【正文】 BE=∠ DEO， ∵∠ BAE=∠ EOD， ∴△ ABE∽△ OED． …（ 9 分） 設 OE=x，則 AE= ﹣ x （ ）， 由 △ ABE∽△ OED 得 ， ∴ ∴ （ ） …（ 10 分） ∴ 頂點為（ ， ） 如答圖 3，當 時， OE=x= ，此時 E 點有 1 個； 當 時，任取一個 m 的值都對應著兩個 x值，此時 E 點有 2 個． ∴ 當 時， E 點只有 1 個 …（ 11 分） 當 時， E 點有 2 個 …（ 12 分）． 7．（ 2020?益陽）已知：如圖 1，在面積為 3 的正方形 ABCD中， E、 F 分別是 BC 和 CD 邊上的兩點， AE⊥ BF 于點 G，且 BE=1． （ 1）求證： △ ABE≌△ BCF； （ 2）求出 △ ABE 和 △ BCF 重疊部分（即 △ BEG）的面積； （ 3）現(xiàn)將 △ ABE 繞點 A逆時針方向旋轉(zhuǎn)到 △ AB′E′（如圖 2），使點 E落在 CD邊上的點 E′處，問 △ ABE 在旋轉(zhuǎn)前后與 △ BCF 重疊部分的面積是否發(fā)生了變化？請說明理由． 解題思路 ： （ 1）由四邊形 ABCD 是正方形，可得 ∠ ABE=∠ BCF=90176。+120176。=4 =2 ， ∴ 點 B 的坐標為（﹣ 2，﹣ 2 ）； （ 2） ∵ 拋物線過原點 O 和點 A、 B， ∴ 可設拋物線解析式為 y=ax2+bx， 將 A（ 4， 0）， B（﹣ 2．﹣ 2 ）代入，得 ， 解得 ， ∴ 此拋物線的解析式為 y=﹣ x2+ x （ 3）存在， 如圖，拋物線的對稱軸是 x=2，直線 x=2 與 x軸的交點為 D，設點 P 的坐標為（ 2，y）， ①若 OB=OP， 則 22+|y|2=42， 解得 y=177。至 OB的位置． （ 1）求點 B 的坐標； （ 2）求經(jīng)過點 A、 O、 B 的拋物線的解析式； （ 3）在此拋物線的對稱軸上，是否存在點 P，使得以點 P、 O、 B 為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求點 P 的坐標；若不存在，說明理由． 解題思路 ： （ 1）首先根據(jù) OA的旋轉(zhuǎn)條件確定 B 點位置，然后過 B 做 x軸的垂線，通過構(gòu)建直角三角形和 OB 的長（即 OA 長）確定 B 點的坐標． （ 2）已知 O、 A、 B 三點坐標，利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式． （ 3）根據(jù)（ 2）的拋物線解析式，可得到拋物線的對稱軸，然后先設出 P 點的坐標，而 O、 B 坐標已知，可先表示出 △ OPB 三邊的邊長表達式，然后分 ①OP=OB、②OP=BP、 ③OB=BP 三種情況分類討論，然后分辨是否存在符合條件的 P 點． 解答： 解：（ 1）如圖，過 B 點作 BC⊥ x軸，垂足為 C，則 ∠ BCO=90176。得到的， 又 A（ 0， 1）， B（ 2， 0）， O（ 0， 0）， ∴ A′（﹣ 1， 0）， B′（ 0， 2）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（ 1 分） 設拋物線的解析式為： y=ax2+bx+c（ a≠0）， ∵ 拋物線經(jīng)過點 A′、 B′、 B， ∴ ， 解得： ， ∴ 滿足條件的拋物線的解析式為 y=﹣ x2+x+2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣（ 3 分） （ 2） ∵ P 為第一象限內(nèi)拋物線上的一動點， 設 P（ x， y），則 x＞ 0， y＞ 0， P 點坐標滿足 y=﹣ x2+x+2． 連接 PB， PO， PB′， ∴ S 四邊形 PB′A′B=S△ B′OA′+S△ PB′O+S△ POB， = 12+ 2x+ 2y， =x+（﹣ x2+x+2） +1， =﹣ x2+2x+3．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（ 5 分） 假設四邊形 PB′A′B 的面積是 △ A′B′O 面積的 4 倍，則 4=﹣ x2+2x+3， 即 x2﹣ 2x+1=0， 解得： x1=x2=1， 此時 y=﹣ 12+1+2=2，即 P（ 1， 2）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（ 7 分） ∴ 存在點 P（ 1， 2），使四邊形 PB′A′B 的面積是 △ A′B′O 面積的 4 倍．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（ 8 分） （ 3）四邊形 PB′A′B 為等腰梯形，答案不唯一，下面性質(zhì)中的任意 2 個均可． ①等腰梯形同一底上的兩個內(nèi)角相等； ②等腰梯形對角線相等； ③等腰梯 形上底與下底平行； ④等腰梯形兩腰相等．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（ 10分） 或用符號表示： ①∠ B′A′B=∠ PBA′或 ∠ A′B′P=∠ BPB′； ②PA′=B′B； ③B′P∥ A′B； ④B′A′=PB．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（ 10 分） 2．（ 2020?寧波）如圖，二次函數(shù) y=ax2+bx+c 的圖象交 x軸于 A（﹣ 1， 0）， B（ 2， 0），交y 軸于 C（ 0，﹣ 2），過 A， C 畫直線． （ 1）求二次函數(shù)的解析式； （ 2）點 P 在 x軸正半軸上， 且 PA=PC，求 OP 的長； （ 3）點 M 在二次函數(shù)圖象上，以 M 為圓心的圓與直線 AC 相切，切點為 H． ①若 M 在 y 軸右側(cè)，且 △ CHM∽△ AOC（點 C 與點 A對應），求點 M 的坐標； ②若 ⊙ M 的半徑為 ，求點 M 的坐標． 解題思路 ： （ 1）根據(jù)與 x軸的兩個交點 A、 B 的坐標，利設出兩點法解析式，然后把點 C的坐標代入計算求出 a 的值，即可得到二次函數(shù)解析式； （ 2）設 OP=x，然后表示出 PC、 PA 的長度，在 Rt△ POC 中，利用勾股定理列式，然后解方程即可； （ 3） ①根據(jù)相似三角形對應角相等可得 ∠ MCH=∠ CAO，然后分（ i）點 H 在點 C下方時，利用同位角相等，兩直線平行判定 CM∥ x軸，從而得到點 M 的縱坐標與點 C 的縱坐標相同，是﹣ 2，代入拋物線解析式計算即可；（ ii）點 H 在點 C 上方時，根據(jù)（ 2）的結(jié)論，點 M為直線 PC 與拋物線的另一交點，求出直線 PC 的解析式，與拋物線的解析式聯(lián)立求解即可得到點 M 的坐標； ②在 x軸上取一點 D，過點 D 作 DE⊥ AC 于點 E，可以證明 △ AED 和 △ AOC相似，根據(jù)相似三角形對應邊成比例列式求解即可得到 AD 的長度，然后分點 D在點 A的左邊與右邊兩種情況求出 OD 的長度，從而得到點 D 的坐標，再作直線 DM∥ AC，然后求出直線 DM 的解析式，與拋物線解析式聯(lián)立求解即可得到點 M 的坐標． 解答： 解：（ 1）設該二次函數(shù)的解析式為： y=a（ x+1）（ x﹣ 2）， 將 x=0， y=﹣ 2 代入，得﹣ 2=a（ 0+1）（ 0﹣ 2）， 解得 a=1， ∴ 拋物線的解析式為 y=（ x+1）（ x﹣ 2）， 即 y=x2﹣ x﹣ 2； （ 2）設 OP=x，則 PC=PA=x+1， 在 Rt△ POC 中，由勾股 定理，得 x2+22=（ x+1） 2， 解得， x= ， 即 OP= ； （ 3） ①∵△ CHM∽△ AOC， ∴∠ MCH=∠ CAO， （ i）如圖 1，當 H 在點 C 下方時， ∵∠ MCH=∠ CAO， ∴ CM∥ x軸， ∴ yM=﹣ 2， ∴ x2﹣ x﹣ 2=﹣ 2， 解得 x1=0（舍去）， x2=1， ∴ M（ 1，﹣ 2）， （ ii）如圖 1，當 H 在點 C 上方時， ∵∠ MCH=∠ CAO， ∴ PA=PC，由（ 2）得， M 為直線 CP 與拋物線的另一交點， 設直線 CM 的解析式為 y=kx﹣ 2， 把 P（ ， 0）的坐標代入，得 k﹣ 2=0， 解得 k= ， ∴ y= x﹣ 2， 由 x﹣ 2=x2﹣ x﹣ 2， 解得 x1=0（舍去）， x2= ， 此時 y= ﹣ 2= ， ∴ M′（ ， ）， ②在 x軸上取一點 D，如圖（備用圖），過點 D 作 DE⊥ AC 于點 E，使 DE= ， 在 Rt△ AOC 中， AC= = = ， ∵∠ COA=∠ DEA=90176。得到 △ A′B′O． （ 1）一拋物線經(jīng)過點 A′、 B′、 B，求該拋物線的解析式； （ 2）設點 P 是在第一象限內(nèi)拋物線上的一動點，是否存在點 P，使四邊形 PB′A′B 的面積是△ A′B′O 面積 4 倍？若存在，請求出 P 的坐標；若不存在，請說明理由． （ 3）在（ 2）的條件下，試指出四邊形 PB′A′B 是哪種形狀 的四邊形？并寫出四邊形 PB′A′B的兩條性質(zhì)． 解題思路 ： （ 1）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出 A′（﹣ 1， 0）， B′（ 0， 2），再利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可； （ 2）利用 S 四邊形 PB′A′B=S△ B′OA′+S△ PB′O+S△ POB，再假設四邊形 PB′A′B 的面積是△ A′B′O 面積的 4 倍，得出一元二次方程，得出 P 點坐標即可； （ 3）利用 P 點坐標以及 B 點坐標即可得出四邊形 PB′A′B 為等腰梯形，利用等腰梯形性質(zhì)得出答案即可． 解答： 解：（ 1） △ A′B′O 是由 △ ABO 繞原點 O 逆時針旋轉(zhuǎn) 90176。得到 △ N2OB2， 則 N2（ ， ）， B2（ 4，﹣ 4）， ∴ O、 D、 B1都在直線 y=﹣ x上． ∵△ P1OD∽△ NOB， ∴△ P1OD∽△ N2OB2， ∴ ， ∴ 點 P1的坐標為（ ， ）． 將 △ OP1D 沿直線 y=﹣ x翻折，可得另一個滿足條件的點 P2（ ， ）， 綜上所述，點 P 的坐標是（ ， ）或（ ， ）． 4．（ 2020?臨沂）如圖，點 A在 x軸上， OA=4，將線段 OA繞點 O 順時針旋轉(zhuǎn) 120176。 又 ∵ OA=OB=4， ∴ OC= OB= 4=2， BC=OB?sin60176。 ∴∠ POB=∠ POD+∠ AOB=60176。 ∴△ QHM∽△ QGN…（ 5 分）， ∴ ， 當點 P、 Q 在拋物線和直線上不同位置時，同理可得 ． …（ 7 分） ①① （ 3）如答圖 2，延長 AB 交 x軸于點 F，過點 F 作 FC⊥ OA于點 C，過點 A作 AR⊥ x軸于點 R ∵∠ AOD=∠ BAE， ∴ AF=OF， ∴ OC=AC= OA= ∵∠ ARO=∠ FCO=90176。易證得 Rt△ ABE≌ Rt△ AB′E′≌ Rt△ ADE′，可得 AB′與 AE 在同一直線上，即 BF 與 AB′的交點是 G，然后設 BF 與 AE′的交點為H，可證得 △ BAG≌△ HAG，繼而證得結(jié)論． 解答： （ 1）證明： ∵ 四邊形 ABCD 是正方形， ∴∠ ABE=∠ BCF=90176。 ∴△ BGE∽△ ABE， …（ 7 分） ∴ ， 又 ∵ BE=1， ∴ AE2=AB2+BE2=3+1=4， ∴ S△ BGE= S△ ABE= = ． …（ 8 分） （ 3）解：沒有變化． …（ 9 分） 理由： ∵ AB= ， BE=1， ∴ tan∠ BAE= = ， ∠ BAE=30176。 ∴ AB′與 AE 在同一直線上，即 BF 與 AB′的交點是 G， 設 BF 與 AE′的交點為 H， 則 ∠ BAG=∠ HAG=30176。 AE=3 ， MN=2 ． （ 1）求 ∠ COB 的度數(shù)； （ 2）求 ⊙ O 的半徑 R； （ 3）點 F 在 ⊙ O 上（ 是劣?。?EF=5，把 △ OBC經(jīng)過平移、旋轉(zhuǎn)和相似變換后，使它的兩個頂點分別與點 E， F 重合．在 EF 的同一側(cè)，這樣的三角形共有多少個？你能在其中找出另一個頂點在 ⊙ O 上的三角形嗎？請在圖中畫出這個三角形，并求出這個三角形與△ OBC 的周長之比． 解題思路 ： （ 1）由 AE 與圓 O相切，根據(jù)切線的性質(zhì)得到 AE 與 CE 垂直，又 OB 與 AT 垂直，可得出兩直角相等，再由一對對頂角相等，利用兩對對應角相等的兩三角形相似可得 出三角形 AEC 與三角形 OBC 相似，根據(jù)相似三角形的對應角相等可得出所求的角與 ∠ A相等，由 ∠ A的度數(shù)即可求出所求角的度數(shù)； （ 2）在直角三角形 AEC 中，由 AE 及 tanA的值，利用銳角三角函數(shù)定義求出 CE的長，再由 OB 垂直于 MN，由垂徑定理得到 B 為 MN 的中點，根據(jù) MN 的長求出MB 的長，在直角三角形 OBM中，由半徑 OM=R，及 MB的長，利用勾股定理表示出 OB 的長，在直角三角形 OBC 中，由表示出 OB 及 cos30176。 ∴∠ COB=∠ A=30176。=3， ∵ OB⊥ MN， ∴ B 為 MN 的中點，又 MN=2 ， ∴ MB= MN= ， 連接 OM，在 △ MOB 中， OM=R， MB= ， ∴ OB= = ， 在 △ COB 中， ∠ BOC=30176。 AD=2， BC=6，AB