【正文】 2020 屆全國(guó)百套名校高三數(shù)學(xué)模擬試題分類匯編 09 圓錐曲線 試題收集：成都市新都一中 肖宏 三、解答題 (第一部分 ) (山東省臨沂高新區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué) 2020－ 2020 學(xué)年高三 12 月月考 )已知橢圓 C 過(guò)點(diǎn))0,2(),26,1( ?FM 是橢圓的左焦點(diǎn)， P、 Q 是橢圓 C 上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且 |PF|、 |MF|、 |QF|成等差數(shù)列。 （ 1）求橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程； （ 2）求證：線段 PQ 的垂直平分線經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn) A； （ 3）設(shè)點(diǎn) A關(guān)于原點(diǎn) O 的對(duì)稱點(diǎn)是 B，求 |PB|的最小值及相應(yīng)點(diǎn) P 的坐標(biāo)。 解： （ 1） 設(shè)橢圓 C 的方程為 221xyab??，由已知，得 222261 4 12abab??? ???? ????，解得 2242ab? ?????? 所以橢圓的標(biāo) 準(zhǔn)方程為 22142xy?? …………3 分 （ 2） 證明：設(shè) 1 1 2 2( , ), ( , )P x y Q x y。由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 22142xy??，可知 22 2 2 11 1 1 12| | ( 2 ) ( 2 ) 2 222xP F x y x x? ? ? ? ? ? ? ? ? 同理222| | 2 , | | 2O F x M F? ? ? ?………4 分 ∵ 2 | | | | | |MF PF QF??，∴12222 ( 2 ) 4 ( )xx? ? ? ? ∴ 122xx??…………5 分 ①當(dāng) 12xx? 時(shí)，由 2211222424xyxy? ????????，得 2 2 2 21 2 1 22 ( ) 0x x y y? ? ? ? 從而有 1 2 1 21 2 1 212y y x xx x y y??? ? ? 設(shè)線段 PQ 的中點(diǎn)為 (1, )Nn，由 121212PQ yyk x x n?? ? ?? ………… 6 分 得線段 PQ 的中垂線方程為 2 ( 1)y n n x? ? ? ………… 7 分 ∴ (2 1) 0x n y? ? ?，該直線恒過(guò)一定點(diǎn) 1( ,0)2A………… 8 分 ②當(dāng) 12xx? 時(shí)， 66(1, ), (1, )22PQ? 或 66(1, ), (1, )22PQ? 線段 PQ 的中垂線是 x 軸，也過(guò)點(diǎn) 1( ,0)2A ， ∴線段 PQ 的中垂線過(guò)點(diǎn) 1( ,0)2A ………… 10 分 （ 3）由 1( ,0)2A ，得 1( ,0)2B? 。 又 122 2 , 2 2xx? ? ? ? ? ?，∴ 122 [0, 2]xx? ? ? 22 2 2 2 211 1 1 11 1 1 7 9| | ( ) ( ) 2 ( 1 )2 2 2 2 4 4xP B x y x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?………… 12 分 ∴min 3||2PB ?時(shí)，點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 (0, 2)? ………… 14 分 (陜西省西安鐵一中 2020 屆高三 12 月月考 )如圖，在直角 坐標(biāo)系 xOy 中，已知橢圓)0(1: 2222 ???? babyaxC 的離心率 e＝ 32 ，左右兩個(gè)焦分別為 21 FF、 ．過(guò)右焦點(diǎn) 2F 且與 x 軸垂直的直線與橢圓 C 相交 M、 N 兩點(diǎn)，且 |MN|=1 ． (Ⅰ ) 求橢圓 C 的方程； (Ⅱ ) 設(shè)橢圓 C 的左頂點(diǎn)為 A,下頂點(diǎn)為 B，動(dòng)點(diǎn) P 滿足 4PA AB m? ? ? ，（ mR? ）試求點(diǎn) P 的軌跡方程，使點(diǎn) B 關(guān)于該軌跡的對(duì)稱點(diǎn)落在橢圓 C 上 . 解： ( Ⅰ ) ∵ 2MF x? 軸 ，∴2 1||2MF?, 由橢圓 的定義 得：1 1| | 22MF a?? （ 2 分） ∵ 221 1| | (2 ) 4MF c??，∴ 2211(2 ) 424ac? ? ?， （ 4 分） 又 32e? 得 2234ca? ∴ 224 2 3 ,a a a?? 0a? 2a?? ∴ 2 2 2 21 14b a c a? ? ? ?， （ 6 分） ∴所求橢圓 C 的方程為 2 2 14x y??． （ 7 分） (Ⅱ )由（Ⅰ）知點(diǎn) A(－ 2,0)，點(diǎn) B 為（ 0，－ 1），設(shè)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 (, )xy 則 ( 2 , )PA x y? ? ? ?， (2, 1)AB??, 由 PA AB m??－ 4 得－ 4 2 4x y m? ? ? ?， ∴點(diǎn) P 的軌跡方程為 2y x m??. （ 9 分） 設(shè)點(diǎn) B 關(guān)于 P 的軌跡的對(duì)稱點(diǎn)為 0039。( , )B x y ，則由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得： 0 0 00111 ,22 2 2y y x mx??? ? ? ? ?，解得： 004 4 2 3,55mmxy? ? ???， （ 12 分） ∵點(diǎn) 0039。( , )B x y 在橢圓上，∴ 224 4 2 3( ) 4 ( ) 455mm? ? ???， 整理得 22 3 0mm? ? ? 解得 1m?? 或 32m? ∴點(diǎn) P 的軌跡方程為 21yx??或 32 2yx??， （ 14分） 經(jīng)檢驗(yàn) 21yx??和 32 2yx??都符合題設(shè) ， ∴滿足條件的點(diǎn) P 的軌跡方程為 21yx??或32 2yx??． （ 15 分） (上海市張堰中學(xué)高 2020屆第一學(xué)期期中考試 )橢圓 C ： 12222 ?? byax ? ?0??ba 的兩個(gè)焦點(diǎn)為 1F 、 2F ，點(diǎn) P 在橢圓 C 上，且 211 FFPF ? ，且 341 ?PF， 3142 ?PF. （ 1）求橢圓 C 的方程 . （ 2）若直線 l 過(guò)圓 02422 ???? yxyx 的圓心 M ，交橢圓 C 于 A 、 B 兩點(diǎn) ，且 A 、 B關(guān)于點(diǎn) M 對(duì)稱，求直線 l 的方程 . 解： (1) 20221 ?FF 525221 ????? ccFF 又 362 21 ????? aPFPFa 149: 22 ??? yxC橢圓 （ 2） ? ? ? ? ? ? 02736361836941491222222 ??????????????????kkkkxkyxxky 對(duì)稱關(guān)于、 MBA? 98294 9182 2221 ????? ????? kk kkxx ? ? 1298: ???? xyl 即 02598 ??? yx (天津市漢沽一中 2020~2020 學(xué)年度高三第四次月考試題 )在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，已知點(diǎn)(2, 0), ( 2, 0)AB? ， P 是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，直線 PA 、 PB 斜率之積為 34? . (Ⅰ )求動(dòng)點(diǎn) P 的軌跡 C 的方程； (Ⅱ )過(guò)點(diǎn) 1( ,0)2 作直線 l 與軌跡 C 交于 EF、 兩點(diǎn)，線段 EF 的中點(diǎn)為 M ,求直線 MA的斜率 k 的取值范圍 . 解 : (Ⅰ )設(shè) P 點(diǎn)的坐標(biāo)為 (, )xy ，依題意，有 3 ( 2 )2 2 4yy xxx? ? ? ? ??? . ………………… 3 分 化簡(jiǎn)并整理，得 22 1( 2 )43xy x? ? ? ?. ∴動(dòng)點(diǎn) P 的軌跡 C 的方程是 22 1( 2 )43xy x? ? ? ?. ………………… 5 分 ( Ⅱ )解法一：依題意，直線 l 過(guò)點(diǎn) 1(,0)2 且斜率不為零，故可設(shè)其方程為12x my??, ……… 6 分 由方程組 2212143x myxy? ?????? ???? 消去 x ，并整理得 224 ( 3 4 ) 1 2 4 5 0m y m y? ? ? ? 設(shè) ),(),( 2211 yxFyxE , ),( 00 yxM ,則 12 2334myy m? ? ? ? ? ，……………………………………………………… 8 分 ∴ 120 232 2 ( 3 4 )yy my m?? ? ? ? ∴00 2122 34x m y m? ? ? ?, 0 20 2 44y mk x m? ? ?? ?, …………………………………………… 10 分 (1)當(dāng) 0?m 時(shí)， 0k? ； …………………………………………… 11 分 (2)當(dāng) 0?m 時(shí) , 1 44k m m? ? 44| 4 | 4 | | 8||mmmm? ? ? ? 1104 84 mm? ? ??. 10 | | 8k? ? ? . 1188k?? ? ? 且 0k? . ………………………………………… 13 分 綜合 (1)、 (2)可知直線 MA 的斜率 k 的取值范圍是： 1188k? ? ? .……………… 14 分 解法二：依題意，直線 l 過(guò)點(diǎn) 1( ,0)2 且斜率不為零 . (1) 當(dāng)直線 l 與 x 軸垂直時(shí)， M 點(diǎn)的坐標(biāo)為 1( ,0)2 ，此時(shí)， 0k? ； ………… 6 分 (2) 當(dāng)直線 l 的斜率存在且不為零時(shí)，設(shè)直線 l 方程為 1()2y m x??, ………… 7 分 由方程組 221()2143y m xxy? ?????? ???? 消去 y ，并整理得 2 2 2 2( 3 4 ) 4 12 0m x m x m? ? ? ? ? 設(shè) ),(),( 2211 yxFyxE , ),( 00 yxM ,則 212 2434mxx m? ? ? ? ，……………………………………………………… 8 分 ∴ 2120 222 34xx mx m??? ? 00 213() 2 2 ( 3 4 )my m x m? ? ? ? ? ? ? ?, 0 201 ( 0)12 44 4( )y mkmx m m m? ? ? ? ?? ? ?, ………………… 10 分 11| | | | 2||mmmm? ? ? ? 10 | | 8k? ? ? . 10 | | 8k? ? ? . 1188k?? ? ? 且 0k? . ………………………………………… 13 分 綜合 (1)、 (2)可知直線 MA 的斜率 k 的取值范圍是： 1188k? ? ? .……………… 14 分 (廈門市第二外國(guó)語(yǔ)學(xué)校 2020— 2020 學(xué)年高三數(shù)學(xué)第四次月考 )在直角坐標(biāo)系 xOy 中，橢圓 C1：2222 byax ? =1（ a＞ b＞ 0）的左、右焦點(diǎn)分別為 F1， F2． F2也是拋物線 C2： 2 4yx?的焦點(diǎn)，點(diǎn) M 為 C1 與 C2在第一象限的交點(diǎn)，且｜ MF2｜ =35 ． （Ⅰ）求 C1的方程； （Ⅱ）平面上的點(diǎn) N 滿足 21 MFMFMN ?? ，直線 l∥ MN，且與 C1交于 A， B 兩點(diǎn)，若0OAOB? ，求直線 l 的方程． 解：（Ⅰ）由 2C ： 2 4yx? 知 2(10)F ， ． 設(shè) 11()M x y， ， M 在 2C 上，因?yàn)? 53MF?，所以1 51 3x??，得1 23x?，1 263y ?． M 在 1C 上，且橢圓 1C 的半焦距 1c? ，于是 2222481931.abba? ????????， 消去 2b 并整理得 429 37 4 0aa? ? ?， 解得 2a? （ 13a? 不合題意，舍去）． 故橢圓 1C 的方程為 22143xy??． （Ⅱ）由 12M F M F M N??知四邊形 12MFNF 是平行四邊形，其中心為坐標(biāo)原點(diǎn) O ， 因?yàn)?l MN∥ ，所以 l 與 OM 的斜率相同， 故 l 的斜率263 623k ??．設(shè) l 的方程為 6( )y x m??． 由 223 4 126( )xyy x m? ????????， 消去 y 并化簡(jiǎn)得 229 16 8 4 0x m x m? ? ? ?． 設(shè) 11()Ax y， ， 22()B x y， ，12169mxx??， 212 849mxx ??． 因?yàn)?OA OB? ，所以 1 2 1 2 0x x y y??． 1 2 1 2 1 2 1 26( ) ( )x x y y x x x m x m? ? ? ? ? 21 2 1 27 6 ( ) 6x x m x x