【正文】 重慶郵電大學市級精品課程 數學建模 數學建模電子教案 重慶郵電大學 數理學院 沈世云 02362460842 重慶郵電大學市級精品課程 數學建模 差分方程模型 重慶郵電大學 數理學院 沈世云 重慶郵電大學市級精品課程 數學建模 差分方程基本知識 市場經濟中的蛛網模型 減肥計劃 —— 節(jié)食與運動 差分形式的阻滯增長模型 按年齡分組的種群增長 第七章 差分方程模型 重慶郵電大學市級精品課程 數學建模 差分方程基本知識 ? 差分方程： 差分方程反映的是關于離散變量的取值與變化規(guī)律。通過建立一個或幾個離散變量取值所滿足的平衡關系，從而建立差分方程。 ? 差分方程就是針對要解決的目標，引入系統(tǒng)或過程中的離散變量，根據實際背景的規(guī)律、性質、平衡關系，建立離散變量所滿足的平衡關系等式，從而建立差分方程。通過求出和分析方程的解，或者分析得到方程解的 特別性質（平衡性、穩(wěn)定性、漸近性、振動性、周期性等），從而把握這個離散變量的變化過程的規(guī)律，進一步再結合其他分析，得到原問題的解。 重慶郵電大學市級精品課程 數學建模 Fibonacci 數列 問題 13世紀意大利著名數學家 Fibonacci在他的著作 《 算盤書 》中記載著這樣一個有趣的問題： 一對剛出生的幼兔經過一個月可長成成兔，成兔再經過一個月后可以繁殖出一對幼兔 . 若不計兔子的死亡數，問一年之后共有多少對兔子？ 月份 0 1 2 3 4 5 6 7 … 幼兔 1 0 1 1 2 3 5 8 … 成兔 0 1 1 2 3 5 8 13 … 總數 1 1 2 3 5 8 13 21 … 重慶郵電大學市級精品課程 數學建模 將兔群總數記為 fn, n=0,1,2,… ，經過觀察可以發(fā)現，數列 {fn}滿足下列遞推關系： f0 = f1 =1, fn+2 = fn+1 + fn , n=0,1,2,… 這個數列稱為 Fibonacci數列 . Fibonacci數列是一個十分有趣的數列，在自然科學和數學領域中都有著廣泛的應用 . Fibonacci數列的一些實例 . 1. 蜜蜂的家譜 2. 鋼琴音階的排列 3. 樹的分枝 4. 楊輝三角形 重慶郵電大學市級精品課程 數學建模 日常的經濟問題中的差分方程模型 1. 銀行存款與利率 假如你在銀行開設了一個 1000元的存款賬戶，銀行的年利率為 7%. 用 an表示 n年后你賬戶上的存款額，那么下面的數列就是你每年的存款額： a0, a1, a2, a3, …, a n,… 設 r為年利率，由于 an+1=an+r an, 因此存款問題的數學模型是： a0=1000, an+1=(1+r)an, n=1,2,3,… 重慶郵電大學市級精品課程 數學建模 2. 家庭教育基金 從 1994年開始，我國逐步實行了大學收費制度 . 為了保障子女將來的教育費用，小張夫婦從他們的兒子出生時開始，每年向銀行存入 x元作為家庭教育基金 . 若銀行的年利率為 r，試寫出第n年后教育基金總額的表達式 . 預計當子女 18歲入大學時所需的費用為 100000元，按年利率 3%計算，小張夫婦每年應向銀行存入多少元 ? 設 n年后教育基金總額為 an，每年向銀行存入 x元，依據復利率計算公式，得到家庭教育基金的數學模型為： a0=x, an+1=(1+r)an+x, n=0,1,2,3,… 重慶郵電大學市級精品課程 數學建模 3 . 抵押貸款 小李夫婦要購買二居室住房一套，共需 30萬元 . 他們已經籌集 10萬元，另外 20萬元申請抵押貸款 . 若貸款月利率為 %，還貸期限為 20年，問小李夫婦每月要還多少錢？ 設貸款額為 a0，每月還貸額為 x，月利率為 r，第 n個月后的欠款額為 an，則 a0=202200, a1=(1+r)a0x, a2=(1+r)a1x, …… an=(1+r)an1x, n=1,2,3,… 重慶郵電大學市級精品課程 數學建模 一階線性差分方程 在上述模型中，給出了 an+1與 an之間的遞推公式 . 將它們寫成統(tǒng)一的形式： a0=c, an+1=?an+b, n=0,1,2,3,… 稱此類遞推關系為 一階線性差分方程 . 當 b=0時稱為齊次差分方程，否則稱為非齊次差分方程 . 定義 1 對任意數列 A={a1,a2,…,a n,…} ，其差分算子 ?定義如下： ?a1=a2a1, ?a2=a3a2,… ?an=an+1an, … 定義 2 對數列 A={a1,a2,…,a n,…} ，其一階差分的差分稱為二階差分 , 記為 ?2A=?(?A). 即： ?2an= ?an+1 ?an=(an+2an+1)(an+1an)=an+22an+1+an 一般地，可以定義 n階差分 . 重慶郵電大學市級精品課程 數學建模 差分方程 an+1=? an+b的解 定理 1 一階線性差分方程 an+1=? an+b 的通解是： 定理 2 對一階線性差分方程 an+1=? an+b, 若 | ? |1, 則 an無限趨近于平衡解 b/(1 ?) (收斂型不動點 )。 若 | ? |1, 則 an逐漸遠離平衡解 b/(1 ?) (發(fā)散型不動點 ). ???????????.1,1,1,????bcbann重慶郵電大學市級精品課程 數學建模 0)(....)()( 110 ???? ??? tnntnt xtaxtaxta則被稱為方程對應的 齊次線性差分方程 。 若所有的 ai(t)均為與 t無關的常數，則稱其為 常系數差分方程 ，即 n階常系數線性差分方程可分成 )(...110 tbxaxaxa tntntn ???? ??? （ ） 的形式，其對應的齊次方程為 0...110 ???? ??? tntntn xaxaxa （ ） )2(2)1(1 ttt xcxcx ??)1(tx )2(tx容易證明，若序列 與 均為方程（ ）的解，則 也是方程（ ）的解，其 中 c c2為任意常數，這說明， 齊次方程的解構成一個 線性空間 （解空間）。 此規(guī)律對于（ ）也成立。 重慶郵電大學市級精品課程 數學建模 方程（ ）可用如下的代數方法求其通解： （ 步一 ）先求解對應的特征方程 0...110 ???? ? nnn aaa ?? （ ） （ 步二 ）根據特征根的不同情況，求齊次方 程 (） 的通解 情況 1 若特征方程（ ）有 n個互不相同的實根 1?,…, n?，則齊次方程（ ）的通解為 tnnt CC ?? ?? . . .11 (C1,…,C n為任意常數 ) ， iC情況 2 若 λ 是特征方程（ ）的 k重根，通解中對應 于 λ的項為 tkk tCC ?)( 11 ??? ?為任意常數， i=1,…, k。 情況 3 若特征方程（ ）有單重復根 ia ?? ??通解中對應它們的項為 tt tt ???? s i nCc o sC 21 ?22 ??? ?? 為 λ的模， ??? a rc ta n? 為 λ的幅角。 重慶郵電大學市級精品課程 數學建模 情況 4 若 ia ?? ?? 為特征方程（ ）的 k重復根，則通 解對應于它們的項為 tttt tktk ???? s i n)CC(c o s)CC( 12k1k1k1 ??? ???? ??iC為任意常數， i=1,…,2 k。 ty .若 yt為方程 ()的通解 ,則非齊次方程 ()的通解為 （ 步三 ） 求非齊次方程 ()的一個特解 tt yy ? 求非齊次方程（ ）的特解一般要用到 常數變易法 ，計算較繁。對特殊形式 的 b(t)也可使用 待定