【正文】 167。 函數(shù)的圖像 1． 描點(diǎn)法作圖 方法步驟 ： (1)確定函數(shù)的定義域 ； (2)化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式 ； (3)討論函數(shù)的性質(zhì)即奇偶性 、周期性 、 單調(diào)性 、 最值 (甚至變化趨勢(shì) )； (4)描點(diǎn)連線 ， 畫出函數(shù)的圖像 ． 2． 圖像變換 (1)平移變換 (2)對(duì)稱變換 ① y＝ f(x) ―― →關(guān)于 x軸對(duì)稱 y＝ － f(x)； ② y＝ f(x) ―― →關(guān)于 y軸對(duì)稱 y＝ f(－ x)； ③ y＝ f(x) ―― →關(guān)于原 點(diǎn)對(duì)稱 y＝ － f(－ x)； ④ y＝ ax (a0 且 a≠ 1) ―― →關(guān)于 y＝ x對(duì)稱 y＝ logax(a0 且 a≠ 1)． ⑤ y＝ f(x) ―― →保留 x軸上方圖像將 x軸下方圖像翻折上去 y＝ |f(x)|. ⑥ y＝ f(x) ―― →保留 y軸右邊圖像，并作其關(guān)于 y軸對(duì)稱的圖像 y＝ f(|x|)． (3)伸縮變換 1． 判斷下面結(jié)論是否正確 (請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打 “√” 或 “” ) (1)當(dāng) x∈ (0，＋ ∞ )時(shí) ， 函數(shù) y＝ |f(x)|與 y＝ f(|x|)的圖像相同 ． ( ) (2)函數(shù) y＝ af(x)與 y＝ f(ax)(a0 且 a≠ 1)的圖像相同 ． ( ) (3)函數(shù) y＝ f(x)與 y＝－ f(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 ． ( ) (4)若函數(shù) y＝ f(x)滿足 f(1＋ x)＝ f(1－ x)， 則函數(shù) f(x)的圖像關(guān)于直線 x＝ 1 對(duì)稱 ． ( √ ) (5)將函數(shù) y＝ f(－ x)的圖像向右平移 1 個(gè)單位得到函數(shù) y＝ f(－ x－ 1)的圖像 ． ( ) (6)不論 a(a0 且 a≠ 1)取何值 ， 函數(shù) y＝ loga2|x－ 1|的圖像恒過定點(diǎn) (2,0)． ( ) 2． (2020山東 )函數(shù) y＝ xcos x＋ sin x 的圖像大致為 ( ) 答案 D 解析 函數(shù) y＝ xcos x＋ sin x為奇函數(shù)，排除 x＝ π2，排除 C；取 x＝ π，排除 A，故選 D. 3． (2020北京 )函數(shù) f(x)的圖像向右平移 1 個(gè)單位長(zhǎng)度 ， 所得圖像與曲線 y＝ ex關(guān)于 y 軸對(duì)稱 ，則 f(x)等于 ( ) A． ex＋ 1 B． ex－ 1 C． e－ x＋ 1 D． e－ x－ 1 答案 D 解析 與 y＝ ex圖像關(guān)于 y軸對(duì)稱的函數(shù)為 y＝ e－ x. 依題意， f(x)圖像向右平移一個(gè)單位，得 y＝ e－ x的圖像 ． ∴ f(x)的圖像由 y＝ e－ x的圖像向左平移一個(gè)單位得到 ． ∴ f(x)＝ e－ (x＋ 1)＝ e－ x－ 1. 4． 已知圖 ① 中的圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)為 y＝ f(x)， 則圖 ② 中的圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)為 ( ) A． y＝ f(|x|) B． y＝ |f(x)| C． y＝ f(－ |x|) D． y＝－ f(|x|) 答案 C 解析 y＝ f(－ |x|)＝????? f?－ x?， x≥ 0f?x?， x0 . 5． 已知函數(shù) f(x)＝????? 2， xm，x2＋ 4x＋ 2， x≤ m 的圖像與直線 y＝ x 恰有三個(gè)公共點(diǎn) ， 則實(shí)數(shù) m 的取值范圍是 ( ) A． (－ ∞ ，－ 1] B． [－ 1,2) C． [－ 1,2] D． [2，＋ ∞ ) 答案 B 解析 方法一 特值法，令 m＝ 2，排除 C、 D，令 m＝ 0，排除 A，故選 B. 方法二 令 x2＋ 4x＋ 2＝ x，解得 x＝－ 1 或 x＝－ 2， 所以三個(gè)解必須為－ 1，－ 2 和 2，所以有－ 1≤ m2. 故選 B. 題型一 作函數(shù) 的圖像 例 1 分別畫出下列函數(shù)的圖像 ： (1)y＝ |lg x|； (2)y＝ 2x＋ 2； (3)y＝ x2－ 2|x|－ 1。 (4)y＝ x＋ 2x－ 1. 思維啟迪 根據(jù)一些常見函數(shù)的圖像，通過平移、對(duì)稱等變換可以作出函數(shù)圖像 ． 解 (1)y＝????? lg x ?x≥ 1?，－ lg x ?0x1? 圖像如圖 ① . (2)將 y＝ 2x的圖像向左平移 2 個(gè)單位 ． 圖像如圖 ② . (3)y＝????? x2－ 2x－ 1 ?x≥ 0?x2＋ 2x－ 1 ?x0? .圖像如圖 ③ . (4)因 y＝ 1＋ 3x－ 1，先作出 y＝ 3x的圖像，將其圖像向右平移 1個(gè)單位，再向上平移 1個(gè)單位，即得 y＝ x＋ 2x－ 1的圖像，如圖 ④ . 思維升華 (1)常見的幾種 函數(shù)圖像如二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、形如 y＝ x＋ mx (m0)的函數(shù)是圖像變換的基礎(chǔ)； (2)掌握平移變換、伸縮變換、對(duì)稱變換等常用方法技巧，可以幫助我們簡(jiǎn)化作圖過程 ． 作出下列函數(shù)的圖像 ． (1)y＝ sin |x|； (2)y＝ x＋ 2x＋ 3. 解 (1)當(dāng) x≥ 0 時(shí) ， y＝ sin |x|與 y＝ sin x的圖像完全相同， 又 y＝ sin |x|為偶函數(shù)，其圖像關(guān)于 y軸對(duì)稱，其圖像如圖 ． (2)y＝ x＋ 2x＋ 3＝ 1－ 1x＋ 3，該函數(shù)圖像可由函數(shù) y＝－ 1x向左平移 3 個(gè)單位再向上平移 1個(gè)單位得到，如下圖所示 ． 題型二 識(shí)圖與辨圖 例 2 (1)(2020四川 )函數(shù) y＝ x33x－ 1的圖像大致是 ( ) (2)已知 f(x)＝ ??? － 2x， ?－ 1≤ x≤ 0?x， ?0x≤ 1? ， 則下列函數(shù)的圖像錯(cuò)誤的是 ( ) 思維啟迪 (1)根據(jù)函數(shù)的 定義域，特殊點(diǎn)和函數(shù)值的符號(hào)判斷； (2)正確把握?qǐng)D像變換的特征，結(jié)合 f(x)的圖像辨識(shí) ． 答案 (1)C (2)D 解析 (1)由 3x－ 1≠ 0 得 x≠ 0， ∴ 函數(shù) y＝ x33x－ 1的定義域?yàn)?{x|x≠ 0}，可排除選項(xiàng) A；當(dāng)x＝－ 1 時(shí)， y＝ ?－ 1?313－ 1＝ 320，可排除選項(xiàng) B；當(dāng) x＝ 2 時(shí)， y＝ 1，當(dāng) x＝ 4 時(shí)， y＝ 6480，但從選項(xiàng) D的函數(shù)圖像可以看出函數(shù)在 (0，＋ ∞ )上是單調(diào)遞增函數(shù)，兩者矛盾，可排除選項(xiàng) 選 C. (2)先在坐標(biāo)平面內(nèi)畫出函數(shù) y＝ f(x)的圖像，再將函數(shù) y＝ f(x)的圖像向右平移 1個(gè)單位長(zhǎng)度即可得到 y＝ f(x－ 1)的圖像，因此 A正確； 作函數(shù) y＝ f(x)的圖像關(guān)于 y軸的對(duì)稱圖形，即可得到 y＝ f(－ x)的圖像，因此 B 正確； y＝ f(x)的值域是 [0,2]，因此 y＝ |f(x)|的圖像與 y＝ f(x)的圖像重合， C 正確； y＝ f(|x|)的定義域是 [－ 1,1]，且是一個(gè)偶函數(shù)，當(dāng) 0≤ x≤ 1 時(shí)， y＝ f(|x|)＝ x，相應(yīng)這部分圖像不是一條線段，因此選項(xiàng) D 不正確 ． 綜上所述，選 D. 思 維升華 函數(shù)圖像的識(shí)辨可從以下方面入手： (1)從函數(shù)的定義域，判斷圖像的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖像的上下位置； (2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖像的變化趨勢(shì)； (3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖像的對(duì)稱性； (4)從函數(shù)的周期性，判斷圖像的循環(huán)往復(fù)； (5)從函數(shù)的特征點(diǎn)，排除不合要求的圖像 ． (1)已知函數(shù) f(x)＝ 1ln?x＋ 1?－ x， 則 y＝ f(x)的圖像大致為 ( ) (2)把函數(shù) y＝ f(x)＝ (x－ 2)2＋ 2 的圖像向左平移 1 個(gè)單位 ， 再向上平移 1 個(gè)單位 ， 所得圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式是 ( ) A． y＝ (x－ 3)2＋ 3 B． y＝ (x－ 3)2＋ 1 C． y＝ (x－ 1)2＋ 3 D． y＝ (x－ 1)2＋ 1 答案 (1)B (2)C 解析 當(dāng) x＝ 0 時(shí)，函數(shù)無意義，排除選項(xiàng) D 中的圖像， 當(dāng) x＝ 1e－ 1 時(shí)， f(1e－ 1)＝ 1ln?1e－ 1＋ 1?－ ?1e－ 1?＝－ e0，排除選項(xiàng) A、 C 中的圖像，故只能是選項(xiàng) B 中的圖像 ． (注：這里選取特殊值 x＝ (1e－ 1)∈ (－ 1,0)，這個(gè)值可以直接排除選項(xiàng) A、 C，這種取特值的技巧在解題中很有用處 ) (2)把函數(shù) y＝ f(x)的圖像向左平移 1 個(gè)單位，即把其中 x換成 x＋ 1， 于是得 y＝ [(x＋ 1)－ 2]2＋ 2＝ (x－ 1)2＋ 2， 再向上平移 1 個(gè)單位，即得到 y＝ (x－ 1)2＋ 2＋ 1 ＝ (x－ 1)2＋ 3. 題型三 函數(shù)圖像的應(yīng)用 例 3 (1)當(dāng) 0x≤ 12時(shí) ， 4xlogax， 則 a 的取值范圍是 ( ) A． (0， 22 ) B． ( 22 ， 1) C． (1， 2) D． ( 2， 2) (2)(2020湖南 )函數(shù) f(x)＝ 2ln x的圖像與函數(shù) g(x)＝ x2－ 4x＋ 5 的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為 ( ) A． 3 B． 2 C． 1 D． 0 思維啟迪 (1)可以通過函數(shù) y＝ 4x和 y＝ logax圖像的位置、特征確定 a的范圍； (2)畫兩函數(shù)圖像、觀察即可 ． 答案 (1)B (2)B 解析 (1)方法一 ∵ 0x≤ 12， ∴ 14x≤ 2， ∴ logax4x1， ∴ 0a1. 令 f(x)＝ 4x， g(x)＝ logax， 當(dāng) x＝ 12時(shí)， f(12)＝ 2.(如圖 ) 而 g(12)＝ loga12＝ 2， ∴ a＝ 22 . 又 ∵ g(x)＝ logax， x0∈ (0,1)， a1， a2∈ (0,1)且 a1a2時(shí)， loga2x0loga1x0， ∴ 要使當(dāng) 0x≤ 12時(shí)， 4xlogax成立， 需 22 a B. 方法二 ∵ 0x≤ 12， ∴ 14x≤ 2， ∴ logax4x1， ∴ 0a1， 排除答案 C， D； 取 a＝ 12， x＝ 12， 則有 421 ＝ 2， log2112＝ 1， 顯然 4xlogax不成立 ， 排除答案 A； 故選 B. (2)畫出兩個(gè)函數(shù) f(x)， g(x)的圖像， 由圖知 f(x)， g(x)的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為 2. 思維升華 (1)根據(jù) 函數(shù)圖像，可以比較函數(shù)值大小，確定參數(shù)范圍； (2)利用函數(shù)圖像，可以解決一些形如 f(x)＝ g(x)方程的解或函數(shù)零點(diǎn)問題 ． (1)已知函數(shù) y＝ f(x)的周期為 2， 當(dāng) x∈ [－ 1,1]時(shí) f(x)＝ x2， 那么函數(shù) y＝ f(x)的圖像與函數(shù) y＝ |lg x|的圖像的交點(diǎn)共有 ( ) A． 10 個(gè) B． 9 個(gè) C． 8 個(gè) D． 1 個(gè) (2)直線 y＝ 1 與曲線 y＝ x2－ |x|＋ a 有四個(gè)交點(diǎn) ， 則 a 的取值范圍是 ________． 答案 (1)A (2)1a54 解析 (1)觀察圖像可知，共有 10 個(gè)交點(diǎn) ． (2)y＝????? x2－ x＋ a， x≥ 0，x2＋ x＋ a， x0， 作出圖像，如圖所示 ． 此曲線與 y軸交于 (0， a)點(diǎn)，最小值為 a－ 14，要使 y＝ 1與其有四個(gè)交點(diǎn)，只需 a－ 141a，∴ 1a54. 高考中的函數(shù)圖像及應(yīng)用問題 一、已知函數(shù)解析式確定函數(shù)圖像 典例： (5 分 )函數(shù) y＝ f(x)的圖像如圖所示 ， 則函數(shù) y＝ log21f(x)的圖像大致是 ( ) 思維啟迪 根據(jù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性和特征點(diǎn)確定函數(shù)圖像 ． 解析 由函 數(shù) y＝ f(x)的圖像知，當(dāng) x∈ (0,2)時(shí)， f(x)≥ 1， 所以 log21f(x)≤ f(x)在 (0,1)上是減函數(shù)，在 (1,2)上是增函數(shù)，所以 y＝ log21f(x)在 (0,1)上是增函數(shù)，在 (1,2)上是減函數(shù) ． 結(jié)合各選項(xiàng)知，選 C. 答案 C 溫馨提醒 (1)確定函數(shù)的圖像 ， 要從函數(shù)的性質(zhì)出發(fā) ， 利用數(shù)形結(jié)合的思想 ． (2)對(duì)于給出圖像的選擇題 ， 可以結(jié)合函數(shù)的某一性質(zhì)或特殊點(diǎn)進(jìn)行排除 ． 二、函數(shù)圖像的變換問題 典例 ： (5 分 )若函數(shù) y＝ f(x)的圖像如圖所示 ， 則函數(shù) y＝－ f(x＋ 1)的圖像大 致為 ( ) 思維啟迪 從 y＝ f(x)的圖像可先得到 y＝－ f(x)的圖像，再得 y＝－ f(x＋ 1)的圖像 ． 解析 要想由 y＝ f(x)的圖像得到 y＝－ f(x＋ 1)的圖像，需要先將 y＝ f(x)的圖像關(guān)于 x 軸對(duì)稱得到 y＝－ f(