【正文】 第第 三三 章章 －－ 最最 優(yōu)優(yōu) 線線 性性 濾濾 波波 理理 論論 自自 適適 應(yīng)應(yīng) 信信 號(hào)號(hào) 處處 理理 －－ 最最 優(yōu)優(yōu) 線線 性性 濾濾 波波 理理 論論 167。 引 言 一、基本概念 通信與控制中的濾波問題： 指從獲得的信號(hào)與干擾中盡可能地消除干擾，分離出所期望的消息；或：對(duì)一系列有誤差的實(shí)際測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，得出所期望數(shù)據(jù)的估值。 在波形估計(jì)與狀態(tài)估計(jì)中 , 基于觀測(cè) z (k) 對(duì)隨機(jī)矢量 x (k+ α ) 進(jìn)行最優(yōu)估計(jì)時(shí)，若 0?? ，就是濾波 , 若 0?? ，就是預(yù)測(cè) , 若 0?? ，就是平滑。 自自 適適 應(yīng)應(yīng) 信信 號(hào)號(hào) 處處 理理 －－ 最最 優(yōu)優(yōu) 線線 性性 濾濾 波波 理理 論論二、濾波歷史 [ 維納與卡爾曼濾波理論導(dǎo)論 ( 張有為 ) ， pp1 28 ] ? 維納濾波 ： 1 9 4 9 把統(tǒng)計(jì)學(xué)觀點(diǎn)引入到通信與濾波理論中，是線性濾波理論研究的一個(gè)重要開端。 －是使均方誤差最小的系統(tǒng)最佳沖激響應(yīng)的明確表達(dá)式 －導(dǎo)出了最佳濾波器沖激響應(yīng)opth滿足的方程 — 即維納霍夫方程 －不適用于非平穩(wěn)過程 難以進(jìn)行實(shí)時(shí)處理 ? 卡爾曼濾波 ： 1 9 6 0 年，把狀態(tài)變量的概念引入到最小均方誤差估計(jì)中來，建立了 KF 理論。 －是實(shí)時(shí)遞推算法 －把多狀態(tài)變量引入了濾波理論 －易于用計(jì)算機(jī)求解，適于實(shí)時(shí)處理，同時(shí)突破了平穩(wěn)隨機(jī)過程的限制 自自 適適 應(yīng)應(yīng) 信信 號(hào)號(hào) 處處 理理 －－ 最最 優(yōu)優(yōu) 線線 性性 濾濾 波波 理理 論論167。167。 33 .. 22 信信 號(hào)號(hào) 模模 型型 一、 隨 機(jī)過程的 一階、二階 統(tǒng)計(jì)量 ? 均值、均方值和方差 dxkxpxxExkkk),(}{ ??????, dxkxpxxE kk ),(||}|{|22?????, 2222}|{|}|{|kkkkxxxExxEk????? ? 自相關(guān)函數(shù)、協(xié)方差和功率譜密度函數(shù) }{),( lkx xxElkR ? lkxllkklk xxlkRxxxxExxC o v ????? ),(]}][{[),( 平穩(wěn) ：)()( ?xx SmR ? ??F ：???????mj m TxxemRS?? )()( 線性 系統(tǒng) 的 輸出 ：( ) ( ) ( ) ( )Tyxy k H x k R m H H R m? ? ? ? 自自 適適 應(yīng)應(yīng) 信信 號(hào)號(hào) 處處 理理 －－ 最最 優(yōu)優(yōu) 線線 性性 濾濾 波波 理理 論論二、 時(shí)間序列模型 線性時(shí)不變系統(tǒng)： 系系 統(tǒng)統(tǒng) 模模 型型 )()1()()1( 1111 zUzbzbzXzaza mmnn ???? ??????? ?? ?)()()( zUzHzX ?，nnmmzazazbzbzAzBzH??????????????111111)()()( 時(shí)間序列 信信 號(hào)號(hào) 模模 型型 應(yīng)該具有如下的特性： 足夠的 一般性 、 最小預(yù)測(cè)誤差 特性和 可辨識(shí) 性。 1 ．幾種時(shí)間序列模型 (1) 自回歸模型 AR (n) (Autor egressi v e) knknkk uxaxax ???? ?? ?11, kk uxzA ?)( 其中ku為零均值、方差為2w?的白噪聲， 模型多項(xiàng)式為：nn zazazA?? ???? ?111)( 若0)( ?zA的根全在單位圓內(nèi)，則 AR (n) 是平穩(wěn)的。 自自 適適 應(yīng)應(yīng) 信信 號(hào)號(hào) 處處 理理 －－ 最最 優(yōu)優(yōu) 線線 性性 濾濾 波波 理理 論論(2) 滑動(dòng)平均模型 MA( m)( Movi ng Av e ra ge ) mkmkkk ububux ?? ???? ?11, kk uzBx )(? 模型多項(xiàng)式為：nn zbzbzB?? ???? ?111)( 若0)( ?zB的根全在單位圓內(nèi)，則 MA( m) 是可逆的。 (3) 自回歸滑動(dòng)平均模型 ARMA( m,n) ( Autor e g r e ssi ve Movi ng Ave r a ge ) mkmkknknkk ububuxaxax ???? ??????? ?? 1111， kk uzBxzA )()( ? 其中)( zA與)( zB無公因子，應(yīng)分別滿足上述平穩(wěn)性和可逆性條件。 (4) 輸入控制量的 ARMA 模型 — ARMAX 模型 (x — e x og e nous i nput) ( ) ( ) ( )rk k kA z x B z u z C z v??? 自自 適適 應(yīng)應(yīng) 信信 號(hào)號(hào) 處處 理理 －－ 最最 優(yōu)優(yōu) 線線 性性 濾濾 波波 理理 論論2 ． 時(shí)間序列信號(hào)模型的一般 性 WOLD 分解定理 ： 任意寬平穩(wěn)過程 x 可以分解為相互正交的兩部分之和：sxxx ?? ? ，其中 sx 是確定的寬平穩(wěn)過程， ?x 是純非確定的寬平穩(wěn)過程。 ?x可以按離散指標(biāo)表示為一個(gè)正交隨機(jī)序列ju的后向滑動(dòng)和：??????kjjjkubx?(MA 模型 ) ，或按連續(xù)指標(biāo)表示為一 個(gè)正交增量過程)( tu的后向滑動(dòng)積分：? ?? ??tsdustbtx )()()(?。 在許多應(yīng)用場(chǎng)合，隨機(jī)過程 x 或者不包含確定性部分，或者其確定性部分可除去。 解釋 ： 在描述時(shí)間序列方面， MA 模型具有普遍適用的性質(zhì)?？紤]到 MA 與 AR 、 AR MA 模型之間的等效性，可知用上述幾種信號(hào)模型能很普遍地代表實(shí)際所能遇到的各種時(shí)間序列。 自自 適適 應(yīng)應(yīng) 信信 號(hào)號(hào) 處處 理理 －－ 最最 優(yōu)優(yōu) 線線 性性 濾濾 波波 理理 論論3. 預(yù)測(cè)的最優(yōu)性 作為一個(gè)“充分”的模型，上述描述模型必須具有最小預(yù)測(cè)誤差的特性，因?yàn)槟Ｐ捅旧砭褪怯脕眍A(yù)測(cè)行為的。 由于對(duì)ku的所有假定都以二階矩為基礎(chǔ)，所以最優(yōu)線性預(yù)測(cè)器意味著預(yù)測(cè)誤差方差最小。 如 AR 模型：?????nikikikuxax1 預(yù)測(cè)值：????niikikxax1? 預(yù)測(cè)誤差：kkkk uxxx ??? ?~ 可以證明，若ku是白噪聲，則預(yù)測(cè)誤差方差最小。 可見，上述模型不僅具有一般性，而且預(yù)測(cè)誤差方差最小。 自自 適適 應(yīng)應(yīng) 信信 號(hào)號(hào) 處處 理理 －－ 最最 優(yōu)優(yōu) 線線 性性 濾濾 波波 理理 論論4 ．幾種時(shí)間序列信號(hào)模型之間的聯(lián)系 任意 MA 序列可用無限階 AR 序列表示 ： 可 用階數(shù)足夠大的 AR 序列近似表示。 任意 AR MA 序列可用無限階 AR 序列表 示 ： 可 用階數(shù)足夠大的 AR 序列近似表示。 —— 即當(dāng)時(shí)間序列可用 MA 或 AR MA 模型表示時(shí)，他們也可用AR 序列表示。但用不同模型表示同一時(shí)間序列時(shí)的效率不同。 自自 適適 應(yīng)應(yīng) 信信 號(hào)號(hào) 處處 理理 －－ 最最 優(yōu)優(yōu) 線線 性性 濾濾 波波 理理 論論三、 狀態(tài)空間模型 線性時(shí)不變系統(tǒng)可以用一個(gè)高階 微 分方程描述 ， 也可以用 n 個(gè)一階 微 分方程描述 例 1 ．求右圖 R LC 網(wǎng)絡(luò)的數(shù)學(xué)模型。 解： （ 1 ）???????????idtduCuuiRdtdiLcic →icccuudtduRCdtudLC ?????22—— 二階微分方程 11)()()(2??????sRCsLCsUsUsTic （ 2 ）若 )( ti 、)( tu c的初值)( 0ti、)( 0tu c和0tt ?的輸入電壓)( tu i已知，則0tt ?時(shí)網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)可由 )( ti ，)( tu c決定 ∴ 設(shè) )( ti ，)( tu c為狀態(tài)變量 ? ?? ? ? ?? ?????????????????????????????????????????????????????????iccicuuiuuLuiCLLRcui01001011 自自 適適 應(yīng)應(yīng) 信信 號(hào)號(hào) 處處 理理 －－ 最最 優(yōu)優(yōu) 線線 性性 濾濾 波波 理理 論論線性時(shí)不變系統(tǒng)可以用一個(gè)高階差分方程描述 ： )()1()()1( 1111 zUzbzbzXzaza mmnn ???? ??????? ?? 也可以用 n 個(gè)一階差分方程描述： kkk uGxΦx ??? 1 白噪聲驅(qū)動(dòng)的線性系統(tǒng)的輸出 ? 時(shí)間序列 信號(hào) 模型 ? 狀態(tài)空間 信號(hào) 模型 ！ 動(dòng)態(tài)方程或消息模型（隨機(jī)動(dòng)態(tài)模型） ： kkkkk uGxΦx ??? 1 觀測(cè)方程 ： kkkkk wΓxHz ?? 其中kx和kz分別為狀態(tài)向量和觀測(cè)向量。kx的均值為0x、方差為0P；ku為策動(dòng)噪聲，kw為觀測(cè)噪聲，kx與kw不相關(guān)。 任何 AR M A 模型都可以表示為狀態(tài)空間模型。 在平穩(wěn)條件下，任何狀態(tài)空間模型的輸入輸出特性均可表示為 AR M A 模型。 自自 適適 應(yīng)應(yīng) 信信 號(hào)號(hào) 處處 理理 －－ 最最 優(yōu)優(yōu) 線線 性性 濾濾 波波 理理 論論四、 自相關(guān)函數(shù)、功率譜與時(shí)間序列信號(hào)模型的關(guān)系 1 ． 時(shí)間序列模型與功率譜的關(guān)系 (1) ARMA( m,n) ?)(?xS )()1()()1( 1111 zUzbzbzXzaza mmnn ???? ??????? ?? ?)()()( zUzHzX ? 而nnmmzazazbzbzAzBzH??????????????111111)()()( 由線性系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系，有 )()()()( 1 zUzHzHzS x ?? 由 tjez ??及2)(uuS ?? ?，有 2)()()(uTjTjx eHeHS ???? ?? （ * ） 可見 ARMA 信號(hào)模型的功率譜)(?xS是 Tje ?的有理函數(shù)，這種隨機(jī)過程叫有理譜過程。 自自 適適 應(yīng)應(yīng) 信信 號(hào)號(hào) 處處 理理 －－ 最最 優(yōu)優(yōu) 線線 性性 濾濾 波波 理理 論論(2) )(?xS? AR M A( m ,n) 若已知)(?xS，要將之表示為（ * ）式的乘積形式，這個(gè)過程被稱為譜分解。 一般情況下求譜分解并不容易，但若)(?xS為有理譜，則譜分解問題容易解決。 譜分解定理： 若功率譜)(?xS是平穩(wěn)隨機(jī)過程的有理譜，那么一定存在一個(gè)零極點(diǎn)都在單位圓內(nèi)的有理譜函數(shù)： ????????mkkknkkkzazbzAzBzH00)()()( 滿足21 )()()(ux zHzHzS ???，02 ?u?，式中ka、kb都是實(shí)數(shù)，且100 ?? ba。 自自 適適 應(yīng)應(yīng) 信信 號(hào)號(hào) 處處 理理 －－ 最最 優(yōu)優(yōu) 線線 性性 濾濾 波波 理理 論論2. 時(shí)間序列模型與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系 (1) 時(shí)間序列 ?)( kR x 如 AR(1) ：kkk uaxx ?? ? 1，10 ?? a 式中ku為零均值、12 ?u?的白噪聲。 假定00 ?x，可求 22||2( ) { }111x l k lkkkkR k E x xaaaaa????????????? 自自 適適 應(yīng)應(yīng) 信信 號(hào)號(hào) 處處 理理 －－ 最最 優(yōu)優(yōu) 線線 性性 濾濾 波波 理理 論論(2) . )( kR x? 時(shí)間序列 對(duì) ARMA( m,n) 模型兩邊分別乘以1?? nkx、2?? nkx、 … 、nkx 2?，取期望可得： nkiknRaknRnixix