數(shù)學(xué)建模-零件參數(shù)的優(yōu)化設(shè)計(jì)(已修改)
2025-04-19 02:42 本頁(yè)面
【正文】 零件參數(shù)的優(yōu)化設(shè)計(jì)摘 要本文建立了一個(gè)非線性多變量?jī)?yōu)化模型。已知粒子分離器的參數(shù)y由零件參數(shù)決定，參數(shù)的容差等級(jí)決定了產(chǎn)品的成本?？傎M(fèi)用就包括y偏離y0造成的損失和零件成本。問(wèn)題是要尋找零件的標(biāo)定值和容差等級(jí)的最佳搭配，使得批量生產(chǎn)中總費(fèi)用最小。我們將問(wèn)題的解決分成了兩個(gè)步驟：，在確定容差等級(jí)的情況下，尋找最佳標(biāo)定值。，尋找最佳組合，使得在某個(gè)標(biāo)定值下，總費(fèi)用最小。在第二步中，由于容差等級(jí)組合固定為108種，所以只要在第一步的基礎(chǔ)上，遍歷所有容差等級(jí)組合即可。但是，這就要求，在第一步的求解中，需要一個(gè)最佳的模型使得求解效率盡可能的要高，只有這樣才能盡量節(jié)省計(jì)算時(shí)間。經(jīng)過(guò)對(duì)模型以及matlab代碼的綜合優(yōu)化。最終計(jì)算出的各個(gè)零件的標(biāo)定值為：={,,},等級(jí)為：一臺(tái)粒子分離器的總費(fèi)用為：與原結(jié)果相比較，（元/個(gè)）（元/個(gè)），%，結(jié)果是令人滿意的。為了檢驗(yàn)結(jié)果的正確性，我們用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的方式對(duì)模型的最優(yōu)解進(jìn)行模擬檢驗(yàn)，模擬結(jié)果與模型求解的結(jié)果基本吻合。最后，我們還對(duì)模型進(jìn)行了誤差分析，給出了改進(jìn)方向，使得模型更容易推廣。關(guān)鍵字：零件參數(shù) 非線性規(guī)劃 期望 方差一、問(wèn)題重述一件產(chǎn)品由若干零件組裝而成，標(biāo)志產(chǎn)品性能的某個(gè)參數(shù)取決于這些零件的參數(shù)。零件參數(shù)包括標(biāo)定值和容差兩部分。進(jìn)行成批生產(chǎn)時(shí)，標(biāo)定值表示一批零件該參數(shù)的平均值，容差則給出了參數(shù)偏離其標(biāo)定值的容許范圍。若將零件參數(shù)視為隨機(jī)變量，則標(biāo)定值代表期望值，在生產(chǎn)部門無(wú)特殊要求時(shí)，容差通常規(guī)定為均方差的３倍。 進(jìn)行零件參數(shù)設(shè)計(jì)，就是要確定其標(biāo)定值和容差。這時(shí)要考慮兩方面因素：一是當(dāng)各零件組裝成產(chǎn)品時(shí)，如果產(chǎn)品參數(shù)偏離預(yù)先設(shè)定的目標(biāo)值，就會(huì)造成質(zhì)量損失，偏離越大，損失越大；二是零件容差的大小決定了其制造成本，容差設(shè)計(jì)得越小，成本越高。 試通過(guò)如下的具體問(wèn)題給出一般的零件參數(shù)設(shè)計(jì)方法。 粒子分離器某參數(shù)（記作y）由7個(gè)零件的參數(shù)（記作x1,x2,...,x7）決定，經(jīng)驗(yàn)公式為：y的目標(biāo)值（記作y0）。當(dāng)y偏離y0+，產(chǎn)品為次品，質(zhì)量損失為1,000元；當(dāng)y偏離y0+，產(chǎn)品為廢品，損失為9,000元。零件參數(shù)的標(biāo)定值有一定的容許范圍；容差分為Ａ、Ｂ、Ｃ三個(gè)等級(jí)，用與標(biāo)定值的相對(duì)值表示，Ａ等為+1%，Ｂ等為+5%，Ｃ等為+10%。7個(gè)零件參數(shù)標(biāo)定值的容許范圍，及不同容差等級(jí)零件的成本（元）如下表（符號(hào)／表示無(wú)此等級(jí)零件）：標(biāo)定值容許范圍Ｃ等Ｂ等Ａ等x1[,]／25／x2[,]2050／x3[,]2050200x4[,]50100500x5[,]50／／x6[12,20]1025100x7[,]／25100現(xiàn)進(jìn)行成批生產(chǎn)，每批產(chǎn)量1,000個(gè)。在原設(shè)計(jì)中，7個(gè)零件參數(shù)的標(biāo)定值為：x1=,x2=,x3=,x4=,x5=,x6=16,x7=。容差均取最便宜的等級(jí)。請(qǐng)你綜合考慮y偏離y0造成的損失和零件成本，重新設(shè)計(jì)零件參數(shù)（包括標(biāo)定值和容差），并與原設(shè)計(jì)比較，總費(fèi)用降低了多少？二、模型假設(shè)將各零件參數(shù)視為隨機(jī)變量，且各自服從正態(tài)分布；假設(shè)組成離子分離器的各零件互不影響，即各零件參數(shù)互相獨(dú)立；假設(shè)小概率事件不可能發(fā)生，即認(rèn)為各零件參數(shù)只可能出現(xiàn)在容許范圍內(nèi)；在大批量生產(chǎn)過(guò)程中，整批零件都處于同一等級(jí)。本題可認(rèn)為1000各零件都為A等、B等或C等；生產(chǎn)過(guò)程中出質(zhì)量損失外無(wú)其他形式的損失；在質(zhì)量損失計(jì)算過(guò)程中，認(rèn)為所有函數(shù)都是連續(xù)可導(dǎo)的。三、符號(hào)說(shuō)明：第i類零件參數(shù)的標(biāo)定值（i=1,2……7）；：第i類零件參數(shù)的實(shí)際值相對(duì)目標(biāo)值的偏差（i=1,2……7）；：第i類零件參數(shù)的容差（i=1,2,……7）；：第i類零件參數(shù)的方差（i=1,2,……7）；：標(biāo)定值的上、下限；y：離子分離器某參數(shù)的實(shí)際值；：離子分離器該參數(shù)的目標(biāo)值；：離子分離器某參數(shù)的均值；：離子分離器某參數(shù)的實(shí)際值y相對(duì)平均值的偏差；：離子分離器某參數(shù)的方差；:一批產(chǎn)品中正品的概率；:一批產(chǎn)品中次品的概率； :一批產(chǎn)品中廢品的概率；：一批產(chǎn)品的總費(fèi)用（包括損失和成本費(fèi)）；：第i類零件對(duì)應(yīng)容差等級(jí)為j的成本（j=A,B,C） 單位：元/個(gè)。四、問(wèn)題分析最 優(yōu) 解總費(fèi)用 損失費(fèi) 成本費(fèi) 次品率 廢品率 服從正態(tài)分布 容差等級(jí) 服從正 容差態(tài)分布 泰勒公式將 期 望 方 差 其線性化 該問(wèn)題是一定約束條件下的最優(yōu)化問(wèn)題，經(jīng)分析題意，擬建立以總費(fèi)用為目標(biāo)函數(shù)的非線性規(guī)劃模型。總費(fèi)用由損失費(fèi)和成本費(fèi)兩部分組成，零件成本由簡(jiǎn)單的線性代數(shù)式?jīng)Q定，而損失費(fèi)涉及概率分布的非線性函數(shù)。要求出損失費(fèi)，就必須知道一批產(chǎn)品的次品率和廢品率，結(jié)合各類零件都服從，可假設(shè)y也服從正態(tài)分布，聯(lián)想正態(tài)分布的性質(zhì)——當(dāng)各變量均服從正態(tài)分布時(shí)，其線性組合也服從正態(tài)分布。題中所給經(jīng)驗(yàn)公式為一復(fù)雜的非線性的公式，無(wú)法直接對(duì)其分析處理，所以需借助泰勒公式將其展開(kāi)并作相應(yīng)處理使其線性化。而對(duì)于零件成本，需先確定容差等級(jí)才能求得成本費(fèi)。由容差等級(jí)和各類零件的標(biāo)定值便可知道給類零件的容差。最后，便將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為、關(guān)于總目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解的問(wèn)題上。在進(jìn)行零件參數(shù)設(shè)計(jì)時(shí)，如果零件設(shè)計(jì)不妥，造成產(chǎn)品參數(shù)偏離預(yù)先設(shè)定值，就會(huì)造成
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