【正文】 2020 年高考 全國 百所名校數(shù)學(xué)壓軸題精選 AAA. 【青島市 2020 年高三教學(xué)統(tǒng)一質(zhì)量檢測（理） 22．】 （本小題滿分 14 分）已知等比數(shù)列 ??na 的前 n 項和為 2 3 ( R , N )nnS k k n ?? ? ? ? ? （ Ⅰ ）求數(shù)列 ??na 的通項公式； （ Ⅱ ）設(shè)數(shù)列 ??nb 滿足 4(5 ) nnabnak?? ， nT 為數(shù)列 ??nb 的前 n 項和，試比較 3 16nT? 與 14( 1) nnb?? 的大小，并證明你的結(jié)論． 【解析】： （Ⅰ）由 2 3 ( R , N )nnS k k n ?? ? ? ? ?得 : 2n? 時， 11 43nn n na S S ??? ? ? ?……………………… 2 分 ? ?na 是等比數(shù)列， 11 64a S k? ? ? ? ? 2k? ? ，得 14 3 ( N )nnan??? ? ?…… 4 分 （Ⅱ）由 4(5 ) nnabnak?? 和 143nna ??? 得1143n nnb ??? ?…………………… 6 分 1 2 3 1 2 2 12 3 21 2 2 1 ( 1 )4 3 4 3 4 3 4 31 2 3 2 13 ( 2 )4 4 3 4 3 4 3 4 3n n n nnn nnnnT b b b b bnnT? ??????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? 2 3 2 11 1 1 1 1 1( 2 ) ( 1 ) : 2 4 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3n n n nnT ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 2 3 2 1 11 1 1 1 1 1 3 2 18 8 3 8 3 8 3 8 3 8 3 1 6 1 6 3n n n n nnnT ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?…… 10 分 1 1( 1 ) 2 1 ( 1 ) 3 ( 2 1 )4 ( 1 ) ( 3 1 6 ) 3 3 3nn n n nn n n n n nn b T? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 2( 1 ) 3 ( 2 1 ) 5 3n n n n n? ? ? ? ? ?……………………… 11 分 ?當 5 372n ?? 或 5 37 02n ???時有 ( 1) 3(2 1)n n n? ? ?， 所以當 5n? ( N)n ?? 時有13 16 4( 1)nnT n b ?? ? ? 那么同理可得：當 5 3 7 5 3 722n???? 時有 ( 1) 3 ( 2 1)n n n? ? ?，所以當15n?? ( N)n ?? 時有 13 16 4( 1)nnT n b ?? ? ?……………………… 13 分 綜 上 ： 當 5n? ( N)n ?? 時有 13 16 4( 1 )nnT n b ?? ? ?；當 15n?? ( N)n ?? 時有13 16 4( 1 )nnT n b ?? ? ?……………………… 14 分 .【皖東十校 09 屆第一次聯(lián)考試卷數(shù)學(xué)（理） 22】已知橢圓 221 : 1 ( 0 )xyC a bab? ? ? ?的離心率為 33 ，直線 l : 2yx?? 與以原點為圓心、以橢圓 1C 的短半軸長為半徑的圓相切 . （ I）求橢圓 1C 的方程； （ II）設(shè)橢圓 1C 的左焦點為 1F ，右焦點 2F ，直線 1l 過點 1F 且垂直于橢圓的長軸，動直線 2l 垂直 1l 于點 P ，線段 2PF 垂直平分線交 2l 于點 M ，求點 M 的軌跡 2C的方程； （ III）設(shè) 2C 與 x 軸交于點 Q ，不同的兩點 SR, 在 2C 上，且滿足 0,QR RS??求QS 的取值范圍 . 【解析】：（ Ⅰ ） ∵ 2 2 22 2 22231, , 2 333c a be e a bac ?? ? ? ? ? ? ? ∵ 直線 22202: byxyxl ????? 與圓相切， ∴ 2,2,22 2 ???? bbb ∴ 32?a …………3 分 ∵ 橢圓 C1 的方程是 123 22 ??yx ………………6 分 （ Ⅱ ） ∵ MP=MF2， ∴ 動點 M 到定直線 1:1 ??xl 的距離等于它到定點 F1（ 1， 0）的距離， ∴ 動點 M 的軌跡是 C 為 l1 準線， F2 為焦點的拋物線 ………………6 分 ∴ 點 M 的軌跡 C2 的方程為 xy 42? …………9 分 （ Ⅲ ） Q（ 0， 0），設(shè) ),4(),4( 222121 yySyyR ∴ ),4(),4( 122122121 yyyyRSyyQR ???? ∵ 0??RSQR ∴ 0)(16 )(121212221 ???? yyyyyy ∵ 0, 121 ?? yyy ，化簡得 ∴ )16(112 yyy ??? ………………11 分 ∴ 6432256232256212122 ?????? yyy 當且僅當 4,16,2561212121 ???? yyyy時等號成立 …………13 分 ∵ 6464)8(41)4(|| 2222222222 ?????? yyyyQS ?，又 ∴ 當 ||58||8,64 m in222 QSQSyy ，故時， ???? 的取值范圍是 ),58[ ?? ……14分 2.【江蘇省姜堰中學(xué)高三數(shù)學(xué)階段調(diào)研試卷】 （本小題滿分 16 分）函數(shù)( ) , ( ) l n l n ,xf x ae g x x a? ? ?其中 a 為常數(shù)，且函數(shù) ()y f x? 和 ()y gx? 的圖像在其與坐標軸的交點處的切線互相平行 （ 1）、求函數(shù) ()y gx? 的解析式 （ 2）、若關(guān)于 x 的不等式()xmxgx? ?恒成立，求實數(shù) m 的取值范圍。 【解析】： （ 1） // 1( ) , ( )xf x ae g x x?? 2 ()y f x? 的圖像與坐標軸的交點為 (0, )a ， ()y gx? 的圖像與坐標軸的交點為 (,0)a 由題意得 //(0) ( ),f g a? 即 1a a? ， 3 又 01aa? ? ? ( ) lng x x?? 4 （ 2）由題意 ( ) 0 0 , 1g x x x? ? ? ? 當 (1, )x? ?? 時， lnlnxm x m x x xx? ? ? ? ?6 令 ( ) lnx x x x? ?? / 2 ln 2() 2xxx x? ???? 7 令 ()hx? / 112 l n 2 , ( ) (1 )x x h xxx? ? ? ? ? 9 當 (1, )x? ?? 時， / ( ) 0 ( )h x h x?? 單調(diào)遞增。 ( ) (1) 0h x h? ? ? 10 由 lnm x x x?? 在 (1, )x? ?? 上恒成立， 得 (1) 1m ??? 12 當 (0,1)x? 時， lnlnxm x m x x xx? ? ? ? ? 13 可得 / ()( ) 02hxx x? ?? ()x?? 單調(diào)遞增。 14 由 ln ( )m x x x x?? ? ?在 (0,1)x? 上恒成立，得 (1) 1m ??? 15 綜上，可知 1m? 163.【湖南省長沙一中 20202020 學(xué)年高三第八次月考數(shù)學(xué)（文科） 21．】（本小題滿分 13 分）如圖，在矩形 ABCD 中，已知 A（ 2， 0）、C（－ 2， 2），點 P 在 BC邊上移動，線段 OP 的垂直平分線交 y 軸于點 E，點 M 滿足 .EPEOEM ?? （ Ⅰ ）求點 M 的軌跡方程； （ Ⅱ ）已知點 F（ 0，21），過點 F 的直線 l 交點 M 的軌跡于 Q、 R 兩點，且 ,FRQF ?? 求實數(shù) ? 的取值范圍 . 【解析】 ： （ I）依題意，設(shè) P（ t,2）（－ 2≤t≤2）， M（ x， y） . 當 t=0 時，點 M 與點 E 重合 ，則 M=（ 0， 1）； 當 t≠0 時，線段 OP 的垂直平分線方程為： ).2(21 txty ???? )1(4,.442)442,()44,0()44,()44,0(,44,02222222???????????????????????????yxttytxttttyxEPEOEMtEtyx得消去得由即得令 顯然，點（ 0， 1）適合上式 .故點 M 的軌跡方程為 x2=－ 4(y－ 1)( － 2≤x≤2) （ II）設(shè) ),1(4),4141(21: 2 ???????? yxkkxyl 代入得 x2+4k－ 2=0. 設(shè) Q（ x1,y1）、 R（ x2,y2），則??????????????24081621212xxkxxk 21, xxFRQF ?? ??? 得 , ??? ??? ???? 2 4)1( 222x kx? ? .消去 x2，得 22 8)1( k???? . ).0(0252,21)1(0,1610 222 ?????????? ????? 即k? 解得 221 ??? 4. 【湖北省 2020 屆高三八校聯(lián)考第二次（理） 21.】（本小題滿分 14 分）已知數(shù)列 ??na 中， 1 3a? ， 2 5a? ，其前 n 項和 nS 滿足 ? ?1212 2 3nn n nS S S n???? ? ? ≥.令11nnnb aa?? ?. （ Ⅰ ）求數(shù)列 ??na 的通項公式； （ Ⅱ ）若 ? ? 12xfx ?? ，求證： ? ? ? ? ? ?12 112 6nnT b f b f b f n? ? ? ? ?（ 1n≥ ）； （ Ⅲ ）令 ? ?231 2 312 nnnT b a b a b a b a? ? ? ? ?（ 0a? ），求同時滿足下列兩個條件的所有 a 的值： ① 對于任意正整數(shù) n ，都有 16nT?； ② 對于任意的 10,6m ???????，均存在 0nN?? ，使得 0nn≥ 時， nTm? . 【解】（Ⅰ）由題意知 ? ?11 1 2 23nn n n nS S S S n?? ? ?? ? ? ? ≥即 ? ?11 nnna a n???? ≥…… 1′ ∴ ? ? ? ? ? ?1 1 2 3 2 2n n n n na a a a a a a a? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 2 2 1 2 22 2 2 5 2 2 2 2 1 2 2 1 3n n n n n n? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ≥…… 2′ 檢驗知 1n? 、 2 時，結(jié)論也成立，故 21nna ??.………… 3′ （Ⅱ）由于 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?111112 1 2 11 1 1 1 122 2 2 1 2 12 1 2 1 2 1 2 1nnnn nnn n n nb f n?????? ? ? ??? ? ? ? ? ?????? ? ? ? ?? 故? ? ? ? ? ?12 2 2 3 11 1 1 1 1 1 112 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1nn