數(shù)值分析第8講正交多項(xiàng)式(已修改)
2025-05-11 08:21 本頁(yè)面
【正文】 河北理工大學(xué) HEBEI POLYTECHNIC UNIVERSITY 第三章 函數(shù)逼近 函 數(shù) 逼 近 函數(shù)逼近的基本概念 1 正交函數(shù)系的性質(zhì) 正交多項(xiàng)式的構(gòu)造 函數(shù)的最佳平方逼近 正交多項(xiàng)式的基本概念 第 1節(jié) 函數(shù)逼近的基本概念 函數(shù)逼近 )()( xfxp 復(fù)雜函數(shù)簡(jiǎn)單函數(shù) ? ??盡可能小要求：)()( xpxf ? （足夠的小） N維空間 },),({ ??? xPH nn}],{[],[ ，數(shù)乘區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)， ?? babaC}p],{[],[ ，數(shù)乘階連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，區(qū)間上具有 ?? babaC p }, . ..,{S 21 nxxxs p a n?生成空間：nn Hxxxsp a n ?? }, . . .,1{S 2生成空間： N+1維空間 定理 1 Weierstrass 上一致成立。在使得：總存在多項(xiàng)式則對(duì)任何設(shè)],[)()(),(,0],[)( baxfxpxpbaCxf??????? 范數(shù)與賦范空間 ｝稱(chēng)為賦范線性空間。則｛上的范數(shù)，為為線性空間，設(shè)??S, SS內(nèi)積與內(nèi)積空間 nn yxyxyxyx ???? . ..),( 2211N維數(shù)量空間內(nèi)積 332211),( yxyxyxyx ??? 推而廣之 它滿(mǎn)足以下條件：為中一個(gè)數(shù)與之對(duì)應(yīng)，記有）上的線性空間，對(duì)或是數(shù)域設(shè)),(,CK ( RXvuKXvu ??0),(0,0),()4(,),(),(),()3(),(),()2(),(),(1＝時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)）（uuuvuKXwvuwvwuwvuvuvuuvvu????????????上的內(nèi)積。為則稱(chēng) X),( vu稱(chēng)為內(nèi)積空間線性空間 )},(),({ X 內(nèi)積空間常用的范數(shù)為： ),( uuu ?上的內(nèi)積定義為：],[ baC?? ba dxxgxfxxgxf )()()())(),(( ?2122))(()( ??badxxfxf范數(shù)定義為： 內(nèi)積空間的重要結(jié)論 定理 2 CauchySchwarz不等式 ),)(,(),(,X2 vvuuvuXvu??? 有是一內(nèi)積空間，對(duì)設(shè)2322212322212332211 )()( yyyxxxyxyxyx ???????特別地 定理 3 Gram矩陣 ??????????????),(),(),(),(. . .),(),(),(. . .),(),(, . . .,X21222121211121nnnnnnnuuuuuuuuuuuuuuuuuuGXuuu???為一內(nèi)積空間，設(shè)線性無(wú)關(guān)非奇異 nuuuG ,. .., 21? 第 2節(jié) 正交多項(xiàng)式 ? ? ? ?? ? .)(,)()(0))(()())()((,)(,)()(0正交上帶權(quán)在與則稱(chēng)，數(shù)且滿(mǎn)足上的權(quán)函為，若xbaxgxfdxxxfxxgxfbaxbaCxgxfba???????? ? 。)()}({,00{)()()()()(),()(10正交函數(shù)系上帶權(quán)，是則稱(chēng)，滿(mǎn)足關(guān)系，若函數(shù)族xbaxkjAkjdxxxxxxxkkkjbakjn??????????????? ???定義 .,1 系則稱(chēng)之為標(biāo)準(zhǔn)正交函數(shù)若 ?kA一、正交多項(xiàng)式的概念 },s i n,c o s,2s i n,2c o s,s i n,c o s,1{ ?? nxnxxxxx.],[)1( 上的積分等于零任意兩個(gè)不同函數(shù)在 ???,0c o s ?? ??? n x d x ,0s i n ?? ??? n x d x三角函數(shù)系： 正交性： .0c o ss i n ?? ??? n x d xmx ),2,1,( ??nm其中? ? ., . . . . . . .2s i n,2c o s,s i n,c o s,1,上的正交函數(shù)族就是在區(qū)間三角函數(shù)族例如???xxxx回憶傅氏級(jí)數(shù)的結(jié)論 ,0si nsi n???????? ??? nmnmn x dxmx,0co sco s???????? ??? nmnmn xd xmx.],[)2( ??? 上的積分等于任意兩個(gè)相同函數(shù)在 ?0)s i n,( c o s)s i n,( s i n)c o s,( c o s0)s i n,1()c o s,1()s i n,( c o s, . . .2,1,)c o s,( c o s)s i n,( s i n,2)1,1(???????????jxkxjxkxjxkxkxkxkxkxjkjkkxkxkxkx有時(shí)當(dāng)而對(duì)?? 區(qū)間 [a,b]上關(guān)于權(quán)函數(shù)的正交函數(shù)系必定線性無(wú)關(guān) 證明 }, .. .,{),(10 nx ???? 正交函數(shù)系為：權(quán)函數(shù)為設(shè)0.. .
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