【正文】 式題的巧解妙算 (1)21－12　　當(dāng)被減數(shù)和減數(shù)個位和十位上的數(shù)字(零除外)交叉相等時，其差為被減數(shù)與減數(shù)十位數(shù)字的差乘以9?！　∫驗檫@樣的兩位數(shù)減法，最低起點是21－12，差為9，即(2－1)9。減數(shù)增加1，其差也就相應(yīng)地增加了一個9，故31－13＝(3－1)9＝18。減數(shù)從12—89，都可類推?！　”粶p數(shù)和減數(shù)同時擴(kuò)大(或縮小)十倍、百倍、千倍……，常數(shù)9也相應(yīng)地擴(kuò)大(或縮小)相同的倍數(shù)，其差不變。如　　210－120＝(2－1)90＝90，　?。?6－5)＝。(2)3151　　個位數(shù)字都是1，十位數(shù)字的和小于10的兩位數(shù)相乘，其積的前兩位是十位數(shù)字的積，后兩位是十位數(shù)字的和同1連在一起的數(shù)?！　?　　若十位數(shù)字的和滿10，進(jìn)1。如　　 　　證明：(10a＋1)(10b＋1)　?。?00ab＋10a＋10b＋1　?。?00ab＋10(a＋b)＋1　　(3)2686 4262　　 　　個位數(shù)字相同，十位數(shù)字和是10的兩位數(shù)相乘，十位數(shù)字的積與個位數(shù)字的和為積的前兩位數(shù)，后兩位是個位數(shù)的積。若個位數(shù)的積是一位數(shù)，前面補(bǔ)0。證明：(10a＋c)(10b＋c)　?。?00ab＋10c(a＋b)＋cc　?。?00(ab＋c)＋cc (a＋b＝10)。(4)1719　　十幾乘以十幾，任意一乘數(shù)與另一乘數(shù)的個位數(shù)之和乘以10，加個位數(shù)的積?！　≡剑?17＋9)10＋79＝323證明：(10＋a)(10＋b)　?。?00＋10a＋10b＋ab　　＝[(10＋a)＋b]10＋ab。(5)6369　　十位數(shù)字相同，個位數(shù)字不同的兩位數(shù)相乘，用一個乘數(shù)與另個乘數(shù)的個位數(shù)之和乘以十位數(shù)字，再乘以10，加個位數(shù)的積?！　≡剑?63＋9)610＋39　?。?260＋27＝4347。證明：(10a＋c)(10a＋d)　　＝100aa＋10ac＋10ad＋cd　?。?0a[(10a＋c)＋d]＋cd。(6)8387　　十位數(shù)字相同，個位數(shù)字的和為10，用十位數(shù)字加1的和乘以十位數(shù)字的積為前兩位數(shù)，后兩位是個位數(shù)的積。如 證明：(10a＋c)(10a＋d)　　=100aa＋10a(c＋d)＋cd　?。?00a(a＋1)＋cd(c＋d＝10)。 (7)3822　　十位數(shù)字的差是1，個位數(shù)字的和是10且乘數(shù)的個位數(shù)字與十位數(shù)字相同的兩位數(shù)相乘，積為被乘數(shù)的十位數(shù)與個位數(shù)的平方差。　　原式＝(30＋8)(30－8)　?。?02－82＝836?！　?8)8837　　被乘數(shù)首尾相同，乘數(shù)首尾的和是10的兩位數(shù)相乘，乘數(shù)十位數(shù)字與1的和乘以被乘數(shù)的相同數(shù)字，是積的前兩位數(shù)，后兩位是個位數(shù)的積?！　?(9)3615　　乘數(shù)是15的兩位數(shù)相乘。　　被乘數(shù)是偶數(shù)時，積為被乘數(shù)與其一半的和乘以10；是奇數(shù)時，積為被乘數(shù)加上它本身減去1后的一半，和的后面添個5。 　　＝5410＝540。　　5515　　 (10)125101　　三位數(shù)乘以101，積為被乘數(shù)與它的百位數(shù)字的和，接寫它的后兩位數(shù)。125＋1＝126?！　≡剑?2625?！　≡偃?48101，因為348＋3＝351，　　原式＝35148。(11)8449　　一個數(shù)乘以49，把這個數(shù)乘以100，除以2，再減去這個數(shù)?！　≡剑?400247。2－84　　＝4200－84＝4116。(12)8599　　兩位數(shù)乘以999…。在被乘數(shù)的后面添上和乘數(shù)中9的個數(shù)一樣多的0、再減去被乘數(shù)?！　≡剑?500－85＝8415　　　　　 　　不難看出這類題的積：　　最高位上的兩位數(shù)(或一位數(shù))，是被乘數(shù)與1的差；　　最低位上的兩位數(shù)，是100與被乘數(shù)的差；　　中間數(shù)字是9，其個數(shù)是乘數(shù)中9的個數(shù)與2的差。證明：設(shè)任意兩位數(shù)的個位數(shù)字為b、十位數(shù)字為a(a≠0)，則　　　 　　如果被乘數(shù)的個位數(shù)是1，例如　　31999　　在999前面添30為30999，再減去30，結(jié)果為30969?！　?19999＝709999－70＝709929?！　∵@是因為任何一個末位為1的兩位自然數(shù)都可表示為(10a＋1)的形式，由9組成的自然數(shù)可表示為(10n－1)的形式，其積為　　(10a＋1)(10n－1)＝10n＋1a＋(10n－1)－10a。(13)1247。19　　這是一道頗為繁復(fù)的計算題?！　≡剑?。　　根據(jù)“如果被除數(shù)不變，除數(shù)擴(kuò)大(或縮小)若干倍，商反而縮小(或擴(kuò)大)相同倍”和“商不變”性質(zhì)，可很方便算出結(jié)果?！　?47。，計算程序：　　(1)247。2＝?！　?2)把商向右移動一位，寫到被除數(shù)里，繼續(xù)除 　　如此除到循環(huán)為止。 　 　 　 　 　 　　仔細(xì)分析這個算式：　　247。2的商，247。＝，就是把商向右移動一位寫到被除數(shù)里。這樣我們又可把除數(shù)看作2繼續(xù)除，依此類推?！　〕龜?shù)末位是9，都可用此法計算?！　±?247。29，247。3計算?！　?247。399，247。40計算。　　數(shù)學(xué)素養(yǎng)與能力(含估算能力)的強(qiáng)弱，直接影響到人們的生活節(jié)奏和工作、學(xué)習(xí)、科研效率。已經(jīng)引起世界有關(guān)專家、學(xué)者的重視，是個亟待研究的課題?！　∶绹鴶?shù)學(xué)督導(dǎo)委員會，提出的12種面向全體學(xué)生的基本數(shù)學(xué)能力中，第6種能力即估算：“學(xué)生應(yīng)會通過心算或使用各種估算技巧快速進(jìn)行近似計算。當(dāng)解題或購物中需要計算時，估算可以用于考查合理性。檢驗預(yù)測或作出決定……”(1)最高位估算　　只計算式中幾個運(yùn)算數(shù)字的最高位的結(jié)果，估算整個算式的值大概在什么范圍?！　±? 1137＋5044－3169　　最高位之和1＋5－3＝3，結(jié)果在3000左右。　　 　　如果因為忽視小數(shù)點而算成560，依據(jù)“一個不等于零的數(shù)乘以真分?jǐn)?shù)，積必小于被乘數(shù)”估算，錯誤立即暴露?！　±? 　　整體思考?！　∫驗?≈50，　　而50≈50＝75，　　＞50，＞，　　＞75?！　×硗?1＝9，　　所以原式結(jié)果大致是75多一點，三位小數(shù)的末位數(shù)字是9?！　±? 3279247。79　　把3279和79，看作3200和80。準(zhǔn)確商接近40，若相差較大，則是錯的。(2)最低位估算　　例如，6403＋232＋1578　　3＋2＋8＝13，原式和的末位必是3。(3)規(guī)律估算　　和大于每一個加數(shù)；　　兩個真分?jǐn)?shù)(或純小數(shù))的和小于2；　　一個真分?jǐn)?shù)與一個帶分?jǐn)?shù)(或一個純小數(shù)與一個帶小數(shù))的和大于這個帶分?jǐn)?shù)(或帶小數(shù))，且小于這個帶分?jǐn)?shù)(或帶小數(shù))的整數(shù)部分與2的和；　　 　　兩個帶分?jǐn)?shù)(或帶小數(shù))的和總是大于兩個帶分?jǐn)?shù)(或帶小數(shù))整數(shù)部分的和，且小于這兩個整數(shù)部分的和加上2；　　 　　奇數(shù)177。奇數(shù)＝偶數(shù)，偶數(shù)177。偶數(shù)＝偶數(shù)，奇數(shù)177。偶數(shù)＝奇數(shù)；　　差總是小于被減數(shù)；　　整數(shù)與帶分?jǐn)?shù)(或帶小數(shù))的差小于整數(shù)與帶分?jǐn)?shù)(或帶小數(shù))的整數(shù)部分的差；帶分?jǐn)?shù)(或帶小數(shù))，與整數(shù)的差大于帶分?jǐn)?shù)(或帶小數(shù))的整數(shù)部分與整數(shù)的差?！　? 　　帶分?jǐn)?shù)(或帶小數(shù))與真分?jǐn)?shù)(或純小數(shù))的差小于這個帶分?jǐn)?shù)(或帶小數(shù))，且大于帶分?jǐn)?shù)(或帶小數(shù))減去1的差；　　 　　帶分?jǐn)?shù)與帶分?jǐn)?shù)(或帶小數(shù)與帶小數(shù))的差小于被減數(shù)與減數(shù)的整數(shù)部分的差，且大于這個差減去1；　　 　　如果兩個因數(shù)都小于1，則積小于任意一個因數(shù)；　　若兩個因數(shù)都大于1，則積大于任意一個因數(shù)；　　帶分?jǐn)?shù)與帶分?jǐn)?shù)(或帶小數(shù)與帶小數(shù))的積大于兩個因數(shù)的整數(shù)部分的積，且小于這兩個整數(shù)部分分別加1后相乘的積； 例如，　　 　　 　　A＜AB＜B?！　∑鏀?shù)偶數(shù)＝偶數(shù)，偶數(shù)偶數(shù)＝偶數(shù)；　　若除數(shù)＜1，則商＞被除數(shù)；　　若除數(shù)＞1，則商＜被除數(shù)；　　若被除數(shù)＞除數(shù)，則商＞1；　　若被除數(shù)＜除數(shù)，則商＜1。(4)位數(shù)估算　　整數(shù)減去小數(shù)，差的小數(shù)位數(shù)等于減數(shù)的小數(shù)位數(shù)；例如，320－，差為兩位小數(shù)?！　∽罡呶坏某朔e滿十的兩個整數(shù)相乘的積的位數(shù)，等于這兩個數(shù)的位數(shù)和；　　例如，4517103　　最高位的積47＝28，滿10，結(jié)果是3＋4＝7(位數(shù))。在整除的情況下，被除數(shù)的前幾位不夠除，商的位數(shù)等于被除數(shù)的位數(shù)減去除數(shù)的位數(shù)；　　例如，147342247。27　　14不夠27除，商是4－2＝2(位數(shù))。　　被除數(shù)的前幾位夠除，商的位數(shù)等于被除數(shù)的位數(shù)與除數(shù)位數(shù)的差加上1?！　±?，30226247。238　　302夠238除，商是5－3＋1＝3(位數(shù))。(5)取整估算　　把接近整數(shù)或整十、整百、……的數(shù)，看作整數(shù)，或整十、整百…的數(shù)估算。　?。?＋1，和定小于3。　　12≈1010，積接近100?！　?yīng)用交換律、結(jié)合律，把能湊整的數(shù)先并起來或去括號?！　±? ＋＋　　　?。剑?＋)　　 　　＝＋10＝　?。?－3＝0　　例3 －(＋)　?。剑　。?2－＝　　例4 1600247。(400247。7)　　＝1600247。4007　?。?7　　 ＝28　　根據(jù)乘法分配律，可逆聯(lián)想?！　?　?。?＋)＝10　　＝4　　 　　 　　　　 ＝101＝875　　　　 ＝8－7＝1　　 縮 式　　例1 16＋36　　　　 　　　?。?64＋36)　　　?。?00＝40　　例2 1645　　　　 　　 解 式　　例如，1472＋4276　?。?4324＋4276　?。?2(24＋76)　　＝42100＝4200 分 式　　 　　　　?。?72＝42　　例2 169247。4247。728247。13　　　　 　　 　　　　　 　　 　　　　　 　　 　　　　　 　 　　　 　　 　　 　 　=1988　　例7 1988 198819881988247。1989198919891989被除數(shù)與除數(shù)，分別除 分 式　　 積 式　　例如，3225　　＝ 8(425)　?。?0100＝1000 和 式　　例1 8　　　?。?＋)8　　　?。?＋＝　　 　　 　　例4 －　　　?。?＋)－(＋)　　　?。剑?＝ 差 式　　 　　 　　 　　　 乘 式　　例1 123＋234＋345＋456＋567＋678　　　　＝(123＋678)3　　　?。?013＝2403　　例2(＋＋＋)25　　　?。?425)＝672　　例3 45000247。8247。125　　　?。?5000247。(8125)　　　　＝45000247。1000＝45　　例4 247。247。25　　　?。?47。(425)　　　　＝247。80　　　?。?47。8＝　　例5 3333333333　　　　＝1111199999　　　?。?1111(100000－1)　　　?。?111100000－11111　　　　＝1111088889　　綜合應(yīng)用，例如　　 　　＝1000＋7＝1007　　 　?。?＋－－)(轉(zhuǎn))　　＝[(＋)－(＋)](合)　?。?　　＝8(125＋)(拆)　?。?125＋8＝1002 除 式　　例如，5600247。(257)　?。?600247。7247。25　?。?00247。25＝32 接 除　　 　　例1 7＋4＋5＋2＋3＋6　　　　＝93＝27　　 　　如果兩個分?jǐn)?shù)的分子相同，且等于分母之和(或差)，那么這兩個分?jǐn)?shù)的和(或差)等于它們的積?！　?　　 　　知，兩個分?jǐn)?shù)的分子都是1，分母是連續(xù)自然數(shù)，其差等于其積。