空氣動(dòng)力學(xué)第三章不可壓縮無粘流體平面勢流(已修改)
2025-05-12 03:31 本頁面
【正文】 第 3章 理想不可壓縮流體平面位流 3． 1 理想不可壓縮流體平面位流的基本方程 3． 2 幾種簡單的二維位流 — 3． 2． 1 直勻流 — 3． 2． 2 點(diǎn)源 — 3． 2． 3 偶極子 — 3． 2． 4 點(diǎn)渦 3． 3 一些簡單的流動(dòng)迭加舉例 — 3． 3． 1 直勻流加點(diǎn)源 — 3． 3． 2 直勻流加偶極子 — 3． 3． 3 直勻流加偶極子加點(diǎn)渦 3． 4 二維對稱物體繞流的數(shù)值解 、理想不可壓縮流體平面位流的基本方程 對于理想不可壓縮流體，流動(dòng)的基本方程是連續(xù)方程和歐拉運(yùn)動(dòng)方程組。在第二章中已給出這些方程的推導(dǎo)過程，本章應(yīng)該討論怎樣求解這些方程。但是，要想得到這些偏微分方程的解，并非易事。因?yàn)閷?shí)際飛行器的外形都比較復(fù)雜，要在滿足這些復(fù)雜邊界條件下求得基本方程的解，困難是相當(dāng)大的。為了簡化求解問題，本章首先介紹流體力學(xué)中一類簡單的流動(dòng)問題，理想不可壓縮流體的無旋流動(dòng)。這是早期流體力學(xué)發(fā)展的一種理想化近似模型，比求解真實(shí)粘性流動(dòng)問題要容易的多。在粘性作用可忽略的區(qū)域，這種理想模型的解還是有相當(dāng)?shù)目尚懦潭取? 不可壓縮理想流體無旋流動(dòng)的基本方程 pfdtVdzwyvxu?????????????10??初始條件和邊界條件為 在 t=t0時(shí)刻， 在物體的邊界上 在無窮遠(yuǎn)處 如果沒有無旋流條件進(jìn)一步簡化上述方程，求解起來也是很困難的。這是因?yàn)榉匠讨械膶α黜?xiàng)是非線性的，而且方程中的速度 V和壓強(qiáng) p相互偶合影響，需要一并求出。但是，對于無旋流動(dòng)，問題的復(fù)雜性可進(jìn)一步簡化，特別是可將速度和壓力分開求解。這是因?yàn)?，對于無旋運(yùn)動(dòng)情況，流場的速度旋度為零，即 存在速度勢函數(shù)（位函數(shù)）為 如果將上式代入不可壓縮流體的連續(xù)方程中，得到 、平面不可壓位流的基本方程 p (x ,y ,z )pzyxVV ?? ),(??0?nV??VV02 ????? ???? VVro tzwyvxuV ??????????? ???? ?0 00222222?????????????????????????zyxzwyvxuV????? 由此可見，利用無旋流動(dòng)和連續(xù)條件所得到的這個(gè)方程是大家熟知的二階線性偏微分方程，拉普拉斯方程，這是一個(gè)純運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。如果對這個(gè)方程賦予適定的定解條件，就可以單獨(dú)解出速度位函數(shù)，繼而求出速度值。與壓強(qiáng) p沒有進(jìn)行偶合求解，那么如何確定壓強(qiáng)呢？在這種情況下，可將速度值作為已知量代入運(yùn)動(dòng)方程中，解出 p值。實(shí)際求解并不是直接代入運(yùn)動(dòng)方程中，而是利用 Bernoulli(或 Lagrange)積分得到。對于理想不可壓縮流體，在質(zhì)量力有勢條件下，對于無旋流動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方程的積分形式為 對于定常流動(dòng)，質(zhì)量力只有重力，得到 如果忽略質(zhì)量力（在空氣動(dòng)力學(xué)中經(jīng)常不考慮重力的作用） 由此說明，只要把速度勢函數(shù)解出，壓強(qiáng) p可直接由 Bernoulli方程得到。在這種情況下整個(gè)求解步驟概括為： 、平面不可壓位流的基本方程 )(2 2 tCpVt ??????? ??CgzpV ??? ?22CpV ?? ?22（ 1）根據(jù)純運(yùn)動(dòng)學(xué)方程求出速度勢函數(shù)和速度分量；（ 2）由 Bernoulli方程確定流場中各點(diǎn)的壓強(qiáng)。這使得速度和壓強(qiáng)的求解過程分開進(jìn)行，從而大大簡化了問題的復(fù)雜性。綜合起來，對于理想不可壓縮流體無旋流動(dòng)，控制方程及其初邊界條件為 初始條件 邊界條件為 固壁面條件 自由面條件 無窮遠(yuǎn)處 在流體力學(xué)中的邊界條件多數(shù)屬于第二類邊界條件，及在邊界上給定速度勢函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)。 、平面不可壓位流的基本方程 )(20 2222222tCpVtzyx?????????????????????),( ),( 000 zyxppzyxVVtt ??? ????????VVppns??0?速度勢函數(shù)的性質(zhì) （ 1）速度勢函數(shù)沿著某一方向的偏導(dǎo)數(shù)等該方向的速度分量，速度勢函數(shù)沿著流線方向增加。由此可得出，速度勢函數(shù)允許相差任意常數(shù)，而不影響流體的運(yùn)動(dòng)。 （ 2）速度勢函數(shù)滿足拉普拉斯方程，是調(diào)和函數(shù)。滿足解的線性迭加原理。如果速度勢函數(shù) 滿足拉普拉斯方程，則它們的線性組合也滿足拉普拉斯方程。 （ 3）速度勢函數(shù)相等的點(diǎn)連成的線稱為等勢線，速度方向垂直于等勢線。 、平面不可壓位流的基本方程 sdsdzzdsdyydsdxxVdsdzwdsdyvdsdxudssdVVw d zv d yud xsdVdsVsss??????????????????????????????0 1 2222222222221????????? ?????????????????? ????niiiiiniii zyxCzyxC????????i?sdV 0 0 ???? ????? sdVdd ??（ 4）連接任意兩點(diǎn)的速度曲線等于該兩點(diǎn)的速度勢函數(shù)之差。速度線積分與路徑無關(guān)，僅決定于兩點(diǎn)的位置。如果是封閉曲線，速度環(huán)量為零。 流函數(shù)及其性質(zhì) 根據(jù)高等數(shù)學(xué)中，格林公式可知（平面問題的線積分與面積分的關(guān)系） 如果令 、平面不可壓位流的基本方程 ABBABABABAddzzdyydxxw dzv dyudxsdV??????????????????????????)()(????? ???????? ????????dx dyyPx dyP dxL??? ???????? ????????????dx dyyvxuud yv d xuvPLQ 由此可見，下列線積分與路徑無關(guān) 存在的充分必要條件是 這是不可壓縮流體平面流動(dòng)的連續(xù)方程。這樣，下列微分一定是某個(gè)函數(shù)的全微分，即 這個(gè)函數(shù)稱為流函數(shù)。由此可見，對于不可壓縮流體的平面流動(dòng)，無論是理想流體還是粘性流體，無論是有渦流動(dòng)還是無渦流動(dòng)，均存在流函數(shù)。流函數(shù)的概念是 1781年 Lagrange首先引進(jìn)的。流函數(shù)具有下列性質(zhì) （ 1）流函數(shù)值可以差任意常數(shù)而不影響流動(dòng)。 （ 2）流函數(shù)值相等的點(diǎn)的連線
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