關于原 點對稱 y＝ － f(－ x)； ④ y＝ ax (a0 且 a≠ 1) ―― →關于 y＝ x對稱 y＝ logax(a0 且 a≠ 1)． ⑤ y＝ f(x) ―― →保留 x軸上方圖像將 x軸下方圖像翻折上去 y＝ |f(x)|. ⑥ y＝ f(x) ―― →保留 y軸右邊圖像，并作其關于 y軸對稱的圖像 y＝ f(|x|)． (3)伸縮變換 1． 判斷下面結論是否正確 (請在括號中打 “√” 或 “” ) (1)當 x∈ (0，＋ ∞ )時 ， 函數 y＝ |f(x)|與 y＝ f(|x|)的圖像相同 ． ( ) (2)函數 y＝ af(x)與 y＝ f(ax)(a0 且 a≠ 1)的圖像相同 ． ( ) (3)函數 y＝ f(x)與 y＝－ f(x)的圖像關于原點對稱 ． ( ) (4)若函數 y＝ f(x)滿足 f(1＋ x)＝ f(1－ x)， 則函數 f(x)的圖像關于直線 x＝ 1 對稱 ． ( √ ) (5)將函數 y＝ f(－ x)的圖像向右平移 1 個單位得到函數 y＝ f(－ x－ 1)的圖像 ． ( ) (6)不論 a(a0 且 a≠ 1)取何值 ， 函數 y＝ loga2|x－ 1|的圖像恒過定點 (2,0)． ( ) 2． (2020山東 )函數 y＝ xcos x＋ sin x 的圖像大致為 ( ) 答案 D 解析 函數 y＝ xcos x＋ sin x為奇函數，排除 x＝ π2，排除 C；取 x＝ π，排除 A，故選 D. 3． (2020北京 )函數 f(x)的圖像向右平移 1 個單位長度 ， 所得圖像與曲線 y＝ ex關于 y 軸對稱 ，則 f(x)等于 ( ) A． ex＋ 1 B． ex－ 1 C． e－ x＋ 1 D． e－ x－ 1 答案 D 解析 與 y＝ ex圖像關于 y軸對稱的函數為 y＝ e－ x. 依題意， f(x)圖像向右平移一個單位，得 y＝ e－ x的圖像 ． ∴ f(x)的圖像由 y＝ e－ x的圖像向左平移一個單位得到 ． ∴ f(x)＝ e－ (x＋ 1)＝ e－ x－ 1. 4． 已知圖 ① 中的圖像對應的函數為 y＝ f(x)， 則圖 ② 中的圖像對應的函數為 ( ) A． y＝ f(|x|) B． y＝ |f(x)| C． y＝ f(－ |x|) D． y＝－ f(|x|) 答案 C 解析 y＝ f(－ |x|)＝????? f?－ x?， x≥ 0f?x?， x0 . 5． 已知函數 f(x)＝????? 2， xm，x2＋ 4x＋ 2， x≤ m 的圖像與直線 y＝ x 恰有三個公共點 ， 則實數 m 的取值范圍是 ( ) A． (－ ∞ ，－ 1] B． [－ 1,2) C． [－ 1,2] D． [2，＋ ∞ ) 答案 B 解析 方法一 特值法，令 m＝ 2，排除 C、 D，令 m＝ 0，排除 A，故選 B. 方法二 令 x2＋ 4x＋ 2＝ x，解得 x＝－ 1 或 x＝－ 2， 所以三個解必須為－ 1，－ 2 和 2，所以有－ 1≤ m2. 故選 B. 題型一 作函數 的圖像 例 1 分別畫出下列函數的圖像 ： (1)y＝ |lg x|； (2)y＝ 2x＋ 2； (3)y＝ x2－ 2|x|－ 1。 (4)y＝ x＋ 2x－ 1. 思維啟迪 根據一些常見函數的圖像，通過平移、對稱等變換可以作出函數圖像 ． 解 (1)y＝????? lg x ?x≥ 1?，－ lg x ?0x1? 圖像如圖 ① . (2)將 y＝ 2x的圖像向左平移 2 個單位 ． 圖像如圖 ② . (3)y＝????? x2－ 2x－ 1 ?x≥ 0?x2＋ 2x－ 1 ?x0? .圖像如圖 ③ . (4)因 y＝ 1＋ 3x－ 1，先作出 y＝ 3x的圖像，將其圖像向右平移 1個單位，再向上平移 1個單位，即得 y＝ x＋ 2x－ 1的圖像，如圖 ④ . 思維升華 (1)常見的幾種 函數圖像如二次函數、反比例函數、指數函數、對數函數、冪函數、形如 y＝ x＋ mx (m0)的函數是圖像變換的基礎； (2)掌握平移變換、伸縮變換、對稱變換等常用方法技巧，可以幫助我們簡化作圖過程 ． 作出下列函數的圖像 ． (1)y＝ sin |x|； (2)y＝ x＋ 2x＋ 3. 解 (1)當 x≥ 0 時 ， y＝ sin |x|與 y＝ sin x的圖像完全相同， 又 y＝ sin |x|為偶函數，其圖像關于 y軸對稱，其圖像如圖 ． (2)y＝ x＋ 2x＋ 3＝ 1－ 1x＋ 3，該函數圖像可由函數 y＝－ 1x向左平移 3 個單位再向上平移 1個單位得到，如下圖所示 ． 題型二 識圖與辨圖 例 2 (1)(2020四川 )函數 y＝ x33x－ 1的圖像大致是 ( ) (2)已知 f(x)＝ ??? － 2x， ?－ 1≤ x≤ 0?x， ?0x≤ 1? ， 則下列函數的圖像錯誤的是 ( ) 思維啟迪 (1)根據函數的 定義域，特殊點和函數值的符號判斷； (2)正確把握圖像變換的特征，結合 f(x)的圖像辨識 ． 答案 (1)C (2)D 解析 (1)由 3x－ 1≠ 0 得 x≠ 0， ∴ 函數 y＝ x33x－ 1的定義域為 {x|x≠ 0}，可排除選項 A；當x＝－ 1 時， y＝ ?－ 1?313－ 1＝ 320，可排除選項 B；當 x＝ 2 時， y＝ 1，當 x＝ 4 時， y＝ 6480，但從選項 D的函數圖像可以看出函數在 (0，＋ ∞ )上是單調遞增函數，兩者矛盾，可排除選項 選 C. (2)先在坐標平面內畫出函數 y＝ f(x)的圖像，再將函數 y＝ f(x)的圖像向右平移 1個單位長度即可得到 y＝ f(x－ 1)的圖像，因此 A正確； 作函數 y＝ f(x)的圖像關于 y軸的對稱圖形，即可得到 y＝ f(－ x)的圖像，因此 B 正確； y＝ f(x)的值域是 [0,2]，因此 y＝ |f(x)|的圖像與 y＝ f(x)的圖像重合， C 正確； y＝ f(|x|)的定義域是 [－ 1,1]，且是一個偶函數，當 0≤ x≤ 1 時， y＝ f(|x|)＝ x，相應這部分圖像不是一條線段，因此選項 D 不正確 ． 綜上所述，選 D. 思 維升華 函數圖像的識辨可從以下方面入手： (1)從函數的定義域，判斷圖像的左右位置；從函數的值域，判斷圖像的上下位置； (2)從函數的單調性，判斷圖像的變化趨勢； (3)從函數的奇偶性，判斷圖像的對稱性； (4)從函數的周期性，判斷圖像的循環(huán)往復； (5)從函數的特征點，排除不合要求的圖像 ． (1)已知函數 f(x)＝ 1ln?x＋ 1?－ x， 則 y＝ f(x)的圖像大致為 ( ) (2)把函數 y＝ f(x)＝ (x－ 2)2＋ 2 的圖像向左平移 1 個單位 ， 再向上平移 1 個單位 ， 所得圖像對應的函數解析式是 ( ) A． y＝ (x－ 3)2＋ 3 B． y＝ (x－ 3)2＋ 1 C． y＝ (x－ 1)2＋ 3 D． y＝ (x－ 1)2＋ 1 答案 (1)B (2)C 解析 當 x＝ 0 時，函數無意義，排除選項 D 中的圖像， 當 x＝ 1e－ 1 時， f(1e－ 1)＝ 1ln?1e－ 1＋ 1?－ ?1e－ 1?＝－ e0，排除選項 A、 C 中的圖像，故只能是選項 B 中的圖像 ． (注：這里選取特殊值 x＝ (1e－ 1)∈ (－ 1,0)，這個值可以直接排除選項 A、 C，這種取特值的技巧在解題中很有用處 ) (2)把函數 y＝ f(x)的圖像向左平移 1 個單位，即把其中 x換成 x＋ 1， 于是得 y＝ [(x＋ 1)－ 2]2＋ 2＝ (x－ 1)2＋ 2， 再向上平移 1 個單位，即得到 y＝ (x－ 1)2＋ 2＋ 1 ＝ (x－ 1)2＋ 3. 題型三 函數圖像的應用 例 3 (1)當 0x≤ 12時 ， 4xlogax， 則 a 的取值范圍是 ( ) A． (0， 22 ) B． ( 22 ， 1) C． (1， 2) D． ( 2， 2) (2)(2020湖南 )函數 f(x)＝ 2ln x的圖像與函數 g(x)＝ x2－ 4x＋ 5 的圖像的交點個數為 ( ) A． 3 B． 2 C． 1 D． 0 思維啟迪 (1)可以通過函數 y＝ 4x和 y＝ logax圖像的位置、特征確定 a的范圍； (2)畫兩函數圖像、觀察即可 ． 答案 (1)B (2)B 解析 (1)方法一 ∵ 0x≤ 12， ∴ 14x≤ 2， ∴ logax4x1， ∴ 0a1. 令 f(x)＝ 4x， g(x)＝ logax， 當 x＝ 12時， f(12)＝ 2.(如圖 ) 而 g(12)＝ loga12＝ 2， ∴ a＝ 22 . 又 ∵ g(x)＝ logax， x0∈ (0,1)， a1， a2∈ (0,1)且 a1a2時， loga2x0loga1x0， ∴ 要使當 0x≤ 12時， 4xlogax成立， 需 22 a B. 方法二 ∵ 0x≤ 12， ∴ 14x≤ 2， ∴ logax4x1， ∴ 0a1， 排除答案 C， D； 取 a＝ 12， x＝ 12， 則有 421 ＝ 2， log2112＝ 1， 顯然 4xlogax不成立 ， 排除答案 A； 故選 B. (2)畫出兩個函數 f(x)， g(x)的圖像， 由圖知 f(x)， g(x)的圖像的交點個數為 2. 思維升華 (1)根據 函數圖像，可以比較函數值大小，確定參數范圍； (2)利用函數圖像，可以解決一些形如 f(x)＝ g(x)方程的解或函數零點問題 ． (1)已知函數 y＝ f(x)的周期為 2， 當 x∈ [－ 1,1]時 f(x)＝ x2， 那么函數 y＝ f(x)的圖像與函數 y＝ |lg x|的圖像的交點共有 ( ) A． 10 個 B． 9 個 C． 8 個 D． 1 個 (2)直線 y＝ 1 與曲線 y＝ x2－ |x|＋ a 有四個交點 ， 則 a 的取值范圍是 ________． 答案 (1)A (2)1a54 解析 (1)觀察圖像可知，共有 10 個交點 ． (2)y＝????? x2－ x＋ a， x≥ 0，x2＋ x＋ a， x0， 作出圖像，如圖所示 ． 此曲線與 y軸交于 (0， a)點，最小值為 a－ 14，要使 y＝ 1與其有四個交點，只需 a－ 141a，∴ 1a54. 高考中的函數圖像及應用問題 一、已知函數解析式確定函數圖像 典例： (5 分 )函數 y＝ f(x)的圖像如圖所示 ， 則函數 y＝ log21f(x)的圖像大致是 ( ) 思維啟迪 根據函數的定義域、值域、單調性和特征點確定函數圖像 ． 解析 由函 數 y＝ f(x)的圖像知，當 x∈ (0,2)時， f(x)≥ 1， 所以 log21f(x)≤ f(x)在 (0,1)上是減函數，在 (1,2)上是增函數，所以 y＝ log21f(x)在 (0,1)上是增函數，在 (1,2)上是減函數 ． 結合各選項知，選 C. 答案 C 溫馨提醒 (1)確定函數的圖像 ， 要從函數的性質出發(fā) ， 利用數形結合的思想 ． (2)對于給出圖像的選擇題 ， 可以結合函數的某一性質或特殊點進行排除 ． 二、函數圖像的變換問題 典例 ： (5 分 )若函數 y＝ f(x)的圖像如圖所示 ， 則函數 y＝－ f(x＋ 1)的圖像大 致為 ( ) 思維啟迪 從 y＝ f(x)的圖像可先得到 y＝－ f(x)的圖像，再得 y＝－ f(x＋ 1)的圖像 ． 解析 要想由 y＝ f(x)的圖像得到 y＝－ f(x＋ 1)的圖像，需要先將 y＝ f(x)的圖像關于 x 軸對稱得到 y＝－ f(