【正文】 1 影子價(jià)格 2 對(duì)偶最優(yōu)解的經(jīng)濟(jì)含義 ―― 影子價(jià)格 **22*11* mm ybybybZ ???? ? 代表著當(dāng)?shù)?i個(gè)右端常數(shù)增加一個(gè)單位時(shí)，最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值的相應(yīng)增量。 其含義是在目前已給定的情況下，最優(yōu)目標(biāo)值隨資源數(shù)量變化的變化率； 其 經(jīng)濟(jì)含義 是為約束條件所付出的代價(jià)。 當(dāng) B是原問(wèn)題的最優(yōu)基時(shí)， Y=CBB1就是影子價(jià)格向量 。 iiZ yb??? ??3 A B C 擁有量 工 時(shí) 1 1 1 3 材 料 1 4 7 9 單件利潤(rùn) 2 3 3 12m in 3 9W y y?? 12121212243..730 , 0yyyystyyyy???????????? ???影子價(jià)格舉例 4 y*1=5/3, y*2=1/3 即工時(shí)的影子價(jià)格為 5/3，材料的影子價(jià)格為1/3。 分析 ： 1. y1=5/3說(shuō)明在現(xiàn)有的資源限量的條件下， 增加一個(gè)單位第一種資源可以給企業(yè)帶來(lái) 5/3元 的利潤(rùn)；如果要出售該資源，其價(jià)格至少在成本 價(jià)上加 5/3元。 如果 y1為 0，則表示增加第一種資源不會(huì)增加利潤(rùn)，因?yàn)榈谝环N資源還 沒(méi)有用完。 5 ? 影子價(jià)格是根據(jù)資源在生產(chǎn)中作出的貢獻(xiàn)而作出的估價(jià)，這種估價(jià)不是資源的市場(chǎng)價(jià)格。 它反映了在最優(yōu)經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)中，在資源得到最優(yōu)配置前提下，資源的邊際使用價(jià)值。 單純形表中松弛變量所對(duì)應(yīng)的檢驗(yàn)數(shù)的相反數(shù)是在該經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)中的影子價(jià)格， 也可以說(shuō)對(duì)偶問(wèn)題的最優(yōu)解向量是結(jié)構(gòu)中的影子價(jià)格。 6 ? 定理 1：在某項(xiàng)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中，在資源得到最優(yōu)配置條件下， 此定理的經(jīng)濟(jì)意義： （ 1）若生產(chǎn)一個(gè)單位第 j種產(chǎn)品按消耗資源的影子價(jià)格計(jì)算的支出等于銷(xiāo)售一個(gè)單位該產(chǎn)品所得收入，則可生產(chǎn)此產(chǎn)品。 （ 2）如果生產(chǎn)一個(gè)單位的第 j種產(chǎn)品按所消耗資源的影子價(jià)格計(jì)算的支出大于銷(xiāo)售一個(gè)單位該產(chǎn)品得到的收入，則不宜生產(chǎn)此產(chǎn)品。 i=i=0。, = 0jjjja y ca y c????????mj i j1mi j j1若 x 〉 ， 則 有若 則 有 x7 ? 定理 2： 在某項(xiàng)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中，在資源得到最優(yōu)配置條件下， （ 1）若第種資源供大于求，即 則該項(xiàng)資源的影子價(jià)格為 0 （ 2）若第種資源供求平衡，即 則該項(xiàng)資源的影子價(jià)格大于等于 0。 ■ 影子價(jià)格越大，說(shuō)明這種資源越是相對(duì)緊缺（ 根據(jù)影子價(jià)格確定資源采購(gòu) ,當(dāng)市場(chǎng)價(jià)格低于影子價(jià)格，就買(mǎi)進(jìn)資源，當(dāng)市場(chǎng)價(jià)格高于影子價(jià)格，就賣(mài)出資源 ） ■ 影子價(jià)格越小，說(shuō)明這種資源相對(duì)不緊缺 ■ 如果最優(yōu)生產(chǎn)計(jì)劃下某種資源有剩余，這種資源的影子價(jià)格一定等于 0 j=jia x b? ??nij1j=jia x b? ??nij18 例 A B C 擁有量 工 時(shí) 1 1 1 3 材 料 1 4 7 9 單件利潤(rùn) 2 3 3 y*1=5/3, y*2=1/3 即工時(shí)的影子價(jià)格為 5/3，材料的影子價(jià)格為 1/3。 如果目前市場(chǎng)上材料的價(jià)格低于1/3， 則企業(yè)可以購(gòu)進(jìn)材料來(lái)擴(kuò)大生產(chǎn) ， 反之可以賣(mài)掉部分材料 。 如果有客戶(hù)以高于 5/3的價(jià)格購(gòu)買(mǎi)工時(shí)，則可以出售一些工時(shí)，反之則反 12m in 3 9W y y??12121212243..730 , 0yyyystyyyy???????????? ???9 和市場(chǎng)價(jià)格的比較 市場(chǎng)價(jià)格 影子價(jià)格 商品的價(jià)值的貨幣表現(xiàn) 資源最優(yōu)利用時(shí)的邊際價(jià)值 隨著市場(chǎng)的供求情況和有關(guān)方針，政策的變化而變化。 隨著經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)的變化而變化，同一資源在不同的經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)中影子價(jià)格不同。 它的制定含定價(jià)者的主觀因素 它的形成完全由經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)的客觀條件確定。 它的制定是個(gè)比較復(fù)雜的過(guò)程，不存在統(tǒng)一的計(jì)算公式。 它的計(jì)算是比較容易的。用單純形法求得 10 ? 繼續(xù)比較 任何一種商品的市場(chǎng)價(jià)格都不可能為 0 影子價(jià)格可以為 0，當(dāng)資源過(guò)剩是，其影子價(jià)格為 0 市場(chǎng)價(jià)格為已知數(shù)，相對(duì)比較穩(wěn)定。 影子價(jià)格則有賴(lài)于資源利用情況，是未知數(shù)。因企業(yè)生產(chǎn)任務(wù)，產(chǎn)品的結(jié)構(gòu)等情況發(fā)生變化，資源的影子價(jià)格也隨之改變。 11 例 (生產(chǎn)決策問(wèn)題 )某工廠可以用 A， B兩種原料生產(chǎn) I,II,III三種產(chǎn)品 ， 每種產(chǎn)品需要同時(shí)用兩種原料 ， 有關(guān)數(shù)據(jù)如下表 (單位消耗與資源限制 )： 產(chǎn)品 I 產(chǎn)品 II 產(chǎn)品 III 現(xiàn)有原料 /t 原料 A 2 1 2 7 原料 B 1 3 2 11 單位產(chǎn)品利潤(rùn) /萬(wàn)元 2 3 1 求： (1)若目前市場(chǎng)上原料 A的實(shí)際價(jià)格為 /t， 工廠應(yīng)如何決策 ？ (2)若目前市場(chǎng)上原料 B的實(shí)際價(jià)格為 /t， 工廠應(yīng)如何決策 ？ 解：建立模型 ， 設(shè) x1,x2,x3分別表示 I， II， III的生產(chǎn)量 ， 則模型如下： 1 2 31 2 31 2 31 2 3m a x 2 32 2 7. . 3 2 1 1, , 0f x x xx x xs t x x xx x x? ? ?? ? ???? ? ??? ??對(duì)偶問(wèn)題 1212121212m in 7 112233..2 2 1,0g y yyyyystyyyy?????????????? ??12 模型討論：若把 y1,y2當(dāng)作原料 A， B的定價(jià) ， 用兩個(gè)單位的 A， 1個(gè)單位的 B，若生產(chǎn)產(chǎn)品 I只能賺 2萬(wàn)元 ， 現(xiàn)在考慮把資源拿到市場(chǎng)上賣(mài) ， 定價(jià) y1,y2,使得2y1+y2≥ 2,也就是一定比生產(chǎn)產(chǎn)品 I賺得多 。 產(chǎn)品 II， III同理 。 亦即對(duì)偶問(wèn)題的約束條件保證了資源直接在市場(chǎng)上出售一定不會(huì)比生產(chǎn)產(chǎn)品獲得的利潤(rùn)低 ， 另一方面 ， 為了增強(qiáng)出售資源的市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)力 ， 定價(jià)希望低一些 ， 定價(jià)的目標(biāo)是在比生產(chǎn)產(chǎn)品獲得更多利潤(rùn)的前提下的最小利潤(rùn) ， 這個(gè)定價(jià)模型就是對(duì)偶問(wèn)題 。 如果把資源 A的量由 7增加到 8， 會(huì)導(dǎo)致什么結(jié)果呢 ？ 影子價(jià)格：在最有情況下 ， y1的值就是資源 A的影子價(jià)格 ， 所以要把影子價(jià)格與資源 A的市場(chǎng)價(jià)格做比較 ， 如果影子價(jià)格大于市場(chǎng)價(jià)格 ， 考慮出售部分資源以獲得更大利潤(rùn) ， 否則 ， 則從市場(chǎng)買(mǎi)進(jìn)該資源 。 13 影子價(jià)格的經(jīng)濟(jì)意義 ：在資源得到最優(yōu)配置 ， 使總效益最大時(shí) ， 該資源投入量每增加一個(gè)單位所帶來(lái)總收益的增加量 。 影子價(jià)格是一種靜態(tài)的資源最優(yōu)配置價(jià)格 ， 不能表現(xiàn)資源在不同時(shí)期動(dòng)態(tài)配置時(shí)的最優(yōu)價(jià)格 ， 只反映某種資源的稀缺程度和資源與總體積極效益之間的關(guān)系 ， 不能代替資源本身的價(jià)值 。 程序編寫(xiě)： 執(zhí)行結(jié)果如下： 14 說(shuō)明：從紅框部分知道 ， A的影子的價(jià)格為 ， B的影子價(jià)格為 ， 松弛變量的值都是 0， 說(shuō)明約束是緊約束 (約束取等號(hào) )， 即資源沒(méi)有剩余 ， 影子價(jià)格有意義必須是緊約束 。 影子價(jià)格是對(duì)應(yīng)最優(yōu)基來(lái)說(shuō)的 ， 如果約束的改變使得最優(yōu)基發(fā)生改變 ， 當(dāng)前的影子價(jià)格也就沒(méi)有任何意義了 。 通過(guò)對(duì)右端項(xiàng)的靈敏性分析： 15 在最優(yōu)基不變時(shí) ， A,B的右端項(xiàng)變化范圍分別為 (,22)和 (,21) 對(duì)問(wèn)題 (1),應(yīng)該購(gòu)進(jìn)原料 A， 擴(kuò)大生產(chǎn)能力 ， 最大購(gòu)進(jìn) 15t， 利潤(rùn)增加(*15= 對(duì)于問(wèn)題 (2),， 應(yīng)該售出部分原料將使利潤(rùn)更大 ， 最大售出量為,利潤(rùn)將會(huì)增加 ()*= 16 例 (奶制品的加工問(wèn)題 ) 1桶牛奶 3公斤 A1 12小時(shí) 8小時(shí) 4公斤 A2 或 獲利 24元 /公斤 獲利 16元 /公斤 50桶牛奶 時(shí)間 480小時(shí) 至多加工 100公斤A1 制訂生產(chǎn)計(jì)劃，使每天獲利最大 (1)35元可買(mǎi)到 1桶牛奶，買(mǎi)嗎？若買(mǎi)，每天最多買(mǎi)多少 ? (2)可聘用臨時(shí)工人，付出的工資最多是每小時(shí)幾元 ? (3)A1的獲利增加到 30元 /公斤，應(yīng)否改變生產(chǎn)計(jì)劃？ 每天： 17 1桶牛奶 3公斤 A1 12小時(shí) 8小時(shí) 4公斤 A2 或 獲利 24元 /公斤 獲利 16元 /公斤 x1桶牛奶生產(chǎn) A1 x2桶牛奶生產(chǎn) A2 獲利 24 3x1 獲利 16 4 x2 原料供應(yīng) 5021 ?? xx勞動(dòng)時(shí)間 480812 21 ?? xx加工能力 1003 1 ?x決策變量 目標(biāo)函數(shù) 21 6472 xxzM a x ??每天獲利 約束條件 非負(fù)約束 0, 21 ?xx線性規(guī)劃模型(LP) 時(shí)間 480小時(shí) 至多加工 100公斤 A1 50桶牛奶 每天 18 max 72x1+64x2 st 2） x1+x250 3） 12x1+8x2480 4） 3x1100 end OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 X2 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 3) 4) NO. ITERATIONS= 2 20桶牛奶生產(chǎn) A1, 30桶生產(chǎn) A2，利潤(rùn) 3360元。 模型求解 19 模型求解 reduced cost值表示當(dāng)該非基變量增加一個(gè)單位時(shí)（ 其他非基變量保持不變 ） 目標(biāo)函數(shù)減少的量 (對(duì)max型問(wèn)題 ) OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 X2 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 3) 4) NO. ITERATIONS= 2 也可理解為： 為了使該非基變量變成基變量 ，目標(biāo)函數(shù)中對(duì)應(yīng)系數(shù)應(yīng)增加的量 20 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 X2 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 3) 4) 原料無(wú)剩余 時(shí)間無(wú)剩余 加工能力剩余 40 max 72x1+64x2 st 2） x1+x250 3） 12x1+8x2480 4） 3x1100 end 三種資源 ―資源” 剩余為零的約束為緊約束（有效約束） 結(jié)果解釋 21 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 X2