數(shù)學(xué)二次函數(shù)與存在相似三角形(已修改)
2025-04-16 04:23 本頁面
【正文】 二次函數(shù)與存在相似三角形（紅河）如圖，拋物線與軸交于A、B兩點(diǎn)，與軸交于C點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線上的一個動點(diǎn)且在第一象限，過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為D，交直線BC于點(diǎn)E．（1）求點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)和直線BC的解析式；（2）求△ODE面積的最大值及相應(yīng)的點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）是否存在以點(diǎn)P、O、D為頂點(diǎn)的三角形與△OAC相似？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．解：（1）在y=﹣x2+4中，當(dāng)y=0時，即﹣x2+4=0，解得x=177。2．當(dāng)x=0時，即y=0+4，解得y=4．∴點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)依次是A（﹣2，0）、B（2，0）、C（0，4）．設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0），則，解得．所以直線BC的解析式為y=﹣2x+4．（2）∵點(diǎn)E在直線BC上，∴設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x，﹣2x+4），則△ODE的面積S可表示為：．∴當(dāng)x=1時，△ODE的面積有最大值1．此時，﹣2x+4=﹣21+4=2，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，2）．（3）存在以點(diǎn)P、O、D為頂點(diǎn)的三角形與△OAC相似，理由如下：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，﹣x2+4），0＜x＜2．因?yàn)椤鱋AC與△OPD都是直角三角形，分兩種情況：①當(dāng)△PDO∽△COA時，，解得，（不符合題意，舍去）．當(dāng)時，．此時，點(diǎn)P的坐標(biāo)為．②當(dāng)△PDO∽△AOC時，，解得，（不符合題意，舍去）．當(dāng)時，=．此時，點(diǎn)P的坐標(biāo)為．綜上可得，滿足條件的點(diǎn)P有兩個：，．1. (2014?東營T25)如圖，直線y=2x+2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，把△AOB沿y軸翻折，點(diǎn)A落到點(diǎn)C，過點(diǎn)B的拋物線y=﹣x2+bx+c與直線BC交于點(diǎn)D（3，﹣4）．（1）求直線BD和拋物線的解析式；（2）在第一象限內(nèi)的拋物線上，是否存在一點(diǎn)M，作MN垂直于x軸，垂足為點(diǎn)N，使得以M、O、N為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似？若存在，求出M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；（3）在直線BD上方的拋物線上有一動點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PH垂直于x軸，交直線BD于點(diǎn)H，當(dāng)四邊形BOHP是平行四邊形時，試求動點(diǎn)P的坐標(biāo)．解：（1）∵y=2x+2，∴當(dāng)x=0時，y=2， ∴B（0，2）．當(dāng)y=0時，x=﹣1， ∴A（﹣1，0）．∵拋物線y=﹣x2+bx+c過點(diǎn)B（0，2），D（3，﹣4），∴ 解得， ∴y=﹣x2+x+2；設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b，由題意，得，解得，∴直線BD的解析式為：y=﹣2x+2；（2）存在．如圖1，設(shè)M（a，﹣a2+a+2）．∵M(jìn)N垂直于x軸， ∴MN=﹣a2+a+2，ON=a．∵y=﹣2x+2， ∴y=0時，x=1，∴C（1，0）， ∴OC=1．∵B（0，2）， ∴OB=2．
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