【正文】 2020 年全國各地中考 數(shù)學(xué) 壓軸題精選 （解析版 120） 1．（ 2020?菏澤）如圖，在平面直角坐標系中放置一直角三角板，其頂點為 A（ 0， 1）， B（ 2，0）， O（ 0， 0），將此三角板繞原點 O 逆時針旋轉(zhuǎn) 90176。，得到 △ A′B′O． （ 1）一拋物線經(jīng)過點 A′、 B′、 B，求該拋物線的解析式； （ 2）設(shè)點 P 是在第一象限內(nèi)拋物線上的一動點，是否存在點 P，使四邊形 PB′A′B 的面積是△ A′B′O 面積 4 倍？若存在，請求出 P 的坐標；若不存在，請說明理由． （ 3）在（ 2）的條件下，試指出四邊形 PB′A′B 是哪種形狀 的四邊形？并寫出四邊形 PB′A′B的兩條性質(zhì)． 解題思路 ： （ 1）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出 A′（﹣ 1， 0）， B′（ 0， 2），再利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可； （ 2）利用 S 四邊形 PB′A′B=S△ B′OA′+S△ PB′O+S△ POB，再假設(shè)四邊形 PB′A′B 的面積是△ A′B′O 面積的 4 倍，得出一元二次方程，得出 P 點坐標即可； （ 3）利用 P 點坐標以及 B 點坐標即可得出四邊形 PB′A′B 為等腰梯形，利用等腰梯形性質(zhì)得出答案即可． 解答： 解：（ 1） △ A′B′O 是由 △ ABO 繞原點 O 逆時針旋轉(zhuǎn) 90176。得到的， 又 A（ 0， 1）， B（ 2， 0）， O（ 0， 0）， ∴ A′（﹣ 1， 0）， B′（ 0， 2）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（ 1 分） 設(shè)拋物線的解析式為： y=ax2+bx+c（ a≠0）， ∵ 拋物線經(jīng)過點 A′、 B′、 B， ∴ ， 解得： ， ∴ 滿足條件的拋物線的解析式為 y=﹣ x2+x+2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣（ 3 分） （ 2） ∵ P 為第一象限內(nèi)拋物線上的一動點， 設(shè) P（ x， y），則 x＞ 0， y＞ 0， P 點坐標滿足 y=﹣ x2+x+2． 連接 PB， PO， PB′， ∴ S 四邊形 PB′A′B=S△ B′OA′+S△ PB′O+S△ POB， = 12+ 2x+ 2y， =x+（﹣ x2+x+2） +1， =﹣ x2+2x+3．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（ 5 分） 假設(shè)四邊形 PB′A′B 的面積是 △ A′B′O 面積的 4 倍，則 4=﹣ x2+2x+3， 即 x2﹣ 2x+1=0， 解得： x1=x2=1， 此時 y=﹣ 12+1+2=2，即 P（ 1， 2）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（ 7 分） ∴ 存在點 P（ 1， 2），使四邊形 PB′A′B 的面積是 △ A′B′O 面積的 4 倍．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（ 8 分） （ 3）四邊形 PB′A′B 為等腰梯形，答案不唯一，下面性質(zhì)中的任意 2 個均可． ①等腰梯形同一底上的兩個內(nèi)角相等； ②等腰梯形對角線相等； ③等腰梯 形上底與下底平行； ④等腰梯形兩腰相等．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（ 10分） 或用符號表示： ①∠ B′A′B=∠ PBA′或 ∠ A′B′P=∠ BPB′； ②PA′=B′B； ③B′P∥ A′B； ④B′A′=PB．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（ 10 分） 2．（ 2020?寧波）如圖，二次函數(shù) y=ax2+bx+c 的圖象交 x軸于 A（﹣ 1， 0）， B（ 2， 0），交y 軸于 C（ 0，﹣ 2），過 A， C 畫直線． （ 1）求二次函數(shù)的解析式； （ 2）點 P 在 x軸正半軸上， 且 PA=PC，求 OP 的長； （ 3）點 M 在二次函數(shù)圖象上，以 M 為圓心的圓與直線 AC 相切，切點為 H． ①若 M 在 y 軸右側(cè)，且 △ CHM∽△ AOC（點 C 與點 A對應(yīng)），求點 M 的坐標； ②若 ⊙ M 的半徑為 ，求點 M 的坐標． 解題思路 ： （ 1）根據(jù)與 x軸的兩個交點 A、 B 的坐標，利設(shè)出兩點法解析式，然后把點 C的坐標代入計算求出 a 的值，即可得到二次函數(shù)解析式； （ 2）設(shè) OP=x，然后表示出 PC、 PA 的長度，在 Rt△ POC 中，利用勾股定理列式，然后解方程即可； （ 3） ①根據(jù)相似三角形對應(yīng)角相等可得 ∠ MCH=∠ CAO，然后分（ i）點 H 在點 C下方時，利用同位角相等，兩直線平行判定 CM∥ x軸，從而得到點 M 的縱坐標與點 C 的縱坐標相同，是﹣ 2，代入拋物線解析式計算即可；（ ii）點 H 在點 C 上方時，根據(jù)（ 2）的結(jié)論，點 M為直線 PC 與拋物線的另一交點，求出直線 PC 的解析式，與拋物線的解析式聯(lián)立求解即可得到點 M 的坐標； ②在 x軸上取一點 D，過點 D 作 DE⊥ AC 于點 E，可以證明 △ AED 和 △ AOC相似，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求解即可得到 AD 的長度，然后分點 D在點 A的左邊與右邊兩種情況求出 OD 的長度，從而得到點 D 的坐標，再作直線 DM∥ AC，然后求出直線 DM 的解析式，與拋物線解析式聯(lián)立求解即可得到點 M 的坐標． 解答： 解：（ 1）設(shè)該二次函數(shù)的解析式為： y=a（ x+1）（ x﹣ 2）， 將 x=0， y=﹣ 2 代入，得﹣ 2=a（ 0+1）（ 0﹣ 2）， 解得 a=1， ∴ 拋物線的解析式為 y=（ x+1）（ x﹣ 2）， 即 y=x2﹣ x﹣ 2； （ 2）設(shè) OP=x，則 PC=PA=x+1， 在 Rt△ POC 中，由勾股 定理，得 x2+22=（ x+1） 2， 解得， x= ， 即 OP= ； （ 3） ①∵△ CHM∽△ AOC， ∴∠ MCH=∠ CAO， （ i）如圖 1，當 H 在點 C 下方時， ∵∠ MCH=∠ CAO， ∴ CM∥ x軸， ∴ yM=﹣ 2， ∴ x2﹣ x﹣ 2=﹣ 2， 解得 x1=0（舍去）， x2=1， ∴ M（ 1，﹣ 2）， （ ii）如圖 1，當 H 在點 C 上方時， ∵∠ MCH=∠ CAO， ∴ PA=PC，由（ 2）得， M 為直線 CP 與拋物線的另一交點， 設(shè)直線 CM 的解析式為 y=kx﹣ 2， 把 P（ ， 0）的坐標代入，得 k﹣ 2=0， 解得 k= ， ∴ y= x﹣ 2， 由 x﹣ 2=x2﹣ x﹣ 2， 解得 x1=0（舍去）， x2= ， 此時 y= ﹣ 2= ， ∴ M′（ ， ）， ②在 x軸上取一點 D，如圖（備用圖），過點 D 作 DE⊥ AC 于點 E，使 DE= ， 在 Rt△ AOC 中， AC= = = ， ∵∠ COA=∠ DEA=90176。， ∠ OAC=∠ EAD， ∴△ AED∽△ AOC， ∴ = ， 即 = ， 解得 AD=2， ∴ D（ 1， 0）或 D（﹣ 3， 0）． 過點 D 作 DM∥ AC，交拋物線于 M，如圖（備用圖） 則直線 DM 的解析 式為： y=﹣ 2x+2 或 y=﹣ 2x﹣ 6， 當﹣ 2x﹣ 6=x2﹣ x﹣ 2 時，即 x2+x+4=0，方程無實數(shù)根， 當﹣ 2x+2=x2﹣ x﹣ 2 時，即 x2+x﹣ 4=0，解得 x1= ， x2= ， ∴ 點 M 的坐標為（ ， 3+ ）或（ ， 3﹣ ）． 3．（ 2020?福州）如圖 1，已知拋物線 y=ax2+bx（ a≠0）經(jīng)過 A（ 3， 0）、 B（ 4， 4）兩點． （ 1）求拋物線的解析式； （ 2）將直線 OB向下平移 m個單位長度后 ，得到的直線與拋物線只有一個公共點 D，求 m的值及點 D 的坐標； （ 3）如圖 2，若點 N在拋物線上，且 ∠ NBO=∠ ABO，則在（ 2）的條件下，求出所有滿足△ POD∽△ NOB 的點 P 坐標（點 P、 O、 D 分別與點 N、 O、 B 對應(yīng)）． 解題思路 ： （ 1）利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式即可； （ 2）根據(jù)已知條件可求出 OB的解析式為 y=x，則向下平移 m 個單位長度后的解析式為： y=x﹣ m．由于拋物線與直線只有一個公共點，意味著聯(lián)立解析式后得到 的一元二次方程，其根的判別式等于 0，由此可求出 m 的值和 D 點坐標； （ 3）綜合利用幾何變換和相似關(guān)系求解． 方法一：翻折變換，將 △ NOB 沿 x軸翻折； 方法二：旋轉(zhuǎn)變換，將 △ NOB 繞原點順時針旋轉(zhuǎn) 90176。． 特別注意求出 P 點坐標之后，該點關(guān)于直線 y=﹣ x的對稱點也滿足題意，即滿足題意的 P 點有兩個，避免漏解． 解答： 解：（ 1） ∵ 拋物線 y=y=ax2+bx（ a≠0）經(jīng)過 A（ 3， 0）、 B（ 4， 4） ∴ ，解得： ∴ 拋物線的解析式是 y=x2﹣ 3x． （ 2）設(shè)直線 OB 的解析式為 y=k1x，由點 B（ 4， 4）， 得： 4=4k1，解得： k1=1 ∴ 直線 OB 的解析式為 y=x， ∴ 直線 OB 向下平移 m 個單位長度后的解析式為： y=x﹣ m， ∵ 點 D 在拋物線 y=x2﹣ 3x上， ∴ 可設(shè) D（ x， x2﹣ 3x）， 又點 D 在直線 y=x﹣ m 上， ∴ x2﹣ 3x=x﹣ m，即 x2﹣ 4x+m=0， ∵ 拋物線與直線只有一個公共點， ∴△ =16﹣ 4m=0， 解得： m=4， 此時 x1=x2=2， y=x2﹣ 3x=﹣ 2， ∴ D 點的坐標為（ 2，﹣ 2）． （ 3） ∵ 直線 OB 的解析式為 y=x，且 A（ 3， 0）， ∴ 點 A關(guān)于直線 OB 的對稱點 A′的坐標是（ 0， 3）， 設(shè)直線 A′B 的解析式為 y=k2x+3，過點（ 4， 4）， ∴ 4k2+3=4，解得： k2= ， ∴ 直線 A′B 的解析式是 y= ， ∵∠ NBO=∠ ABO， ∴ 點 N 在直線 A′B 上， ∴ 設(shè)點 N（ n， ），又點 N 在拋物線 y=x2﹣ 3x上， ∴ =n2﹣ 3n， 解得： n1=﹣ ， n2=4（不合題意，舍去） ∴ N 點的坐標為（﹣ ， ）． 方法一： 如圖 1，將 △ NOB 沿 x軸翻折，得到 △ N1OB1， 則 N1（ ， ）， B1（ 4，﹣ 4）， ∴ O、 D、 B1都在直線 y=﹣ x上． ∵△ P1OD∽△ NOB， ∴△ P1OD∽△ N1OB1， ∴ ， ∴ 點 P1的坐標為（ ， ）． 將 △ OP1D 沿直線 y=﹣ x翻折，可得另一個滿足條件的點 P2（ ， ）， 綜上所述，點 P 的坐標是（ ， ）或（ ， ）． 方法二： 如圖 2，將 △ NOB 繞原點順時針旋轉(zhuǎn) 90176。，得到 △ N2OB2， 則 N2（ ， ）， B2（ 4，﹣ 4）， ∴ O、 D、 B1都在直線 y=﹣ x上． ∵△ P1OD∽△ NOB， ∴△ P1OD∽△ N2OB2， ∴ ， ∴ 點 P1的坐標為（ ， ）． 將 △ OP1D 沿直線 y=﹣ x翻折，可得另一個滿足條件的點 P2（ ， ）， 綜上所述，點 P 的坐標是（ ， ）或（ ， ）． 4．（ 2020?臨沂）如圖，點 A在 x軸上， OA=4，將線段 OA繞點 O 順時針旋轉(zhuǎn) 120176。至 OB的位置． （ 1）求點 B 的坐標； （ 2）求經(jīng)過點 A、 O、 B 的拋物線的解析式； （ 3）在此拋物線的對稱軸上，是否存在點 P，使得以點 P、 O、 B 為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求點 P 的坐標；若不存在，說明理由． 解題思路 ： （ 1）首先根據(jù) OA的旋轉(zhuǎn)條件確定 B 點位置，然后過 B 做 x軸的垂線，通過構(gòu)建直角三角形和 OB 的長（即 OA 長）確定 B 點的坐標． （ 2）已知 O、 A、 B 三點坐標，利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式． （ 3）根據(jù)（ 2）的拋物線解析式，可得到拋物線的對稱軸，然后先設(shè)出 P 點的坐標，而 O、 B 坐標已知，可先表示出 △ OPB 三邊的邊長表達式，然后分 ①OP=OB、②OP=BP、 ③OB=BP 三種情況分類討論，然后分辨是否存在符合條件的 P 點． 解答： 解：（ 1）如圖，過 B 點作 BC⊥ x軸，垂足為 C，則 ∠ BCO=90176。， ∵∠ AOB=120176。， ∴∠ BOC=60176。， 又 ∵ OA=OB=4， ∴ OC= OB= 4=2， BC=OB?sin60176。=4 =2 ， ∴ 點 B 的坐標為（﹣ 2，﹣ 2 ）； （ 2） ∵ 拋物線過原點 O 和點 A、 B， ∴ 可設(shè)拋物線解析式為 y=ax2+bx， 將 A（ 4， 0）， B（﹣ 2．﹣ 2 ）代入，得 ， 解得 ， ∴ 此拋物線的解析式為 y=﹣ x2+ x （ 3）存在， 如圖，拋物線的對稱軸是 x=2，直線 x=2 與 x軸的交點為 D，設(shè)點 P 的坐標為（ 2，y）， ①若 OB=OP， 則 22+|y|2=42