小波分析全章節(jié)講解(已修改)
2025-05-11 06:42 本頁面
【正文】 小波理論分析與應用 吳祖平 20221689 ??????????????????小波分析窗口傅里葉變換泛函數(shù)分析傅里葉變換傅里葉級數(shù)傅里葉分析小波的發(fā)展小波小講??????????????????邊緣檢測小波去噪圖像壓縮小波的應用小波算法多分辨率分析小波變換小波的基本概念 小波分析 是當前數(shù)學中一個迅速發(fā)展的新領域，它同時具有理論深刻和應用十分廣泛的雙重意義。 小波變換 的概念是由法國從事石油信號處理的工程師 1974年首先提出的，通過物理的直觀和信號處理的實際需要 經驗的建立了反演公式，當時未能得 到數(shù)學家的認可。 小波分析的應用是與小波分析的 理論研究緊密地結合在一起地。 一、小波的發(fā)展 小波分析的應用領域十分廣泛，它包括 ： 數(shù)學領域的許多學科；信號分析、圖象處理；量子力學、理論物理；軍事電子對抗與武器的智能化；計算機分類與識別；音樂與語言的人工合成；醫(yī)學成像與診斷；地震勘探數(shù)據處理；大型機械的故障診斷等方面；例如： 在 數(shù)學方面 ，它已用于數(shù)值分析、構造快速數(shù)值方法、曲線曲面構造、微分方程求解、控制論等。 在 信號分析方面 的濾波、去噪聲、壓縮、傳遞等。 在 圖象處理方面 的圖象壓縮、分類、 識別與診斷，去污等。 在 醫(yī)學成像方面 的減少 B超、 CT、 核磁共振成像的時間，提高分辨率等。 ? 傅里葉（ Fourier)分析 是數(shù)字信號處理的基礎，也是現(xiàn)代信號處理的出發(fā)點。它將信號分析從時間域變換到了頻率域。 ? 泛函分析 是 20世紀初開始發(fā)展起 來的一個重要的數(shù)學分支，它是 以集合論為基礎的現(xiàn)代分析手段， 它用更加抽象的概念來描述熟知 的對象。 ? 小波理論 是建立在傅里葉分析和泛函分析基礎之上的視頻分析工具之一。 ? 小波變換 是對傅里葉變換與短時傅里葉變換的發(fā)展，為信號分析、圖像處理、量子物理及其他非線性科學的研究域帶來革命的影響。 傅里葉變換 （ 1）傅里葉（ FT）定義 () jtF f t e d t?? ?? ????（ ） =1( ) ( )2jtf t F e d????????? ?其中，式（ ）稱為傅里葉反變換（ IFT) （ ） （ ） 二、傅里葉分析 (連續(xù) ) (2)FT的性質 利用對偶性可以方便地得到一些函數(shù)的傅里葉變換或反變換公式，即 F( ) 2 ( )F t f???? 時域位移將導致信號頻譜增加一個附加相位，但是幅頻特性不變，即 ( ) ( ) jaf t a F e ?? ???F 卷積特性分為時域卷積和頻域卷積，即 1 2 1 21( ) ( ) ( ) ( )2f t f t F F???? ? ?FF1 2 1 2( ) * ( ) ( ) ( )f t f t F F???（內積定理） 它表明兩個信號在時域和頻域中的內積之間的關系，即 **1 2 1 21( ) ( ) ( ) ( )2f t f t d t F F d? ? ??? ? ? ?? ? ? ????特別當 時，有 ? ? ? ?12f t f t?2 2 211( ) ( ) ( )2f t d t F d F f d f???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? 上式實際上給出了信號的能量關系。在時域和頻域的總能量是相等的，故也稱為 能量守恒定理 。 信號在一個域內的伸縮會導致在 另一個域的相反方向上的伸縮 。 在小波分析中，有著大量涉及信號在時域和頻域的伸縮和變尺度分析。 ()tf a F aa ??? ?????傅里葉變換 (離散 ) 時域離散信號也可以根據是否為周期性，分為離散時間序列傅里葉變換（ DTFT）和離散傅里葉變換（ DFT）。 ( ) [ ] jnnX x n e????? ? ?? ? ??1[ ] ( )2jnx n X e d?????? ? ?? 21100[ ] [ ] [ ] , 0 , 1 , . . . , 1NN j n knkNNnnX k x n e x n W k N??? ???? ? ? ???2110011[ ] [ ] [ ] , 0 , 1 , . . . , 1NN j n k nkNNnnx n X k e X k W n NNN??????? ? ? ???三、泛函分析 （ 1）線性空間 例： 平方可積函數(shù)空間 （ 2）賦范線性空間 例： ? ?22 ( ) ( ) ( )L R f x f x d x????? ? ??11nkkx ??? ?12221nkkx ??????????1m a x kknx ?? ???（ 3）巴拿赫（ Banach)空間 （ 4）希爾伯特（ Hilbert）空間 例 1：對于線性空間 ， 定義內積為 22( ) , , ( )L R f g L R??*, ( ) ( )f g f x g x dx????? ?? ?例 2：在 n維歐氏空間 中， ， 定義內積為 nR, nf g R?? 1 2 1 2( , , . . . , ) , ( , , . . . )nnf f f f g g g g??111, . . .nn n i iif g f g f g f g?? ? ? ? ? ? ? （ 1）由函數(shù)序列張成的空間 設 為函數(shù)序列，令集合 為 即 為函數(shù)序列 的所有可能的 線性組合構成的集合，則稱 為 序列 張成的線性空間，簡記為 { ( )}ket{ ( )}ket{ ( )}ket XXX( ) , , ,k k kkX a e t t a R k Z??? ? ??????{}kX s p a n e?（ 2）基底
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