【正文】 第四章線性粘性流動(dòng) 線性粘性流體常被稱為牛頓流體。牛頓在 1687年首先提出過(guò)一個(gè)假設(shè)，認(rèn)為流動(dòng)的阻力正比于兩部分流體相對(duì)流動(dòng)的速度，進(jìn)一步的理論和實(shí)驗(yàn)的發(fā)展是在 19世紀(jì)上半葉由法國(guó)科學(xué)家 Cauchy， Poisson及英國(guó)科學(xué)家 Stock等人完成的 穩(wěn)定的簡(jiǎn)單剪切流動(dòng) 在線性粘性流體受各向同性壓力時(shí)，它是處于平衡狀態(tài)。除此以外，當(dāng)它受到任問(wèn)其他的力，它就失去平衡，發(fā)生流動(dòng) 圖 穩(wěn)態(tài)的簡(jiǎn)單剪切流動(dòng) 采用直角坐標(biāo)系，在 y＝ 0處的流體是靜止的，在 y＝ h處的流體則與以上板相同的速度 vmax在 x方向上運(yùn)動(dòng) 所謂簡(jiǎn)單的剪切流動(dòng)即流體內(nèi)任一坐標(biāo)為 y的流體運(yùn)動(dòng)的速度正比于其坐標(biāo) y： vy＝ y ??與上板接觸的一層流體的速度正比于流體的高度 v＝ h ??速度梯度： vy/y=v/h 由于 v＝ u/t（ u為位移） ＝ (u/h)/t=?/t ??剪切速率，單位為 s1 ?=u/h為剪切應(yīng)變 dtddydv ?? ???（ 41） （ 42） 牛頓定律 要保持流體作上述的剪切流動(dòng)，必須施加應(yīng)力以克服各層流體流動(dòng)時(shí)的摩擦阻力。不同的流體流動(dòng)阻力不同。線性粘性的理論認(rèn)為，要保持穩(wěn)定的流動(dòng)，所需的應(yīng)力與剪切速率成正比，即 ?＝ ? ???為常數(shù)，即粘度，是流體的性質(zhì)，提示流體流動(dòng)阻力的大小，單位：泊 ， 1秒 牛頓 /米 2， Pas （ 43） 線性粘性變形的特點(diǎn) （ 1） 變形的時(shí)間依賴性 在線性粘性流動(dòng)中，達(dá)到穩(wěn)定態(tài)后。剪切速率不變，即 ＝ ?/?=d?/dt 如考慮變形 ， 則 ??t??? ?即流體的變形隨時(shí)間不斷發(fā)展，即時(shí)間依賴性 圖 線性粘性變形 （ 2） 流變變形的不可回復(fù)性 這是粘性變形的特點(diǎn)，其變形是永久性的，稱為永久變形。如圖 ，當(dāng)外力移除后，變形保持不變（完全不回復(fù)）。聚合物熔體發(fā)生流動(dòng)，涉及到分子鏈之間的相對(duì)滑移，當(dāng)然，這種變形是不能回復(fù)的。 （ 3） 能量散失 外力對(duì)流體所作的功在流動(dòng)中轉(zhuǎn)化為熱能而散失 ， 這一點(diǎn)與彈性變形過(guò)程中儲(chǔ)能完全相反 。 （ 4） 正比性 線性粘性流動(dòng)中應(yīng)力與應(yīng)變速率（剪切速率）成正比，粘度與應(yīng)變速率無(wú)關(guān)。 流動(dòng)方式（測(cè)粘流動(dòng) Visetric flow ） （ Laminar flow） 假定流動(dòng)是穩(wěn)定的 ． 即流體內(nèi)每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的流動(dòng)速度不隨時(shí)間變化 采用柱坐標(biāo)（ r， ?， z）而不用直角坐標(biāo)，我們這樣定義 r， ?， z。即 z軸與圓管的軸一致， r與 z軸垂直 圖 圓管中的層流 層流流動(dòng)或稱 Poiseuille（ 泊肅葉 ） 流動(dòng) ， 是指流體僅沿 z軸方向 流動(dòng) ， 沒(méi)有沿 r或沿 ?方向的流動(dòng) 。 即 vr＝ v?＝ 0 vz= vz(r) 邊界 vz(R)＝ 0 上兩式說(shuō)明層流流動(dòng)可看作圓管中許多無(wú)限薄的同心圓柱狀流體薄層的流動(dòng) （ 44） （ 45） 設(shè)圓管長(zhǎng)為 l，我們來(lái)討論離軸 r的一層圓柱狀流體，在其外表面的流體對(duì)其施加的剪應(yīng)力為 trz，總力為： f(r)= trzA=2?rltrz （ 46） A為圓柱體表面的面積 ， f(r)為流動(dòng)的阻力 。 為了保持穩(wěn)定的層流流動(dòng) ， 必須對(duì)圓管兩端面的流體施加壓力差 △ P，總力為 (△ P) ?r2使得： 2?rltrz+(△ P) ?r2=0 （ 47） trz＝ r(△ P)/2l 可見(jiàn)，如果層流流動(dòng)是穩(wěn)定的，剪切應(yīng)力是 r的線性函數(shù)，如果流體是牛頓流體，則剪切應(yīng)力正比于剪切速度，即 （ 48） ??? ??? drdvt zrz?? lPrdrdv z2)( ?????（ 49） （ 410） 用邊界條件 vz(R)＝ 0解上列方程 ， 有 ))(4/()( 22 rRlPrv z ??? ?將（ 48）代入（ 49） （ 411） 圖 速度分布 圖 剪切速率 圓管中的層流流動(dòng)的流速分布為一橢圓函數(shù) (見(jiàn)圖 )，而速度梯度即剪切速度則是 r的線性函數(shù)（式 (410)，圖）。在圓管的軸心處 vz具有最大值，而 dvz/dr為零，在管壁處則相反， vz＝ 0，而 dvz/dr具有最大值 通過(guò)整個(gè)截面的流量為 通過(guò)從 r到 r+dr的環(huán)狀圓柱體的流體流量 （ 單位時(shí)間流過(guò)的流體體積 ） 為 dQ＝ vz2?rdr ? ?? ?? ? r d rrRlPd RQ ?? 2200 2/ ???? ??積分得 Q＝ ?R4(△ P)/8l? HagenPoiseuille（哈根－泊肅葉）方程 （ 412） Couette（庫(kù)愛(ài)特）流動(dòng)－同軸環(huán)隙中的旋轉(zhuǎn)流動(dòng) Couette流動(dòng)，是指在外圓筒和內(nèi)圓筒之間環(huán)形部分內(nèi)的流體中的任一質(zhì)點(diǎn)僅圍繞著內(nèi)外管的鈾以角速度 ?（ rad/s）作圓周運(yùn)動(dòng)，沒(méi)有沿 z或 r方向的流動(dòng)。 ?僅與 r有關(guān)而與 ?和 z無(wú)關(guān)，即 ?＝ ?(r) （ 413） 圖 Couette 流動(dòng) 仍采用圓柱坐標(biāo) r， ?， z， z軸為內(nèi)外管的軸向。由于只存在繞軸的圓周運(yùn)動(dòng)，所以 trz=t?z=0，只存在一個(gè)剪切應(yīng)力 tr?=t?r 剪切速度為 drrddrdv ?? ??? （ 414） 要保持這一流動(dòng)，對(duì)離軸 r的流體層必須施加 扭矩 M(r)： M(r)＝ t?r2?r2h （ 415） 式中， h為內(nèi)外圓筒的高度，設(shè)流體為牛頓型的，內(nèi)圓筒固定，外圓筒以角速度 ? 旋轉(zhuǎn)，用柱坐標(biāo)的動(dòng)量方程，可推導(dǎo)出環(huán)隙內(nèi)流體沿徑向的周向速度，它為： rRRRRrv 222122212??????（ 416） 2222122212)( rRRR Rrr ??????（ 417） )(2)()(212222221RRrRRdrrrdr???????t?r＝ ? =M(r)/ 2?r2h )(r??角速度 : 剪切速率 : （ 418） 剪切應(yīng)力 : ? ????222121224 RhRRRM??（ 419） （ 418） 粘度 : 圖 Couette 流動(dòng)中的速度分布 圖 Couette 流動(dòng)中的剪切速率 r＝ R1， ?(r)＝ 0， v?＝ 0 r=R2， ?(r)＝ ?， v?＝ ? R2 速度： 剪切速率： r＝ R1， 2122222RRR?????r=R2， 2122212RRR?????（ 419） （ 420） （ 421） （ 422） 扭轉(zhuǎn)流動(dòng)（ Torsional flow） 扭轉(zhuǎn)流動(dòng)發(fā)生在兩個(gè)平行的圓盤之間（見(jiàn)圖 ）。圓盤的半徑為 R。兩圓盆之間的距離為 h。上圓盤以角速度 ?旋轉(zhuǎn)，施加的扭矩為 M。 圖 扭轉(zhuǎn)流動(dòng) 對(duì)扭轉(zhuǎn)流動(dòng)采用柱面坐標(biāo)進(jìn)行分析。非零剪切應(yīng)力分量為 tz?，作用在 z面上，方向?yàn)??方向，即切線方向。在扭轉(zhuǎn)流動(dòng)中，只有 ?方向的流動(dòng)，即 v?≠0， vz＝ vr＝ 0 v?隨 z坐標(biāo)變化 ， 因此 ， 剪切速率為 dzrddzdv ?? ? ???（ 423） 式中， ?為角速度。扭轉(zhuǎn)流動(dòng)中的剪切速率為 hr????求角速度 ?可用下式： ??dzhrdzrd ??? ?? ?zh??? 即 ?為 z坐標(biāo)的線性函數(shù)，但與 r坐標(biāo)無(wú)關(guān) 即為 r的線性函數(shù) （ 424） （ 425） 圖 扭轉(zhuǎn)流動(dòng)中的剪切速率 圖 扭轉(zhuǎn)流動(dòng)的角速度 分析扭轉(zhuǎn)流動(dòng)中 M與 ?的關(guān)系。由于剪切速率與 r坐標(biāo)有關(guān)，因此 剪切應(yīng)力也與 r有關(guān) tz?＝ ? ＝ ?r?/h ??在圓盤上取從 r到 r＋ dr的圓環(huán)，剪力為 df＝ tz?2?rdr drrhdrrtr d fdM z 32 22 ???? ???? hRM24 ?? ??扭轉(zhuǎn)流動(dòng)測(cè)定粘度的基本公式 （ Cone and plate flow） 錐板流動(dòng)發(fā)生在一個(gè)圓錐體與一個(gè)圓盤之間，圓錐與平板之間的夾角 ?很小，一般小于 40。通常圓錐體以角速度 ? 旋轉(zhuǎn)，它的軸與圓盤垂直，也是圓錐體的旋轉(zhuǎn)軸。圓錐體的頂點(diǎn)與圓盤平面接觸 圖 錐板流動(dòng) 對(duì)錐板流動(dòng)，采用球面坐標(biāo)（ r， ?， ?）進(jìn)行分析。在錐板流動(dòng)中，剪切面為具有相同 ?坐標(biāo)（圓錐角）的圓錐面（ ?面）。速度梯度方向?yàn)??方向。流體流動(dòng)的力向?yàn)??方向，即切線方向，用 ?表示，它是 ?坐標(biāo)的函數(shù)： 在圓錐體表面： ?＝ ?/2?， ?＝ ? 在平板表面： ?＝ ?/2， ?＝ 0。 剪切速率定義為 ???dd???40時(shí)，可近似地把錐板之間的流動(dòng)認(rèn)為是簡(jiǎn)單剪切流動(dòng)，即角速度 ?是 ?坐標(biāo)的線性函數(shù)： ??