55將軍飲馬原理(已修改)
2025-11-13 15:43 本頁面
【正文】 高考數(shù)學(xué)母題規(guī)劃 ,助你考入清華北大！ 楊培明 (電話 :13965261699)數(shù)學(xué)叢書 ,給您一個(gè)智慧的人生！ 高考數(shù)學(xué)母題 [母題 ]Ⅰ (1755):將軍飲馬 原理 (473) 1211 將軍飲馬 原理 [母題 ]Ⅰ (1755):古 希臘亞里山大里亞城有一位久負(fù)盛名的學(xué)者 ,名叫海倫 .有一天 ,有位將軍不遠(yuǎn)千里專程前來向海倫求教一個(gè)百思不得其解的問題 :如圖 ,將軍從 A地出發(fā)到河邊飲馬 , 然后再到 B地軍營視察 ,顯然有許多走法 .問走什么樣的路線最短呢？精通 數(shù)理的 海倫稍加思索 ,便作了完善的回答 ,這個(gè)問題后來被人們稱作“將軍飲 馬”問題 , [解析 ]:如圖 ,先作 A 關(guān)于 l的對(duì)稱點(diǎn) A′ ,連接 A′ B與 l相交于 P點(diǎn) ,則 AP +PB就最小 。那么這樣作出的 AP+PB是否真的最小呢？要證明它只需要在 l 上 任取一點(diǎn) P′ ,證明 AP′ +P′ AAP+PB就行了 ,這點(diǎn)好證 明 :事實(shí)上因?yàn)?A′、 A關(guān)于 l對(duì)稱 .有 AP=A′ P、 AP′ =A′ P′ ,又由公理 :三角形的兩邊之和大于第三邊 ? AP′ +P′ B=A′ P′ +P′ BA′ B=A′ P+PB=AP+PB. [點(diǎn)評(píng) ]:將軍飲馬問題雖然簡單 ,但確體現(xiàn)了對(duì)稱思想和 “ 利用對(duì)稱 ,化折為直 ” 的轉(zhuǎn)化方法 .將軍飲馬問題 是構(gòu)造高考命題的出發(fā)點(diǎn) .將軍飲馬問題 可拓展到求 PAPB的最大值 ,解決此問題與 將軍飲馬問題 的區(qū)別 ,也是一種 “ 對(duì)稱 ” ,即分別利用 “ 三角形兩邊之差小于第三邊 ”、“ 三角形兩邊之和大于第三邊 ” .對(duì)
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