輪專題輔導(dǎo)與練習(xí)專題四第一講(已修改)
2025-05-14 04:56 本頁面
【正文】 專題四 數(shù)列 第一講 等差、等比數(shù)列的概念與性質(zhì) 一、主干知識 ： {an}為等差數(shù)列 ?________(n∈N *， d為常數(shù) ). ： {an}為等比數(shù)列 ?_________(其中 n∈N *,an≠0,q 為不為零 的常數(shù) ). an+1an=d n1na qa? ?、等比中項(xiàng)： (1)若 x,A,y成等差數(shù)列 ?A為 x， y的等差中項(xiàng) ?2A=____. (2)若 x,G,y成等比數(shù)列 ?G為 x,y的等比中項(xiàng) ?G2=___. {an}的前 n項(xiàng)和 Sn與通項(xiàng) an的關(guān)系式： an= x+y xy 1S , n 1 ,__________, n 2.?????SnSn1 二、必記公式 等 差 數(shù) 列 等 比 數(shù) 列 通項(xiàng) 公式 an=_________ =am+_______(n,m∈N *) an=_____=am____(n,m∈N *) 前 n 項(xiàng)和 公式 Sn=__________ =_____________ Sn= ? ?1nn a a2?? ?1n n 1n a d2??a1+(n1)d (nm)d a1qn1 qnm 11nn a , q 1 ,a a q___________ , q 11q???? ??????? ?n1a 1 q1q??1.(2022 新課標(biāo)全國卷 Ⅱ 改編 )等比數(shù)列｛ an｝的前 n項(xiàng)和 為 Sn，已知 S3=a2+10a1， a5=9，則 a1=________. 【 解析 】 由 S3=a2 +10a1,得 a1+a2+a3=a2+10a1,即 a3=9a1,即 a1q2=9a1,解得 q2=9,又因?yàn)?a5=9,所以 a1q4=9,解得 a1= 答案： 1.9192.(2022 安徽高考改編 )設(shè) Sn為等差數(shù)列 {an}的前 n項(xiàng)和， S8=4a3,a7=－ 2，則 a9=________. 【 解析 】 由 S8=4a3?8a1+ d=4 (a1+2d)。由 a7=2? a1+6d=2,聯(lián)立解得 a1=10,d=2,所以 a9=a1+8d=1016=6. 答案： 6 872?3.(2022 江西高考改編 )等比數(shù)列 x， 3x+3， 6x+6， … 的第四項(xiàng)等于 _________. 【 解析 】 因?yàn)榈缺葦?shù)列的前三項(xiàng)為 x， 3x+3， 6x+6，所以(3x+3)2=x(6x+6)， 即 x2+4x+3=0，解得 x=1或 x=3. 當(dāng) x=1時， 3x+3=0不合題意，舍去 .故 x=3. 此時等比數(shù)列的前三項(xiàng)為 3， 6， 3，公比為 2，所以等比數(shù)列的第四項(xiàng)為 3 241=24. 答案： 24 4.(2022 南通模擬 )各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列 {an}中， a2a1=1,當(dāng) a3取最小值時，數(shù)列 {an}的通項(xiàng)公式 an=_______. 【 解析 】 設(shè)公比為 q,依題意 a1qa1=1,a1= (q≠1), a3=a1q2= (當(dāng)且僅當(dāng) q=2時取等號 )， a1=1,所以 an=2n1. 答案： 2n1 1q1?? ? ? ?22 q 1 2 q 1 1q1 q 1 2 4q 1 q 1 q 1? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?5.(2022 北京高考 )若等比數(shù)列 {an}滿足 a2＋ a4=20， a3＋ a5= 40，則公比 q=_______；前 n項(xiàng)和 Sn=_______. 【 解析 】 所以 a2+a4=2a1+8a1=20,所以 a1=2， 答案： 2 2n+1－ 2 3524aa 40q2a a 20?? ? ?? ，n n1n2 (1 2 )S 2 2 .12 ???－ －－ {an}的前 n項(xiàng)和為 Sn,若 S3+3S2=0,則公比 q= . 【 解析 】 由 S3=3S2可得 a1+a2+a3=3(a1+a2), 即 a1(1+q+q2)=3a1(1+q) 化簡整理得 q2+4q+4=0,解得 q=2. 答案： 2 熱點(diǎn)考向 1 等差 (比 )數(shù)列的基本運(yùn)算 【 典例 1】 (1)(2022 新課標(biāo)全國卷 Ⅰ 改編 )設(shè)等差數(shù)列 {an}的 前 n項(xiàng)和為 Sn,若 Sm1=2,Sm=0,Sm+1=3,則 m=_______. (2)(2022 湖北高考 )已知等比數(shù)列 {an}滿足： |a2a3|=10,a1a2a3=125． ①求數(shù)列 {an}的通項(xiàng)公式 。 ② 是否存在正整數(shù) m,使得 若存在 ,求 m的最 小值 。若不存在 ,說明理由． 1 2 m1 1 1 1a a a? ? ???? ? ？【 解題探究 】 (1)an與 Sn的關(guān)系是什么 ? 提示： an=SnSn1(n≥2) ． (2)① 怎樣求等比數(shù)列 {an}的首項(xiàng) a1和公比 q? 提示： 把已知條件用 a1,q表示出來 ,解方程 (組 )即可． ② 求 的關(guān)鍵點(diǎn)． (ⅰ) 如何判斷數(shù)列 { }的類型 ? 提示： 可根據(jù) an先求出 再判斷數(shù)列類型． (ⅱ) 怎樣確定 與 1的關(guān)系 ? 提示： 根據(jù) 的表達(dá)式判斷． mn1n1a??n1an1
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