測繪數(shù)據(jù)處理自由網(wǎng)平差(已修改)
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【正文】 2022年 5月 27日星期五 1 測繪數(shù)據(jù)處理 測繪工程教研室 土地科學(xué)技術(shù)學(xué)院 2022年 5月 27日星期五 2 一、自由網(wǎng)平差概述 在控制網(wǎng)的經(jīng)典間接平差中，必須具有足夠的起算數(shù)據(jù)。例如，在水準(zhǔn)網(wǎng)的間接平差中，必須至少已知某一點(diǎn)的高程；在測角網(wǎng)的間接平差中，必須至少已知某一點(diǎn)的坐標(biāo)、某一條邊的坐標(biāo)方位角即某一條邊的邊長，等等。下面將討論無起算數(shù)據(jù)的平差方法，即自由網(wǎng)平差。 當(dāng)網(wǎng)中有足夠的起算數(shù)據(jù)時(shí)，經(jīng)典間接平差的誤差方程為 (171） 系數(shù)矩陣 B最大線性無關(guān)的行（列）向量的個(gè)數(shù)，及 B矩陣的秩 R(B)等于未知參數(shù) 的個(gè)數(shù) (172) 2022年 5月 27日星期五 3 在最小二乘準(zhǔn)則下，得其法方程為 (173) 其中 N= PB,W= 。此時(shí)，系數(shù)陣 N為滿秩方陣，即det(N) ,N為非奇異陣，有唯一解，其解為 (174) 當(dāng)平差網(wǎng)沒有起算數(shù)據(jù)時(shí)，網(wǎng)中所有的點(diǎn)均為待定點(diǎn)。設(shè)未知參數(shù)的個(gè)數(shù)為 u,誤差方程為 (175) 組成的法方程為 2022年 5月 27日星期五 4 (176) 由于 det(N)=0,故 N為奇異陣，其凱利逆 不存在，此時(shí)如仍按經(jīng)典平差公式接，將不可能得出唯一的解。 令 B的列滿秩數(shù)為 （ B） ,B的實(shí)際秩數(shù)為 R(B)， d= (B)R(B),d即為秩虧數(shù)。對于法方程系數(shù)矩陣 N，必然也有 d=(N)R(N). 如果 d=0,就是經(jīng)典平差問題；當(dāng) d 時(shí)，就是所謂的秩虧自由網(wǎng)平差問題。 在實(shí)用上，產(chǎn)生秩虧得主要原因是不設(shè)起算數(shù)據(jù)，而且選定網(wǎng)中高程、坐標(biāo)等作為平差的未知參數(shù)，所以秩虧自由網(wǎng)平差也叫無固定數(shù)據(jù)的的自由網(wǎng)平差，簡稱自由網(wǎng)平差。 具體問題中矩陣 B或 N的秩虧數(shù) d，雖然可以通過計(jì)算 R(B)或R(N)求出，實(shí)際上并不需要這樣做，究其原因可知，秩虧數(shù) 2022年 5月 27日星期五 5 d就是網(wǎng)中必要的起算數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)。且有： 二 、 秩虧自由網(wǎng)平差思路 為了求得未知參數(shù)的唯一確定解，除了遵循最小二乘準(zhǔn)則外，還必須增加新的約束條件，從而達(dá)到求得唯一解的目的。由于約束條件不同，秩虧自由網(wǎng)平差可分為如下幾種情況： （ 1）、經(jīng)典自由網(wǎng)平差 。它是在假設(shè)網(wǎng)中有 d個(gè)必要起算數(shù)據(jù)的條件下，求定未知參數(shù)的最佳估計(jì)。這種方法早就已為人們所熟知。不難理解，該法的平差結(jié)果（未知參數(shù) X的解及其協(xié)因數(shù)陣 ）將隨著假設(shè)的 d個(gè)必要起算數(shù)據(jù)的不同而不同，即隨著已知點(diǎn)位置的改變而改變。 2022年 5月 27日星期五 6 （ 2）、秩虧網(wǎng)平差 。它是在最小二乘 和最小范數(shù)的條件 下求定未知參數(shù)的最佳估值。 （ 3）、加權(quán)秩虧網(wǎng)平差 。它是在最小二乘 和加權(quán)最小范數(shù)的條件 下求定未知參數(shù)的最佳估值。式中， 為表示未知參數(shù)穩(wěn)定程度的先驗(yàn)權(quán)矩陣。 （ 4）、擬穩(wěn)平差 。若將平差網(wǎng)中的未知參數(shù)分為兩類，即 (sd) (177) 式中， 是非擬穩(wěn)點(diǎn)的未知參數(shù)， 是擬穩(wěn)點(diǎn)的未知參數(shù)。這樣擬穩(wěn)平差是在 和 求定未知參數(shù)的最佳估值。 2022年 5月 27日星期五 7 由上可知，三種秩虧自由網(wǎng)平差均遵循 的原則，對于同一平差問題，它們將有相同的法方程，三種自由網(wǎng)平差的解均能滿足法方程式 (176)，它它們都是這一相同法方程多組解中的一個(gè)特解。它們之間的不同只是由于各自對解向量 x所加的限制條件不同引起的，即由于各自所加的最小范數(shù)條件不同，因此得到了不同的解向量。 由于秩虧網(wǎng)平差與擬穩(wěn)平差都是加權(quán)秩虧網(wǎng)平差的特殊情況，其區(qū)別僅在于各自選擇了不同的先驗(yàn)權(quán)陣 。所以我們將先介紹加權(quán)秩虧網(wǎng)平差，然后再介紹秩虧網(wǎng)平差和擬穩(wěn)平差。自由網(wǎng)平差的方法很多，本節(jié)我們只介紹附加條件法。 2022年 5月 27日星期五 8 三 、 自由網(wǎng)平差基準(zhǔn) （一）經(jīng)典自由網(wǎng)平差基準(zhǔn) 實(shí)際上是固定某個(gè)實(shí)際的點(diǎn)的位置，固定一個(gè)實(shí)際的方位角，一條實(shí)際的邊長等來定義的。 （二）秩虧自由網(wǎng)平差基準(zhǔn) 與經(jīng)典的自由網(wǎng)不同，秩虧自由網(wǎng)平差基準(zhǔn)是通過對整個(gè)網(wǎng)點(diǎn)的坐標(biāo)或部分網(wǎng)點(diǎn)
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