【正文】 高中數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)思想方法匯總目錄（一）對(duì)高考中數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的思考……………………..第2頁(yè)（二）轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法…………………………………..第3頁(yè)（三）函數(shù)與方程的思想方法………………………………….第22頁(yè)（四）數(shù)形結(jié)合的思想方法…………………………………….第27頁(yè)（五）分類整合的思想方法…………………………………….第36頁(yè)（六）必然與或然的思想方法…………………………………第61頁(yè)（一） 對(duì)高考中的思想方法的思考一、高考復(fù)習(xí)中數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的必要性。高考試題重在考查對(duì)知識(shí)理解的準(zhǔn)確性、深刻性，重在考查知識(shí)的綜合靈活運(yùn)用。它著眼于知識(shí)點(diǎn)新穎巧妙的組合，試題新而不偏，活而不過(guò)難；著眼于對(duì)數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)能力的考查。高考試題這種積極導(dǎo)向，決定了我們?cè)诮虒W(xué)中必須以數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)知識(shí)、方法的運(yùn)用，整體把握各部分知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系。只有加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，優(yōu)化學(xué)生的思維，全面提高數(shù)學(xué)能力，才能提高學(xué)生解題水平和應(yīng)試能力。高考復(fù)習(xí)有別于新知識(shí)的教學(xué)。它是在學(xué)生基本掌握了中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)體系、具備了一定的解題經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上的復(fù)課數(shù)學(xué)，也是在學(xué)生基本認(rèn)識(shí)了各種數(shù)學(xué)基本方法、思維方法及數(shù)學(xué)思想的基礎(chǔ)上的復(fù)課數(shù)學(xué)。其目的在于深化學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解，完善學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)，在綜合性強(qiáng)的練習(xí)中進(jìn)一步形成基本技能，優(yōu)化思維品質(zhì)，使學(xué)生在多次的練習(xí)中充分運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法，提高數(shù)學(xué)能力。高考復(fù)習(xí)是學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)思想，熟練掌握數(shù)學(xué)方法理想的難得的教學(xué)過(guò)程。二、高考復(fù)習(xí)中數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的原則。１、把知識(shí)的復(fù)習(xí)與思想方法的培養(yǎng)同時(shí)納入教學(xué)目的原則。各章應(yīng)有明確的數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)目標(biāo)，教案中要精心設(shè)計(jì)思想方法的教學(xué)過(guò)程。２、寓思想方法的教學(xué)于完善學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)之中、于教學(xué)問(wèn)題的解決之中的原則。知識(shí)是思想方法的載體，數(shù)學(xué)問(wèn)題是在數(shù)學(xué)思想的指導(dǎo)下，運(yùn)用知識(shí)、方法“加工”的對(duì)象。皮之不存，毛將焉附？離開具體的數(shù)學(xué)活動(dòng)的思想方法的教學(xué)是不可能的。３、適當(dāng)章節(jié)的強(qiáng)化訓(xùn)練與貫通復(fù)課全程的反復(fù)運(yùn)用相結(jié)合的原則。數(shù)學(xué)思想方法與數(shù)學(xué)知識(shí)的共存性、數(shù)學(xué)思想對(duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)的指導(dǎo)作用、被認(rèn)知的思想方法只有在反復(fù)的運(yùn)用中才能被真正掌握這一教學(xué)規(guī)律，都決定了成功的思想方法和教學(xué)只能是有意識(shí)的貫通復(fù)課全程的教學(xué)。特別是有廣泛應(yīng)用性的數(shù)學(xué)思想的教學(xué)更是如此。如數(shù)形結(jié)合的思想，在數(shù)學(xué)的幾乎全部的知識(shí)中，處處以數(shù)學(xué)對(duì)象的直觀表象及深刻精確的數(shù)量表達(dá)這兩方面給人以啟迪，為問(wèn)題的解決提供簡(jiǎn)捷明快的途徑。它的運(yùn)用，往往展現(xiàn)出“柳暗花明又一村”般的數(shù)形和諧完美結(jié)合的境地。在某種思想方法應(yīng)用頻繁的章節(jié)，應(yīng)適當(dāng)強(qiáng)化這種思想方法的訓(xùn)練。如在數(shù)學(xué)歸納法一節(jié)，應(yīng)精心設(shè)計(jì)循序漸進(jìn)的組題，在問(wèn)題解決中提煉并明確總結(jié)聯(lián)合運(yùn)用不完全歸納法、數(shù)學(xué)歸納法解題這一思想方法，在學(xué)生能熟練運(yùn)用的基礎(chǔ)上，通過(guò)反復(fù)運(yùn)用，才能形成自覺(jué)運(yùn)用的意識(shí)。三、高考復(fù)習(xí)中數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的途徑。１、用數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)基礎(chǔ)復(fù)習(xí)，在基礎(chǔ)復(fù)習(xí)中培養(yǎng)思想方法?；A(chǔ)知識(shí)的復(fù)習(xí)中要充分展現(xiàn)知識(shí)形成發(fā)展過(guò)程，揭示其中蘊(yùn)涵的豐富的數(shù)學(xué)思想方法。如幾何體體積公式的推導(dǎo)體系，集公理化思想、轉(zhuǎn)化思想、等積類比思想及割補(bǔ)轉(zhuǎn)換方法之大成，就是這些思想方法靈活運(yùn)用的完美范例。只有通過(guò)展現(xiàn)體積問(wèn)題解決的思路分析，并同時(shí)形成系統(tǒng)的條理的體積公式的推導(dǎo)線索，才能把這些思想方法明確地呈現(xiàn)在學(xué)生的眼前。學(xué)生才能從中領(lǐng)悟到當(dāng)初數(shù)學(xué)家的創(chuàng)造思維進(jìn)程，這對(duì)激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造思維，形成數(shù)學(xué)思想，掌握數(shù)學(xué)方法的作用是不可低估的。注重知識(shí)在教學(xué)整體結(jié)構(gòu)中的內(nèi)在聯(lián)系，揭示思想方法在知識(shí)互相聯(lián)系、互相溝通中的紐帶作用。如函數(shù)、方程、不等式的關(guān)系，當(dāng)函數(shù)值等于、大于或小于一常數(shù)時(shí)，分別可得方程，不等式，聯(lián)想函數(shù)圖象可提供方程，不等式的解的幾何意義。運(yùn)用轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的思想，這三塊知識(shí)可相互為用。注意總結(jié)建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)體系中的教學(xué)思想方法，揭示思想方法對(duì)形成科學(xué)的系統(tǒng)的知識(shí)結(jié)構(gòu)，把握知識(shí)的運(yùn)用，深化對(duì)知識(shí)的理解等數(shù)學(xué)活動(dòng)中指導(dǎo)作用。如函數(shù)圖象變換的復(fù)習(xí)中，我把散見于二次函數(shù)、反函數(shù)、正弦型函數(shù)等知識(shí)中的平移、伸縮、對(duì)稱變換，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用化曲線間的關(guān)系為對(duì)應(yīng)動(dòng)點(diǎn)之間的關(guān)系的轉(zhuǎn)化思想及求相關(guān)動(dòng)點(diǎn)軌跡的方法統(tǒng)一處理，得出圖象變換的一般結(jié)論。深化學(xué)生圖象變換的認(rèn)識(shí)，提高了學(xué)生解決問(wèn)題的能力及觀點(diǎn)。２、用數(shù)學(xué)思想方法指導(dǎo)解題練習(xí)，在問(wèn)題解決中運(yùn)用思想方法，提高學(xué)生自覺(jué)運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法的意識(shí)。注意分析探求解題思路時(shí)數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用。解題的過(guò)程就是在數(shù)學(xué)思想的指導(dǎo)下，合理聯(lián)想提取相關(guān)知識(shí)，調(diào)用一定數(shù)學(xué)方法加工、處理題設(shè)條件及知識(shí)，逐步縮小題設(shè)與題斷間的差異的過(guò)程。也可以說(shuō)是運(yùn)用化歸思想的過(guò)程，解題思想的尋求就自然是運(yùn)用思想方法分析解決問(wèn)題的過(guò)程。注意數(shù)學(xué)思想方法在解決典型問(wèn)題中的運(yùn)用。如解題中求二面角大小最常用的方法之一就是：根據(jù)已知條件，在二面角內(nèi)尋找或作出過(guò)一個(gè)面內(nèi)一點(diǎn)到另一個(gè)面上的垂線，過(guò)這點(diǎn)再作二面角的棱的垂線，然后連結(jié)二垂足。這樣平面角即為所得的直角三角形的一銳角。這個(gè)通法就是在化立體問(wèn)題為平面問(wèn)題的轉(zhuǎn)化思想的指導(dǎo)下求得的。其中三垂線定理在構(gòu)圖中的運(yùn)用，也是分析，聯(lián)想等數(shù)學(xué)思維方法運(yùn)用之所得。調(diào)整思路，克服思維障礙時(shí)，注意數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用。通過(guò)認(rèn)真觀察，以產(chǎn)生新的聯(lián)想；分類討論，使條件確切，結(jié)論易求；化一般為特殊，化抽象為具體，使問(wèn)題簡(jiǎn)化等都值得我們一試。分析、歸納、類比等數(shù)學(xué)思維方法，數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想是走出思維困境的武器與指南。用數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)知識(shí)、方法的靈活運(yùn)用，進(jìn)行一題多解的練習(xí)，培養(yǎng)思維的發(fā)散性，靈活性，敏捷性；對(duì)習(xí)題靈活變通，引伸推廣，培養(yǎng)思維的深刻性，抽象性；組織引導(dǎo)對(duì)解法的簡(jiǎn)捷性的反思評(píng)估，不斷優(yōu)化思維品質(zhì)，培養(yǎng)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，批判性。對(duì)同一數(shù)學(xué)問(wèn)題的多角度的審視引發(fā)的不同聯(lián)想，是一題多解的思維本源。豐富的合理的聯(lián)想，是對(duì)知識(shí)的深刻理解，及類比、轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想運(yùn)用的必然。數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想的自覺(jué)運(yùn)用往往使我們運(yùn)算簡(jiǎn)捷、推理機(jī)敏，是提高數(shù)學(xué)能力的必由之路?！笆谥贼~，不如授之以漁”，方法的掌握，思想的形成，才能使學(xué)生受益終生。（二）轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法化歸與轉(zhuǎn)化的思想確是指在解決問(wèn)題時(shí)，采用某種手段使之轉(zhuǎn)化，進(jìn)而使問(wèn)題得到解決的一種解題策略，是數(shù)學(xué)學(xué)科與其它學(xué)科相比，一個(gè)特有的數(shù)學(xué)思想方法，化歸與轉(zhuǎn)化思想的核心是把生題轉(zhuǎn)化為熟題，將復(fù)雜問(wèn)題化歸為簡(jiǎn)單問(wèn)題，將較難問(wèn)題化為較易問(wèn)題，將未解決問(wèn)題化歸為已解決問(wèn)題。事實(shí)上，解題的過(guò)程就是一個(gè)縮小已知與求解的差異的過(guò)程，是求解系統(tǒng)趨近于目標(biāo)系統(tǒng)的過(guò)程，是未知向熟知轉(zhuǎn)化的過(guò)程，因此每解一道題，無(wú)論是難題還是易題，都離不開化歸。例如，對(duì)于立體幾何問(wèn)題，通常要轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題，對(duì)于多元問(wèn)題，要轉(zhuǎn)換為少元問(wèn)題，對(duì)于高次函數(shù)，高次方程問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為低次問(wèn)題，特別是熟悉的一次，二次問(wèn)題，對(duì)于復(fù)雜的式子，通過(guò)換元轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的式子問(wèn)題等等?；瘹w靈活性、多樣性，無(wú)統(tǒng)一模式，利用動(dòng)態(tài)思維，去尋找有利于問(wèn)題解決的變換途徑與方法。在高考中，對(duì)化歸思想的考查，總是結(jié)合對(duì)演繹證明，運(yùn)算推理，模式構(gòu)建等理性思維能力的考查進(jìn)行，因此可以說(shuō)高考中的每一道試題，都在考查化歸意識(shí)和轉(zhuǎn)化能力。高考重視常用變換方法：一般與特殊的轉(zhuǎn)化、繁與簡(jiǎn)的轉(zhuǎn)化、構(gòu)造轉(zhuǎn)化、命題的等價(jià)轉(zhuǎn)化。1. 轉(zhuǎn)化運(yùn)算．，則的最大值為（ ）A．1 B． C． D．2分析: 動(dòng)直線與函數(shù)和的圖像分別交于兩點(diǎn), 橫坐標(biāo)相同，那么就是縱坐標(biāo)之差，即求最值。解: 最大值為評(píng)注:審題要審準(zhǔn)，讀懂題意，將問(wèn)題學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化。例2．（2008湖北卷，理14）已知函數(shù),則 .分析：題目中的已知條件很容易求得，而所求的為可以轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列的前10項(xiàng)之和，根據(jù)公差，可以把前10項(xiàng)之和轉(zhuǎn)化為用表示出來(lái)，從而求得。解：由和知，=評(píng)注：仔細(xì)分析題目，把運(yùn)算進(jìn)行轉(zhuǎn)化，可以大大地節(jié)省時(shí)間，提高做題的效率。本題中把等差數(shù)列的前10項(xiàng)之和轉(zhuǎn)化為用表示出來(lái)，比較快捷，減少計(jì)算量。2．新定義運(yùn)算轉(zhuǎn)化為普通運(yùn)算例3．（2008山東省泰安市）如圖所示的韋恩圖中，A、B是非空集合，定義集合AB為陰影部分表示的集合．若， 則AB為（ ）A． B．C． D．分析：根據(jù)圖形語(yǔ)言可知定義的AB轉(zhuǎn)化為原有的運(yùn)算應(yīng)該是表示為，所以需要求出和，借助數(shù)軸求出并集與交集。0 1 2 x解：，則，根據(jù)新運(yùn)算，得AB=故選D答案：D評(píng)注：本題是集合中的新定義運(yùn)算題，綜合考查了圖形語(yǔ)言、集合的描述法表示，函數(shù)的定義域和值域，以及集合的交并補(bǔ)的運(yùn)算。解題的關(guān)鍵是由圖形語(yǔ)言把新定義運(yùn)算轉(zhuǎn)化為原有的普通運(yùn)算解出。例4．（2008山東省鄆城一中）定義一種運(yùn)算，令，且，則函數(shù)的最大值是（ ）A． B．1 C． D．分析：根據(jù)新定義，知要確定函數(shù)的解析式，需要比較與的大小關(guān)系，即需要求的取值范圍，另外，還要注意自變量的取值范圍，再確定的解析式，從而求出函數(shù)的最大值。解：設(shè)，∵，∴，∴，即，根據(jù)新定義的運(yùn)算可知，∴（）∴函數(shù)的最大值是，故選A答案：A評(píng)注：解決新定義問(wèn)題，首先要把定義讀懂理解透，把陌生的新內(nèi)容轉(zhuǎn)化為熟悉的已知的內(nèi)容，在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究熟悉的問(wèn)題。3．轉(zhuǎn)化函數(shù)關(guān)系例5．（2008山東卷，文15）已知，則的值等于 ．分析：本題中的函數(shù)不是以為整體，而是以為整體給出的解析式，所以要求函數(shù)值，需要先求關(guān)于的解析式，再代入求值。解：∵，∴，則評(píng)注：有些題目中往往所給的解析式不是關(guān)于的解析式，這時(shí)需要我們把解析式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，本題中先把函數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后進(jìn)行運(yùn)算。4．函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)之間的轉(zhuǎn)化例6．（2008湖北卷，理7）若上是減函數(shù)，則的取值范圍是 （ ）A. B. C. D. 分析：把已知條件函數(shù)在某區(qū)間上是單調(diào)減函數(shù)需要轉(zhuǎn)化為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在此區(qū)間上是恒負(fù)，再分化出，轉(zhuǎn)化為函數(shù)研究最值問(wèn)題解決。解：∵上是減函數(shù)，∴在上恒成立，即在上恒成立，設(shè)在上單調(diào)遞增，∴，∴當(dāng)時(shí)，在上恒成立，即上是減函數(shù)。故選C答案：C評(píng)注：函數(shù)的單調(diào)性通常轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷，而不等式恒成立又常常轉(zhuǎn)化為函數(shù)研究最值問(wèn)題，本題中還要注意做題的嚴(yán)密性，等號(hào)不能丟掉。例7．（2008福建卷，理12）已知函數(shù)y=f(x),y=g(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如下圖，那么y=f(x),y=g(x)的圖象可能是（ ）分析：注意觀察導(dǎo)函數(shù)的圖象以及原函數(shù)的圖象，并把所得到的信息轉(zhuǎn)化為原函數(shù)的信息，加以排除選擇。解：令，則，當(dāng)時(shí)，由圖象知，即，是增函數(shù)，則答案Ａ，Ｃ錯(cuò)，　當(dāng)時(shí)，即，是減函數(shù)，則答案Ｂ錯(cuò)，故選Ｄ．答案：Ｄ評(píng)注：對(duì)于由圖形給出的信息要從中提煉出來(lái)，并適當(dāng)?shù)赜脭?shù)學(xué)語(yǔ)言表述準(zhǔn)確，本題中的兩個(gè)函數(shù)可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)函數(shù)，進(jìn)行構(gòu)造，導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)轉(zhuǎn)化為原函數(shù)的增減。例8．（2009萊陽(yáng)模擬）一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖和側(cè)視圖是腰長(zhǎng)為4的兩個(gè)全等的等腰直角三角形．若該幾何體的體積為V，并且可以用n這樣的幾何體拼成一個(gè)棱長(zhǎng)為4的正方體，則V，n的值是（ ） A． B．C． D． 分析：由三視圖轉(zhuǎn)化為立體圖，再做解答。解：根據(jù)三視圖，可知此幾何體為一個(gè)如圖所示的四棱錐，其體積為，故選B 答案：B 評(píng)注：高考題注重對(duì)立體幾何中的三視圖的考查，一般是給出幾何體的三視圖，讓我們還原為立體圖，然后求出一些幾何量。例9．（2008山東淄博市模擬）一個(gè)幾何體的三視圖如下圖所示，其中正視圖中△是邊長(zhǎng)為的正三角形，俯視圖為正六邊形，那么該幾何體的側(cè)視圖的面積為（ ） BCDEFMNO 正視圖 側(cè)視圖 俯視圖 A． B． C． D．分析：先把三視圖還原為立體圖，再由立體圖進(jìn)行解答。解：有三視圖可知，此幾何體為正六棱錐，如圖，其中正視圖為，是正三角形，則，∴底面邊長(zhǎng)為1，側(cè)棱長(zhǎng)為2，則高為，設(shè)分別為的中點(diǎn)，則為側(cè)視圖，∴側(cè)視圖的面積為，故選。答案：評(píng)注：正確對(duì)待三視圖，要會(huì)還原為立體圖，找出相應(yīng)的量解出，注意對(duì)應(yīng)的量不能出錯(cuò)。6．極坐標(biāo)與參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程例10．（2008南通四縣）（坐標(biāo)系與參數(shù)方程）已知曲線C的極坐標(biāo)方程是．以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，直線l的參數(shù)方程是：，求直線l與曲線C相交所成的弦的弦長(zhǎng)．分析：本題既有參數(shù)方程又有極坐標(biāo)方程，用極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程研究弦長(zhǎng)問(wèn)題很難解決，可以轉(zhuǎn)化為普通方程求出。解：曲線C的極坐標(biāo)方程是化為直角坐標(biāo)方程為，即 直線l的參數(shù)方程，化為普通方程為x－y－1=0，曲線C的圓心（2，0）到直線l的距離為 所以直線l與曲線C相交所成的弦的弦長(zhǎng)=． 評(píng)注：研究極坐標(biāo)與參數(shù)方程問(wèn)題可以直接研究，也可以轉(zhuǎn)化為普通方程研究，特別是在研究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系時(shí)常常轉(zhuǎn)化為普通方程求出。7．函數(shù)、方程、不等式之間的轉(zhuǎn)化例11．（2009山東省濟(jì)寧市）若函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．分析:本題為三次函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則函數(shù)應(yīng)該有兩個(gè)極值點(diǎn)，一個(gè)極值為正，一個(gè)極值為負(fù)，所以要先求出其導(dǎo)數(shù)，再求其極值。解: 由函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn),則函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),且有,得,所以函數(shù)的兩個(gè)極值為和,結(jié)合圖象,應(yīng)該有∴,故選A答案:A評(píng)注:一般地對(duì)于高次函數(shù)來(lái)說(shuō)，要轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)研究問(wèn)題，特別是在研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等性質(zhì)時(shí)要用導(dǎo)數(shù)解決。例12．設(shè)函數(shù)為實(shí)數(shù)。（Ⅰ）已知函數(shù)在處取得極值，求的值； （Ⅱ）已