第六章習(xí)題a(117頁)(已修改)
2025-11-04 14:05 本頁面
【正文】 第六章習(xí)題 A（ 117頁） 1. 求下列矩陣的特征值和特征向量 : 4 6 0( 1 ) 3 5 0 3 6 1?????????A 解 A的特征多項(xiàng)式為 4 6 03 + 5 03 6 1?????? =(?1)(?2+?2)=(?1)2(?+2) 所以 A的特征值為 ?1=?2=1, ?3=2. 對 ?1=?2=1, 解方程 (EA)x=0, 由于 所以 k1?1+k2?2(k1k2≠0) 是屬于 ?1=?2=1的全部 特征向量 . 對 ?3=2, 解方程 (2EA)x=0, 由于 6 6 0 2 3 3 03 6 3??????????EA1 0 10 1 10 0 0??????????得同解方程 x1+2x2=0,基礎(chǔ)解系為 ?1=(0,0,1)T,?2=(2,1,0)T. 3 6 03 6 03 6 0????????????EA1 2 0000000?????????得方程組 (2EA)x=0的基礎(chǔ)解系為 ?3=(1, 1, 1)T. 所以 k?3(k≠0) 是屬于 ?3=2的全部 特征向量 . 0 0 1( 2 ) 0 1 01 0 0?????????A 解 A的特征多項(xiàng)式為 010 1 010?????? = ?2(?1)(?1)=(?1)2(?+1) 所以 A的特征值為 ?1=?2=1, ?3=1. 對 ?1=?2=1, 解方程 (EA)x=0, 由于 1 0 10001 0 1????????????EA1 0 10 0 00 0 0??????????所以 k1?1+k2?2(k1k2≠0) 是屬于 ?1=?2=1的全部 特征向量 . 對 ?3=1, 解方程 (EA)x=0, 由于 1 0 1 0 2 01 0 1??????? ? ???????EA1 0 10 1 0000?????????得同解方程 x1x3=0,基礎(chǔ)解系為 ?1=(0, 1, 0)T,?2=(1, 0, 1)T. 得方程組 (EA)x=0的基礎(chǔ)解系為 ?3=(1, 0, 1)T. 所以 k?3(k≠0) 是屬于 ?3=2的全部 特征向量 . 1 3 1 20 1 3 3( 3 )0 0 2 50 0 0 2??????????????A 解 因?yàn)?A是三角方陣 , 所以 A的特征值為 : ?1=1, ?2=1, ?3=?3=2 對 ?1=1, 解方程 (EA)x=0, 由于 0 3 1 20 2 3 30 0 1 50 0 0 1? ? ??????????? ?????EA0 1 0 00 0 1 00 0 0 10000?????????????所以 , 解方程 (EA)x=0的一個基礎(chǔ)解系為 ?1=(1, 0, 0, 0)T. 對 ?2=1, 解方程 (EA)x=0, 由于 2 3 1 20 0 3 30 0 3 50 0 0 3? ? ? ???????? ? ??? ?????EA2 3 0 00 0 1 00 0 0 10 0 0 0?????????????所以 , 方程 (EA)x=0的一個基礎(chǔ)解系為 ?2=(3,2, 0, 0)T. 1 3 1 20 3 3 320 0 0 50 0 0 0? ? ??????????? ???EA1 0 4 00 1 1 00 0 0 10 0 0 0???????????????由于 所以 , 方程 (2EA)x=0的一個基礎(chǔ)解系為 ?3=(4,1, 1, 0)T. 2 1 1( 4 ) 2 5 13 2 5???????????A 解 矩陣 A的特征多項(xiàng)式為 : 解方程 (4EA)x=0, 由于 所以 A的特征值為 : ?1=?2=?3=4 2 1 12 5 13 2 5???? ? ?????2 1 14 4 03 2 5????? ? ?? ? ???3 1 14 01 2 5???? ? ????? =(?4)(?28?+16)=(?4)3 2 1 14 2 1 1321??????? ? ? ???????EA1 0 10 1 10 0 0???????????得方程組 (4EA)x=0的基礎(chǔ)解系為 ?=(1, 1, 1)T. 所以 k? (k≠0) 是屬于 ?=4的全部 特征向量 . 2. 上題中的哪些矩陣能與對角矩陣相似 ? 在能與對角矩陣相似時 , 求出所用的相似變換矩陣和對角矩陣 . 解 (1), (2)中矩陣 A能與對角矩陣相似 . 0 2 1 1( 1 ) 0 1 1 , 11 0 1 2??? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?1P P A P3. 求正交相似變換矩陣 , 將下列實(shí)對稱矩陣化為對角矩陣 . 解 A的特征多項(xiàng)式為 0 1 1 1( 2 ) 1 0 0 , 10 1 1 1?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?1P P A P3 2 0( 1 ) 2 2 20 2 1?????????A3 2 02 2 20 2 1?????? ? ???=(?3)(?2)(?1)4(2?4) =(?2)(?24?5) =(?2)(?+1)(?5) 所以 A的特征值為 : ?1=2, ?2=1, ?3=5 由于 1 2 02 2 0 20 2 1??????? ? ? ??????EA于是 , 方程組 (2EA)x=0的一個基礎(chǔ)解系為 ?1=(2, 1, 2)T. 1 2 00 2 1000??????????所以得屬于 ?1=2的單位特征向量 ?1=(2/3, 1/3, 2/3)T. 4 2 02 3 20 2 2??????? ? ? ? ? ???????EA12100 1 10 0 0?????? ????于是 , 方程組 (EA)x=0的一個基礎(chǔ)解系為
教學(xué)課件相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1