【正文】 大 學(xué) 物 理 學(xué)(上冊(cè))習(xí)題解答陜西師范大學(xué)物理學(xué)與信息技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)物理教學(xué)組2006626第2章 運(yùn)動(dòng)學(xué)2－1 一質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程為 , x以m計(jì)，t以s計(jì)。試求：（1）質(zhì)點(diǎn)從t = 0到t = 3 s時(shí)間內(nèi)的位移；（2）質(zhì)點(diǎn)在t = 0到t = 3 s時(shí)間內(nèi)所通過(guò)的路程解 （1）t = 0時(shí)，x0 = 2 ；t =3時(shí)，x3 = －1；所以， （2）本題需注意在題設(shè)時(shí)間內(nèi)運(yùn)動(dòng)方向發(fā)生了變化。對(duì)x求極值，并令 可得t = 1s ,即質(zhì)點(diǎn)在t = 0到t = 1s內(nèi)沿x正向運(yùn)動(dòng)，然后反向運(yùn)動(dòng)。分段計(jì)算 ， 路程為 2－2 已知質(zhì)點(diǎn)沿x軸作直線運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程為。試求：（1）質(zhì)點(diǎn)在最初4s內(nèi)位移；（2）質(zhì)點(diǎn)在最初4s時(shí)間內(nèi)所通過(guò)的路程解 （1）t = 0時(shí)，x0 = 2 ；t = 4時(shí)，x4 = －30所以，質(zhì)點(diǎn)在最初4s內(nèi)位移的大小 （2）由 可求得在運(yùn)動(dòng)中質(zhì)點(diǎn)改變運(yùn)動(dòng)方向的時(shí)刻為 t1 = 2 s , t2 = 0 (舍去)則 ，所以，質(zhì)點(diǎn)在最初4 s時(shí)間間隔內(nèi)的路程為 2－3 在星際空間飛行的一枚火箭，當(dāng)它以恒定速率燃燒它的燃料時(shí)，其運(yùn)動(dòng)方程可表示為 ，其中是噴出氣流相對(duì)于火箭體的噴射速度， 是與燃燒速率成正比的一個(gè)常量。試求：（1）t = 0時(shí)刻，此火箭的速度和加速度；（2）t = 120 s時(shí)，此火箭的速度和加速度解 ；（1）t = 0時(shí)， v = 0 ，（2）t = 120s時(shí)， vxlv0h2－4 如圖所示，湖中有一只小船，岸上有人用繩跨過(guò)定滑輪拉船靠岸。設(shè)滑輪距水面高度為h ，t = 0時(shí)，船與滑輪間的繩長(zhǎng)為l0 。試求：當(dāng)人以勻速v0拉繩時(shí)，船在距岸邊x處的速度和加速度。解 （1） 設(shè)任意時(shí)刻 t ，繩長(zhǎng)為l，由題意；船到岸邊的水平距離為x ，則 小船的運(yùn)動(dòng)速度為 負(fù)號(hào)表示小船在水面上向岸靠近。小船的運(yùn)動(dòng)速度為 負(fù)號(hào)表示加速度的方向指向岸邊，小船在水面上加速靠岸。2－5 一升降機(jī)以加速度上升，當(dāng)上升速度為時(shí)，有一螺絲從升降機(jī)的天花板上松脫， m 。計(jì)算：（1）螺絲從升降機(jī)的天花板落到底面所需要的時(shí)間；（2）螺絲相對(duì)升降機(jī)外固定柱子的下降距離 .解 （1）以地面為參考系，取Oy坐標(biāo)軸向上 ，升降機(jī)的運(yùn)動(dòng)方程為 螺絲的運(yùn)動(dòng)方程為 當(dāng)螺絲落至底面時(shí)，有 y1 = y2 ,即 所以 (2)螺絲相對(duì)升降機(jī)外固定柱子下降的距離為 2－6 已知一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為 (SI)。試求：（1）質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡；（2）t = 1s和t = 2 s時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)的位置矢量；（3）1s末和2 s末質(zhì)點(diǎn)的速度；（4）質(zhì)點(diǎn)的加速度。解 （1）質(zhì)點(diǎn)在x 、y方向運(yùn)動(dòng)方程的分量形式為 x = 2t ， y = 2－t 2消去時(shí)間t , 可得 其運(yùn)動(dòng)軌跡為一拋物線（2）時(shí) ；時(shí) （3）質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度 v 時(shí) v1即 ，（q1為v1與x 軸的夾角） 時(shí) v2即 ，（q2為v2與x 軸的夾角）（4）質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的加速度 2－7 一質(zhì)點(diǎn)在Oxy平面上運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程為 試求：（1）質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程；（2）質(zhì)點(diǎn)的速度、加速度。解 （1） 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程的分量式為，消去時(shí)間參數(shù)t，可得運(yùn)動(dòng)的軌跡方程 （2）速度 v加速度 2－8 一質(zhì)點(diǎn)在Oxy平面上運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程為試求質(zhì)點(diǎn)在5s時(shí)的速度和加速度 。解 速度 v加速度 t = 5 s時(shí)的速度為 加速度 2－9 一質(zhì)點(diǎn)從坐標(biāo)原點(diǎn)開(kāi)始沿拋物線 y = x2 運(yùn)動(dòng)，它在Ox軸上分速度為一恒量，試求：（1）質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程；（2）質(zhì)點(diǎn)位于x = 2 m處的速度和加速度 。解 （1）因?yàn)槌?shù)，故ax = 0 。當(dāng)t = 0時(shí)，x = 0 ，可得質(zhì)點(diǎn)在x方向的運(yùn)動(dòng)方程為 又由質(zhì)點(diǎn)的拋物線方程，有 所以 （2）任意時(shí)刻 ； 由和x = 2，可得 t = s所以，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)位于x = m時(shí)，其速度 ，加速度 2－10 一汽艇以速率沿直線行駛。發(fā)動(dòng)機(jī)關(guān)閉后，汽艇因受到阻力而具有與速度v 成正比且方向相反的加速度，其中k為常數(shù)。試求發(fā)動(dòng)機(jī)關(guān)閉后，（1）任意時(shí)刻t汽艇的速度；（2）汽艇能滑行的距離。解 本題注意根據(jù)已知條件在計(jì)算過(guò)程中進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖兞孔儞Q。（1）由 ， 得 （2）因?yàn)? ， 所以 發(fā)動(dòng)機(jī)關(guān)閉后汽艇能滑行的距離為 2－11 一物體沿x軸作直線運(yùn)動(dòng)，其加速度為，k是常數(shù)。在t = 0時(shí)。試求（1）速率隨坐標(biāo)變化的規(guī)律；（2）坐標(biāo)和速率隨時(shí)間變化的規(guī)律。解 本題注意變量變換。（1）因?yàn)? ； 所以 （2）因?yàn)? ， 可得 又因?yàn)? ， 所以 2－12 一質(zhì)點(diǎn)沿 x 軸作直線運(yùn)動(dòng)，其速度大小，（SI制）。質(zhì)點(diǎn)的初始位置在 x 軸正方向10 m處，試求：（1）時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的加速度；（2）質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程；（3）第二秒內(nèi)的平均速度。解 根據(jù)題意可知，時(shí)， ，（1）質(zhì)點(diǎn)的加速度 時(shí)， （2） 由 兩邊積分 因此，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為 （3）第二秒內(nèi)的平均速度為 2－13 質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)，軌道半徑r = m，以角量表示的運(yùn)動(dòng)方程為 （SI）。試求：（1）第3s末的角速度和角加速度；（2）第3s 末的切向加速度和法向加速度的大小。解 （1）因?yàn)? 故 ， 以t = 3s代入， ，（2） ， 2－14 一質(zhì)點(diǎn)在半徑為r = ，其角位置為。（1）在 t = ，質(zhì)點(diǎn)的法向加速度和切向加速度各為多少？（2）t為多少時(shí)，法向加速度和切向加速度的量值相等？解 (1)由于，則 ，法向加速度 切向加速度 t = ， （2）要使,則有 所以 t = s2－15 一汽車(chē)發(fā)動(dòng)機(jī)曲軸的轉(zhuǎn)速，在12 s內(nèi)由20 r/s均勻地增加到45 r/s 。試求：（1）發(fā)動(dòng)機(jī)曲軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度；（2）在這段時(shí)間內(nèi)，曲軸轉(zhuǎn)過(guò)的圈數(shù)。解 （1）由于角速度（n為單位時(shí)間內(nèi)的轉(zhuǎn)數(shù)），根據(jù)角加速度的定義，在勻速轉(zhuǎn)動(dòng)中角加速度為 （2）發(fā)動(dòng)機(jī)曲軸轉(zhuǎn)過(guò)的角度為 在12 s內(nèi)曲軸轉(zhuǎn)過(guò)的圈數(shù)為 圈2－16 某種電機(jī)啟動(dòng)后轉(zhuǎn)速隨時(shí)間變化的關(guān)系為，式中。求：（1) t = 6 s時(shí)的轉(zhuǎn)速；(2) 角加速度隨時(shí)間變化的規(guī)律；(3) 啟動(dòng)后6 s內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的圈數(shù)。解 (1)根據(jù)題意，將t = 6 s代入，即得 （2）角加速度隨時(shí)間變化的規(guī)律為 （3）t = 6 s時(shí)轉(zhuǎn)過(guò)的角度為 則t = 6 s時(shí)電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)過(guò)的圈數(shù) 圈2－17 半徑為r = ，其角速度與時(shí)間的平方成正比，在t = 2 s時(shí)，測(cè)得輪緣上一點(diǎn)的速度值為。求：（1）該輪在t′ = ，輪緣上一點(diǎn)的切向加速度和總加速度；（2）該點(diǎn)在2s內(nèi)所轉(zhuǎn)過(guò)的角度。解 由題意 ，因ωR = v ,可得比例系數(shù) 所以 (1) 則t′= ，角速度為 角加速度 切向加速度 總加速度 (2) 在2 s內(nèi)該點(diǎn)所轉(zhuǎn)過(guò)的角度 2－18 一質(zhì)點(diǎn)在水平面內(nèi)以順時(shí)針?lè)较蜓匕霃綖? m 的圓形軌道運(yùn)動(dòng)。已知質(zhì)點(diǎn)的角速度與時(shí)間的平方成正比，即（SI制）。式中k為常數(shù)。已知質(zhì)點(diǎn)在第2 s末的速度為32 m /s 。試求t = s時(shí)質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度。解 首先確定常數(shù)k 。已知t = 2 s時(shí)，v = 32 m/s , 則有 故 ，當(dāng)t ＝ s ， ， ，2－19 由山頂上以初速度v0水平拋出一小球，若取山頂為坐標(biāo)原點(diǎn)，沿v0方向?yàn)閤 軸正方向，豎直向下為 y 軸正方向，從小球拋出瞬間開(kāi)始計(jì)時(shí)。試求：（1）小球的軌跡方程；（2）在t 時(shí)刻，小球的切向加速度和法向加速度。解 （1）小球在x軸作勻速直線運(yùn)動(dòng) ， y軸上作自由落體 上述兩方程聯(lián)立消t，可得小球的軌跡方程 （2） ， t時(shí)刻，小球的速率 t時(shí)刻，小球的切向加速度 因?yàn)? ，所以，法向加速度 2－20 已知聲音在空氣中傳播的速率為344 m/s 。當(dāng)正西方向的風(fēng)速為30 m/s時(shí)，聲音相對(duì)于地面向東、向西和向北傳播的速率各是多大？ 解 ， 向東傳播的聲音的速率 向西傳播的聲音的速率 向北傳播的聲音的速率 2－21 一架飛機(jī)從A處向東飛到B處，然后又向西飛回到A處。 已知A、B間的距離為l，空氣相對(duì)地面的速率為u，飛機(jī)相對(duì)空氣的速率v ’ 保持不變。試證：（1）假定空氣是靜止的（即u＝0），飛機(jī)往返飛行時(shí)間為；（2）假定空氣的速度方向向東，飛機(jī)往返飛行時(shí)間為；（3）假定空氣的速度方向向北，飛機(jī)往返飛行的時(shí)間為。試證：由速度關(guān)系 v = u + v162。 （1）u＝0時(shí)，飛機(jī)往返飛行時(shí)間為 （2）空氣相對(duì)地面的速度為u向東，從A 174。 B 所需時(shí)間為從B 174。 A 所需時(shí)間為所以，飛機(jī)往返飛行時(shí)間為 （3）空氣相對(duì)地面的速度為u向北，如圖2－21所示，vv162。u( a )Avv162。u( b )B習(xí)題 2－21從A 174。 B，飛機(jī)相對(duì)地面的速度為；從B 174。 A飛機(jī)相對(duì)地面的速度的大小與從A 174。 B等值，但方向相反。所以，飛機(jī)往返飛行的時(shí)間為第3章 牛頓定律及其內(nèi)在隨機(jī)性31 一木塊能在與水平面成q 角的斜面上勻速下滑。若使它以速率v0沿此斜面向上滑動(dòng)，試證明它能沿該斜面向上滑動(dòng)的距離為 v02/（4gsinθ）。上滑fmgN下滑fmgN解 選定木塊為研究對(duì)象，取沿斜面向上為x軸正向， 下滑 （1）上滑 （2）由式（2）知，加速度為一常量，有 （3）解上述方程組，可得木塊能上滑的距離 32 在一水平直路上，一輛車(chē)速的汽車(chē)的剎車(chē)距離為s = 35 m 。如果路面相同，只是有1:10的下降斜度，這輛汽車(chē)的剎車(chē)距離將變?yōu)槎嗌?？解?在水平路上為定值，則 ，而 所以 設(shè)斜面夾角為a，剎車(chē)距離為，加速度為，則 所以 代入已知數(shù)值，注意sina = ,可得 33 如圖所示，質(zhì)量m = 。mgNT（1）當(dāng)斜面以加速度a = ，繩中的張力及小球?qū)π泵娴恼龎毫Ω魇嵌啻螅浚?）當(dāng)斜面的加速度至少為多大時(shí)，小球?qū)⒚撾x斜面？解：(1)對(duì)小球 x向： y向： 可得 小球?qū)π泵娴膲毫? （2）小球剛要脫離斜面時(shí)N = 0，則 ， 由此二式可解得 34 在水平面上一輛汽車(chē)以速率v行駛，當(dāng)汽車(chē)與前面一堵墻相距為d時(shí)，司機(jī)才發(fā)現(xiàn)自己必須制動(dòng)或拐彎。設(shè)車(chē)輛與地面之間的靜摩擦系數(shù)為ms .問(wèn)若司機(jī)制動(dòng)停車(chē)（不拐彎），他需要的最小距離d1為多大？若他不制動(dòng)而作90o拐彎（作圓弧形行駛），他需要的最小距離d2又有多大？哪種辦法最安全？解：汽車(chē)制動(dòng)時(shí)，受到摩擦力作用，作勻減速直線運(yùn)動(dòng)，在拐彎情況下，汽車(chē)作圓周運(yùn)動(dòng)，摩擦力提供向心力。通過(guò)求出兩種情況下汽車(chē)制動(dòng)的距離，比較可以知道第一種方法更安全。設(shè)汽車(chē)質(zhì)量為m加速度為a，則在制動(dòng)時(shí)有 ，所以 若不制動(dòng)而拐彎，則有 所以 由于d1 d2 可知制動(dòng)安全。35 月球的質(zhì)量是地球的，月球的半徑為地球半徑的 。不計(jì)自轉(zhuǎn)的影響，試計(jì)算地球上體重600N的人在月球上時(shí)體重多大？解： 因?yàn)榈厍蛏先梭w重為 所以月球上體重為 36 103kg的火箭，176。傾角的發(fā)射架上， kN作用于火箭，火箭軌跡始終與地面成 176。的夾角。，計(jì)算此時(shí)火箭的高度及距發(fā)射點(diǎn)的距離（忽略燃料質(zhì)量和空氣阻力）。解 同理 火箭距發(fā)射點(diǎn)O的距離為 fNm37 在光滑水平面上固定了一個(gè)半徑為R的圓環(huán)，一個(gè)質(zhì)量為m的物體A以初速度為v0靠圓環(huán)內(nèi)壁作圓周運(yùn)動(dòng)，物體與環(huán)壁的摩擦系數(shù)為m，試求物體A任意時(shí)刻的速率v？解：選取自然坐標(biāo), 切向 法向，而 ，所以