【正文】 第七章 一階電路 本章主要內容： RC、 RL電路的 零輸入響應 ； RC、 RL電路的 零狀態(tài)響應 ； 一階電路的 全響應 ；暫態(tài)與穩(wěn)態(tài) ； 一階電路的 三要素法 ； 階躍函數(shù)和階躍響應；子區(qū)間 分析法。 引言 一、什么叫一階電路？ 1）用一階微分方程描述其變量的電路。 2）只含一個動態(tài)元件 (C、 L)的電路。 二、如何分析一階電路？ 電路變量依舊受到兩類約束： ? 元件約束 ? 拓撲約束 但有變化：動態(tài)元件的 VAR為微積分方程。 71 分解的方法在動態(tài)電路分析中的應用 一、把一階電路的動態(tài)元件分離出來，可以得到典型的一階電路： 其中 N為一般的線性含源單口網(wǎng)絡。而 N可以化簡為戴維南等效電路或諾頓等效電路，如圖 b）。 這樣一階電路的分析問題，轉化為圖 b） RC或 RL電路的分析問題。 二、 RC電路的分析 )t(u)t(ut )t(uRC SCCdd ＝?這是常系數(shù)非齊次一階微分方程。 RC電路的分析歸結為該方程的求解。 代入 : ttuCtid)(d)( C?)t(u)t(Ri)t(u)t(u)t(uCCRS????布列微分方程 一階微分方程的求解： )()()( tBWtAXdt tdX ??1） 齊次方程 通解： )t(X)t(X)t(X ph ??0AXdtdX ??2） 非 齊次方程 特解： W = Q 常數(shù) * 3） K確定： 常系數(shù)非齊次一階微分方程 stK)t(X eh ? AtK)t(X eh ?0?? ASQK)t(X At ?? e 由初始條件解出 K 完全解為： btQbtQbtQbt t eQetQtttQtxttpc oss inc oss in)(212122101010????????的形式特解btPbtPAPeAPetPtPPtPPPtPtWttc oss in)()()(221010?????????的形式輸入特解的形式： RC電路微分方程的求解 ???????0CC)0()(d)(dUuUtuttuRCc＝??????RCsR C s101＝?tKetu ??)(ChUtu?? :1 ,)(Cp ）代入（)2( )(C UKetut?? ? ?初始條件代入（ 2）： UUKUUKu?????00C )0(UeUUtut??? ? ?)()( 0C關于初始條件的說明。 三、利用置換定理，求解一階電路其余變量。 線性含源純電阻網(wǎng)絡N +u c ( t )這樣一階動態(tài)電路就轉換為純電阻電路，可以用純電阻電路的所有分析方法，求電路余下的變量。這就是分解的方法在動態(tài)電路分析中的應用。 四、小結 利用分解方法分析一階電路的方法： ? 把電路分解為一個動態(tài)元件和一個單口網(wǎng)； ? 把單口網(wǎng)絡化為最簡單的形式，得到 RC或 RL 電路； ? 布列 RC或 RL電路的微分方程，解出狀態(tài)變 量； ? 用電壓源或電流源置換動態(tài)元件，得到純電 阻電路； ? 分析純電阻電路，求解余下變量。 以上方法可以處理所有一階電路。 7?3 一階電路的零輸入響應 一、 RC 電路的零輸入響應 電路在沒有外界輸入的情況下，只由電路中動態(tài)元件初始儲能作用而產生的響應為零輸入響應。 （輸入為零） 圖 (a)所示電路 ， 開關原來在 1端 ， 電容電壓已 經(jīng)達到 U0， 在 t=0時開關由 1端轉換到 2端 ， 如圖 (b) 求： uC(t)； iC(t), t ? 0 ① t＜ 0 — 充電 ② t = 0 — 換路 ③ t≥0 — 放電 1. 定性分析 建立圖 (b)電路的一階微分方程 0CR ??? uu 0dd CC ?? utuRCstKtu e)(C ? 其解為： RCs1－?KKu RCt?? ?? e)0(C根據(jù)初始條件 0UK ?)t(U)t(u RCt0 e 0C ?? ?齊次方程 通解： 2. 定量分析 )0(e)0(edd)()()0(e )0( e)( C 0CCR C 0C????????????????tiRUtuCtitituUtuRCtRCtRCtRCt 最后得到電路的零輸入響應為 : uC (0+) 0 ? 2? 3? 4? uC(t) t (s) t (s) O ? 2? 3? 4? iC(t) Ru C )0( ?電流可以躍變 RC??U0 0 ? 2? 3? 4? uC(t) t (s) t 0 ? 2? 3? 4? 5? ? uc(t) U0 0 以 為例 ， 說明電壓 的變化與時間常數(shù)的關系 。 τ 0C e)(tUtu ?? 當 t=0時， uC(0)=U0，當 t=?時， uC(?)=衰減很快，實際上只要經(jīng)過 4～ 5?的時間就可以認為放電過程基本結束。一般定義 4?為穩(wěn)定時間 。 換 路 ：電路由電源接入或斷開，元件參 數(shù)或電路結構突然改變。 過渡過程：電路由一種穩(wěn)定狀態(tài)向另一種穩(wěn) 定狀態(tài)過渡的過程。 時間常數(shù)： ? = RC它決定了 uC 衰減的快慢 , RC 大，表示衰減的慢 。RC 小，表示衰減的快。 )()( CC ?? ? 00 uu )()( LL ?? ? 00 ii換路定律： 二、 RL 電路的零輸入響應 如圖 a)， 求 iL(t) , uL(t) , t ≥ 0。 解： 1. 定性分析 ① t＜ 0 —— 儲磁場能 ② t = 0 —— 換路 ③ t≥0 —— 衰減到零 列出 KCL方程，得到微分方程 0LRLR ???? iRuii0dd LL ?? itiRL通解為 tLRKti ?? e)(L代入初始條件 iL(0+)=I0求得 0IK ?最后得到 )0(dd)( )0( ee)(τ 0 0LLτ 0 0L?????????????teRIeRItiLtutIItittLRttLR三、結論： 1 RC電路（或 RL電路）電壓與電流的零輸入響應都是從它的初始值按指數(shù)規(guī)律衰減到零。 2 表達式： 0,)0()( ?? ?? teXtXt?X(0+)—— 初始值 τ —— 時間常數(shù) 3 二者零輸入響應、時間常數(shù)具有對偶性。 ? = RC ? = GL=L/R 例 1：電路如圖 (a)所示，已知電容電壓 uC(0)=6V。 t=0閉合開關，求 t 0時 uC(t)、 iC(t) 、 iR(t) 。 解：在開關閉合瞬間，電容電壓不能躍變，得到 V6)0()0( CC ?? ?? uu將連接電容兩端的單口網(wǎng)絡等效于一個電阻，為 ??????? k10k)36 368(oR s1051010263??????????RC?)(mAe.eedd)()(Vee)( CC C0601010606202030200?????????????????tRUtuCtitUtuttttt?? 電阻中的電流 iR(t)可以用與 iC(t)同樣數(shù)值的電流源代替電容，用電阻并聯(lián)的分流公式求得 iR(t) )(63 3)( 2020CR tttiti ?? ??????例 2： 3? 6? 2? i1 uC + _ 100?F 已知 uC (0+) = 18V 求： uC (t) , i1(t) , t ≥ 0 )0(e332)()()0(Ve18)e(0)(250C1250 C????????????tAtutitututttc例 3： 3? 1? i u + _ 4 H 已知 i (0 +) = 2A 求： i(t) , u(t) , t ≥ 0 )0(e16)(8)()0(e2)e(0)()(2L2 t /L??????????