【正文】 167。 數(shù)列的概念及簡單表示法 1． 數(shù)列的定義 按 一定次序 排列的一列數(shù)叫作數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)叫作這個數(shù)列的 項． 2． 數(shù)列的分類 分類原則 類型 滿足條件 按項數(shù)分類 有窮數(shù)列 項數(shù) 有限 無窮數(shù)列 項數(shù) 無限 按項 與項間的大 小關(guān)系分類 遞增數(shù)列 an＋ 1____an 其中 n∈ N＋ 遞減數(shù)列 an＋ 1____an 常數(shù)列 an＋ 1＝ an 按其 他標準分類 有界數(shù)列 存在正數(shù) M，使 |an|≤ M 擺動數(shù)列 從第二項起，有些項大于它的前一項，有些項 小于它的前一項的數(shù)列 3． 數(shù)列的表示法 數(shù)列有三種表示法，它們分別是 列表法 、 圖像法 和 解析法． 4． 數(shù)列的通項公式 如果數(shù)列 {an}的第 n 項與 序號 n 之間的函數(shù)關(guān)系可以用一個式子表示成 an＝ f(n)，那么這個式子叫作這個數(shù)列的通項公式． 5．已知數(shù)列 {an}的前 n 項和 Sn，則 an＝????? S1 ?n＝ 1?Sn－ Sn－ 1 ?n≥ 2? . 1．判斷下面結(jié)論是否正確 (請在括號中打 “√” 或 “” ) (1)所有數(shù)列的第 n 項都能使用公式表達． ( ) (2)根據(jù)數(shù)列的前幾項歸納出數(shù)列的通項公式可能不止一個． ( √ ) (3)數(shù)列： 1,0,1,0,1,0， ? ，通項公式只能是 an＝ 1＋ ?－ 1?n＋ 12 . ( ) (4)如果數(shù)列 {an}的前 n 項和為 Sn，則對任意 n∈ N＋ ，都有 an＋ 1＝ Sn＋ 1－ Sn. ( √ ) (5)在數(shù)列 {an}中，對于任意正整數(shù) m， n， am＋ n＝ amn＋ 1，若 a1＝ 1，則 a2＝ 2. ( √ ) (6)若已知數(shù)列 {an}的遞推公式為 an＋ 1＝ 12an－ 1，且 a2＝ 1，則可以寫出數(shù)列 {an}的任何一項． ( √ ) 2． 設(shè)數(shù)列 {an}的前 n 項和 Sn＝ n2，則 a8 的值為 ( ) A． 15 B． 16 C． 49 D． 64 答案 A 解析 ∵ Sn＝ n2， ∴ a1＝ S1＝ 1. 當 n≥ 2 時， an＝ Sn－ Sn－ 1＝ n2－ (n－ 1)2＝ 2n－ 1. ∴ an＝ 2n－ 1， ∴ a8＝ 2 8－ 1＝ 15. 3． 已知數(shù)列 {an}的前 n 項和 Sn 滿足： Sn＋ Sm＝ Sn＋ m，且 a1＝ 1，那么 a10等于 ( ) A． 1 B． 9 C． 10 D． 55 答案 A 解析 ∵ Sn＋ Sm＝ Sn＋ m， a1＝ 1， ∴ S1＝ 1. 可令 m＝ 1，得 Sn＋ 1＝ Sn＋ 1， ∴ Sn＋ 1－ Sn＝ 1. 即當 n≥ 1 時， an＋ 1＝ 1， ∴ a10＝ 1. 4． (2020課標全國 Ⅰ )若數(shù)列 {an}的前 n項和 Sn＝ 23an＋ 13，則 {an}的通項公式是 an＝ ________. 答案 (－ 2)n－ 1 解析 當 n＝ 1 時， a1＝ 1；當 n≥ 2 時， an＝ Sn－ Sn－ 1＝ 23an－ 23an－ 1， 故 anan－ 1＝－ 2，故 an＝ (－ 2)n－ 1. 當 n＝ 1 時，也符合 an＝ (－ 2)n－ 1. 綜上， an＝ (－ 2)n－ 1. 5． (2020安徽 )如圖，互不相同的點 A1， A2， ? ， An， ? 和 B1， B2， ? ， Bn? 分別在角 O 的兩條邊上，所有 AnBn 相互平行， 且所有梯形 AnBnBn＋ 1An＋ 1的面積均相等．設(shè) OAn＝ an，若 a1＝ 1， a2＝ 2，則數(shù)列 {an}的通項公式是 ________． 答案 an＝ 3n－ 2 解析 由已知221111 ?????? ? nnnnnnnn ABBAABBA SS 梯形梯形 112211 ?????? ???? ??? nnnnnnnn AOBAOBAOBAOB SSSS， 即 S△ OBnAn＋1122 2 ???? ?? ? nnnn AOBAOB SS 由相似三角形面積比是相似比的平方知 OA2n＋ OA2n＋ 2＝ 2OA2n＋ 1，即 a2n＋ a2n＋ 2＝ 2a2n＋ 1， 因此 {a2n}為等差數(shù)列且 a2n＝ a21＋ 3(n－ 1)＝ 3n－ 2， 故 an＝ 3n－ 2. 題型一 由數(shù)列的前幾項求數(shù)列的通項 例 1 寫出下面各數(shù)列的一個通項公式： (1)3,5,7,9， ? ； (2)12， 34， 78， 1516， 3132， ? ； (3)－ 1， 32，－ 13， 34，－ 15， 36， ? ； (4)3,33,333,3 333， ? . 思維啟迪 先觀察各項的特點，然后歸納出其通項公式，要注意項與項數(shù)之間的關(guān)系，項與前后項之間的關(guān)系． 解 (1)各項減去 1 后為正偶數(shù)，所以 an＝ 2n＋ 1. (2)每一項的分子比分母少 1，而分母組成數(shù)列 21,22,23,24， ? ，所以 an＝ 2n－ 12n . (3)奇數(shù)項為負，偶數(shù)項為正，故通項公式中含因子 (－ 1)n；各項絕對值的分母組成數(shù)列1,2,3,4， ? ；而各項絕對值的分子組成的數(shù)列中，奇數(shù)項為 1，偶數(shù)項為 3，即奇數(shù)項為2－ 1，偶數(shù)項為 2＋ 1，所以 an＝ (－ 1)n2＋ ?－ 1?nn . 也可寫為 an＝??? － 1n， n為正奇數(shù)，3n， n為正偶數(shù) . (4)將數(shù)列各項改寫為 93， 993 ， 9993 ， 9 9993 ， ? ，分母都是 3，而分子分別是 10－ 1,102－ 1,103－ 1,104－ 1， ? ， 所以 an＝ 13(10n－ 1)． 思維升華 根據(jù)所給數(shù)列的前幾項求其通項時，需仔細觀察分析，抓住其幾方面的特征：分式中分子、分母的各自特征；相鄰項的聯(lián)系特征；拆項后的各部分特征；符號特征，應(yīng)多進行對比、分析，從整體到局部多角度觀察、歸納、聯(lián)想． (1)數(shù)列－ 1,7，－ 13,19， ? 的一個通項公式是 an＝ ________________. (2)數(shù)列 {an}的前 4 項是 32， 1， 710， 917，則這個數(shù)列的一個通項公式是 an＝ ________. 答案 (1)(－ 1)n(6n－ 5) (2)2n＋ 1n2＋ 1 解析 (1)符號問題可通過 (－ 1)n或 (－ 1)n＋ 1表示，其各項的絕對值的排列 規(guī)律為后面的數(shù)的絕對值總比前面的數(shù)的絕對值大 6，故通項公式為 an＝ (－ 1)n(6n－ 5)． (2)數(shù)列 {an}的前 4 項可變形為 2 1＋ 112＋ 1 ， 2 2＋ 122＋ 1 ， 2 3＋ 132＋ 1 ， 2 4＋ 142＋ 1 ，故 an＝ 2n＋ 1n2＋ 1. 題型二 由數(shù)列的前 n 項和 Sn 求數(shù)列的通項 例 2 已知下面數(shù)列 {an}的前 n 項和 Sn，求 {an}的通項公式： (1)Sn＝ 2n2－ 3n； (2)Sn＝ 3n＋ b. 思維啟迪 當 n＝ 1時，由 a1＝ S1，求 a1； 當 n≥ 2時，由 an＝ Sn－ Sn－ 1消去 Sn，得 an＋ 1與 an的關(guān)系．轉(zhuǎn)化成由遞推關(guān)系求通項． 解 (1)a1＝ S1＝ 2－ 3＝－ 1， 當 n≥ 2 時， an＝ Sn－ Sn－ 1 ＝ (2n2－ 3n)－ [2(n－ 1)2－ 3(n－ 1)]＝ 4n－ 5， 由于 a1也適合此等式 ， ∴ an＝ 4n－ 5. (2)a1＝ S1＝ 3＋ b， 當 n≥ 2 時 ， an＝ Sn－ Sn－ 1 ＝ (3n＋ b)－ (3n－ 1＋ b)＝ 23n－ 1. 當 b＝－ 1 時， a1適合此等式． 當 b≠ － 1 時， a1不適合此等式． ∴ 當 b＝－ 1 時， an＝ 23n－ 1； 當 b≠ － 1 時， an＝????? 3＋ b， n＝ 1，23n－ 1， n≥ 2. 思維升華 數(shù)列的通項 an與前 n 項和 Sn的關(guān)系是 an＝????? S1， n＝ 1，Sn－ Sn－ 1， n≥ 2. 當 n＝ 1 時， a1若適合 Sn－ Sn－ 1，則 n＝ 1 的情況可并入 n≥ 2 時的通項 an；當 n＝ 1 時， a1若不適合 Sn－ Sn－ 1，則用分段函數(shù)的形式表示． 已知 數(shù)列 {an} 的前 n 項和 Sn ＝ 3n2 － 2n ＋ 1 ， 則其 通項公 式為________________． 答案 an＝????? 2， n＝ 16n－ 5， n≥ 2 解析 當 n＝ 1 時， a1＝ S1＝ 3 12－ 2 1＋ 1＝ 2； 當 n≥ 2 時， an＝ Sn－ Sn－ 1＝ 3n2－ 2n＋ 1－ [3(n－ 1)2－ 2(n－ 1)＋ 1] ＝ 6n－ 5，顯然當 n＝ 1 時，不滿足上式． 故數(shù)列的通項公式為 an＝????? 2， n＝ 1，6n－ 5， n≥ 2. 題型三 由數(shù) 列的遞推關(guān)系求數(shù)列的通項公式 例 3 (1)設(shè)數(shù)列 {an}中， a1＝ 2， an＋ 1＝ an＋ n＋ 1，則通項 an＝ ________. (2)數(shù)列 {an}中， a1＝ 1， an＋ 1＝ 3an＋ 2，則它的一個通項公式為 an＝ ________. (3)在數(shù)列 {an}中， a1＝ 1，前 n 項和 Sn＝ n＋ 23 {an}的通項公式為 ________． 思維啟迪 觀察遞推式的特點，可以利用累加 (乘 )或迭代法求通項公式． 答案 (1)n?n＋ 1?2 ＋ 1 (2)2 3n－ 1－ 1 (3)an＝ n?n＋ 1?2 解析 (1)由題意得，當 n≥ 2 時， an＝ a1＋ (a2－ a1)＋ (a3－ a2)＋ ? ＋ (an－ an－ 1) ＝ 2＋ (2＋ 3＋ ? ＋ n)＝ 2＋ ?n－ 1??2＋ n?2 ＝ n?n＋ 1?2 ＋ 1. 又 a1＝ 2＝ 1 ?1＋ 1?2 ＋ 1，符合上式， 因此 an＝ n?n＋ 1?2 ＋ 1. (2)方法一 (累乘法 ) an＋ 1＝ 3an＋ 2，即 an＋ 1＋ 1＝ 3(an＋ 1)， 即 an＋ 1＋ 1an＋ 1＝ 3， 所以 a2＋ 1a1＋ 1＝ 3， a3＋ 1a2＋ 1＝ 3， a4＋ 1a3＋ 1＝ 3， ? ， an＋ 1＋ 1an＋ 1＝ 3. 將這些等式兩邊分別相乘得 an＋ 1＋ 1a1＋ 1＝ 3n. 因為 a1＝ 1，所以 an＋ 1＋ 11＋ 1 ＝ 3n， 即 an＋ 1＝ 2 3n－ 1(n≥ 1)， 所以 an＝ 2 3n－ 1－ 1(n≥ 2)， 又 a1＝ 1 也滿足上式， 故數(shù)列 {an}的一個通項公式為 an＝ 2 3n－ 1－ 1. 方法二 (迭代法 ) an＋ 1＝ 3an＋ 2， 即 an＋ 1＋ 1＝ 3(an＋ 1)＝ 32(an－ 1＋ 1)＝ 33(an－ 2＋ 1) ＝ ? ＝ 3n(a1＋ 1)＝ 2 3n(n≥ 1)， 所以 an＝ 2 3n－ 1－ 1(n≥ 2)， 又 a1＝ 1 也滿足上式， 故數(shù)列 {an}的一個通項公式為 an＝ 2 3n－ 1－ 1. (3)由題設(shè)知， a1＝ 1. 當 n1 時， an＝ Sn－ Sn－ 1＝ n＋ 23 an－ n＋ 13 an－ 1. ∴ anan－ 1＝ n＋ 1n－ 1. ∴ anan－ 1＝ n＋ 1n－ 1， ? ， a4a3＝ 53， a3a2＝42，a2a1＝ 3. 以上 n－ 1 個式子的等號兩端分別相乘，得到 ana1＝ n?n＋ 1?2 ， 又 ∵ a1＝ 1， ∴ an＝ n?n＋ 1?2 . 思維升華 已知數(shù)列的遞推關(guān)系，求數(shù)列的通項時，通常用累加、累乘、構(gòu)造法求解． 當出現(xiàn) an＝ an－ 1＋ m 時，構(gòu)造等差數(shù)列；當出現(xiàn) an＝ xan－ 1＋ y 時，構(gòu)造等比數(shù)列；當出現(xiàn) an＝ an－ 1＋ f(n)時，用累加法求解；當出現(xiàn) anan－ 1＝ f(n)時，用累乘法求解． (1)已知數(shù)列 {an}滿足 a1＝ 1， an＝ n－ 1n an－ 1(n≥ 2)，則 an＝ ________. (2)已知數(shù)列 {an}的前 n 項和為 Sn，且 Sn＝ 2an－ 1(n∈ N＋ )，則 a5 等于 ( ) A．－ 16 B． 16 C． 31 D． 32 答案 (1)1n (2)B 解析 (1)∵ an＝ n－ 1n an－ 1 (n≥ 2)， ∴ an－ 1＝ n－ 2n－ 1an－ 2， ? ， a2＝ 12a1. 以上 (n－ 1)個式子相乘得 an＝ a112231