【正文】 . . 高中數(shù)學(xué)知識點總結(jié) 1. 對于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的 “確定性、互異性、無序性 ”。 如：集合 A = { x | y = lg x} ， B = { y | y = lg x} ， C = {( x , y )| y = lg x} ， A、 B 、 C 中元素各表示什么？ 2. 進(jìn)行集合的交、并、補運算時，不要忘記集合本身和空集 ? 的特殊情況。 注重借助于數(shù)軸和文氏圖解集合問題。 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 如：集合 A = x| x 2 ? 2 x ? 3 = 0 ， B = { x | ax = 1} { } 若 B ? A，則實數(shù) a 的值構(gòu)成的集合為 1 （答： ? ?1， 0 ， ? ） ? ? 3? ? 3. 注意下列性質(zhì)： （ 1）集合 { a1 ， a 2 ， …… ， a n } 的所有子集的個數(shù)是 2 n ； （ 2 ）若 A ? B ? A ∩ B = A， A ∪ B = B ； （ 3）德摩根定律： . . CU ( A ∪ B) = (CU A) ∩( CU B) ， CU (A ∩ B) = (C U A) ∪ (C U B) 4. 你會用補 集思想解決問題嗎？（排除法、間接法） 如：已知關(guān)于 x 的不等式 的取值范圍。 ax ? 5 0 的解集為 M，若 3 ∈ M 且 5 ? M，求實數(shù) a x2 ? a （ ∵ 3 ∈ M ， ∴ a 3 ? 5 0 32 ? a a5 ? 5 ≥0 52 ? a 5 ? a ∈ ? 1， ? ∪ ( 9， 25) ） ? ? 3? ? ∵ 5 ? M， ∴ 5. 可以判斷真假的語句叫 做命題，邏輯連接詞有 “或 ” ( ∨ ) ， “且 ” ( ∧ ) 和 “非 ”( 172。 ). 若 p ∧ q 為真，當(dāng)且僅 當(dāng) p、 q 均為真 若 p ∨ q為真，當(dāng)且僅當(dāng) p、 q 至少有一個為真 若 172。p 為真，當(dāng)且僅當(dāng) p 為假 中國教育開發(fā)網(wǎng) . . 中國特級教師高考復(fù)習(xí)方法指導(dǎo)〈數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)版〉 中國特級教師高考復(fù)習(xí)方法指導(dǎo)〈數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)版〉 6. 命題的四種形式及其相互關(guān)系是什么？ （互為逆否關(guān)系的命題是等價命題。） 原命題與逆否命題同真、同假；逆命題與否命題同真同假。 7. 對映射的概念了解嗎？映射 f： A→B，是否注意到 A 中元素的任意性和 B 中與之對應(yīng)元素的唯一性， 哪幾種對應(yīng)能構(gòu)成映射？ （一對一，多對一，允許 B 中有元素?zé)o原 象。） 8. 函數(shù)的三要素是什么？如何比較兩個函數(shù)是否相同？ （定義域、對應(yīng)法則、值域） 9. 求函數(shù)的定義域有哪些常見類型？ 例：函數(shù) y = x (4 ? x ) lg ( x ? 3) 2 的定義域是 （答： (0 ， 2 ) ∪ (2 ， 3) ∪ (3 ， 4 ) ） 10. 如何求復(fù)合函數(shù)的定義域？ 如：函數(shù) f ( x ) 的定義域是 a， b ， b ? a 0 ，則函數(shù) F( x ) = f ( x ) + f (? x ) 的定 義域是 _____________。 [ ] . . （答： [ a， ? a ]） 11. 求一個函數(shù)的解析式或一個函數(shù)的反函數(shù)時，注明函數(shù)的定義域了嗎？ 如： f 令 t = ( x + 1 = e x + x，求 f ( x). x + 1，則 t ≥ 0 ) ∴ x = t 2 ? 1 ∴ f ( t ) = e t 2 ?1 + t2 ? 1 ∴ f (x ) = e x 2?1 + x 2 ? 1 ( x ≥ 0) 12. 反函數(shù)存在的條件是什么？ （一一對應(yīng)函數(shù)） 求反函數(shù)的步驟掌握了嗎？ （ ① 反解 x； ② 互換 x、 y； ③ 注明定 義域） ?1 + x ? 如：求函數(shù) f ( x ) = ? 2 ?? x ? . . (x ≥ 0) 的反函數(shù) ( x 0) ? x ? 1 ( x 1) ? （答： f ?1 ( x ) = ? ） ? ? ? x ( x 0) ? 13. 反函數(shù)的性質(zhì)有哪些？ ① 互為反函數(shù)的圖象關(guān)于直線 y＝ x 對稱； ② 保存了原來函數(shù)的單調(diào)性、奇函數(shù)性； ③ 設(shè) y = f(x) 的定義域為 A，值域為 C， a ∈ A， b ∈ C，則 f(a) = b ? f ?1 ( b) = a 中國教育開發(fā)網(wǎng) . . 中國特 級教師高考復(fù)習(xí)方法指導(dǎo)〈數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)版〉 中國特級教師高考復(fù)習(xí)方法指導(dǎo)〈數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)版〉 ∴ f ?1[ f (a )] = f ?1 ( b) = a， f f ?1 ( b) = f (a ) = b 14. 如何用定義證明函數(shù)的單調(diào)性？ （取值、作差、判正負(fù)） 如何判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性？ [ ] （ y = f (u )， u = ? ( x ) ，則 y = f [ ? ( x )] （外層） （內(nèi)層） 當(dāng)內(nèi)、外層函數(shù)單調(diào)性 相同時 f [ ? ( x )]為增函數(shù)，否則 f [? ( x ) ]為減函 數(shù)。） 如：求 y = log 1 ? x2 + 2 x 的單調(diào)區(qū)間 2 ( ) （設(shè) u = ? x 2 + 2 x ，由 u 0 則 0 x 2 且 log 1 u ↓ ， u = ? ( x ? 1) + 1 ，如圖： 2 2 u O 1 . . 2 x 當(dāng) x ∈ ( 0 ， 1]時， u ↑ ，又 log 1 u ↓ ， ∴ y ↓ 2 當(dāng) x ∈ [1， 2 ) 時， u ↓ ，又 log 1 u ↓ ， ∴ y ↑ 2 ∴ …… ） 15. 如何利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性？ 在 區(qū)間 (a， b )內(nèi)，若總有 f 39。 ( x) ≥ 0則 f ( x) 為增函數(shù)。（在個別點上導(dǎo)數(shù)等于 零，不影響函數(shù)的單調(diào)性），反之也對，若 f 39。 ( x) ≤ 0呢？ 如：已知 a 0，函數(shù) f ( x) = x 3 ? ax在 [1， + ∞ )上是單調(diào)增函數(shù)，則 a 的最大 值是（ A. 0 ） B. 1 C. 2 D. 3 ? a ?? （令 f 39。 ( x ) = 3 x 2 ? a = 3? x + ??x ? 3 ?? ? 則 x ≤ ? a 或 x ≥ 3 a 3 a? ?≥0 3? 中國教育開 發(fā)網(wǎng) . . 中國特級教師高考復(fù)習(xí)方法指導(dǎo)〈數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)版〉 中國特級教師高考復(fù)習(xí)方法指導(dǎo)〈數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)版〉 由已知 f ( x ) 在 [1 ， + ∞ ) 上為增函數(shù)，則 a ≤ 1，即 a ≤ 3 3 ∴ a 的最大值為 3） 16. 函數(shù) f(x)具有奇偶性的必要（非充分）條件是什么？ （ f(x)定義域關(guān)于原點對稱） 若 f ( ? x ) = ? f ( x) 總成立 ? f ( x) 為奇函數(shù) ? 函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱 若 f ( ? x ) = f ( x ) 總成立 ? f ( x ) 為偶函數(shù) ? 函 數(shù)圖象關(guān)于 y 軸對稱 注意如下結(jié)論： （ 1）在公共定義域內(nèi)：兩個奇函數(shù)的乘積是偶函數(shù)；兩個偶函數(shù)的乘積是偶函數(shù)；一個偶函數(shù)與奇 函數(shù)的乘積是奇函數(shù)。 （ 2 ）若 f(x) 是奇函數(shù)且定義域中有 原點，則 f(0) = 0 。 如：若 f ( x) = a 2 x + a ? 2 為奇函數(shù)，則實數(shù) a = 2x + 1 （ ∵ f ( x) 為奇函數(shù)， x ∈ R ，又 0 ∈ R ， ∴ f ( 0) = 0 即 a 2 0 + a ? 2 = 0， ∴ a = 1） 20 + 1 2x， 4x + 1 又如： f ( x) 為定義在 ( ? 1， 1) 上的奇函數(shù)，當(dāng) x ∈ ( 0， 1) 時， f ( x) = 求 f ( x) 在 ( ?1， 1) 上的解析式。 2 ?x （令 x ∈ ( ? 1， 0 ) ，則 ? x ∈ ( 0 ， 1) ， f ( ? x ) = ? x 4 +1 . . 又 f ( x ) 為奇函數(shù)， ∴ f ( x ) = ? 2?x 2x =? 4 ?x + 1 1+ 4x x ∈ ( ? 1， 0 ) x=0 x ∈ ( 0 ， 1) ? 2x ? x ? 4 +1 ? 又 f ( 0 ) = 0 ， ∴ f ( x ) = ? x ? 2 ?4 x + 1 ? 17. 你熟悉周期函數(shù)的定義嗎？ ） （若存在實數(shù) T （ T ≠ 0），在定義域內(nèi)總有 f ( x + T ) = f ( x) ，則 f ( x) 為周期 函數(shù)， T 是一個周期。） 如：若 f ( x + a ) = ? f ( x ) ，則 中國教育開發(fā)網(wǎng) . . 中國特級教師高考復(fù)習(xí)方法指導(dǎo)〈數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)版〉 中國特級教師高考復(fù)習(xí)方法指導(dǎo)〈數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)版〉 （答： f ( x) 是周期函數(shù)， T = 2 a為 f ( x) 的一個周期） 又如：若 f ( x ) 圖象有兩條對稱軸 x = a， x = b (? ) 即 f (a + x) = f (a ? x )， f (b + x) = f (b ? x) 則 f ( x ) 是周期函數(shù)， 2 a ? b 為一個周期 如： 18. 你掌握常用的圖象變換了嗎？ f ( x ) 與 f ( ? x ) 的圖象關(guān)于 y 軸 對稱 f ( x ) 與 ? f ( x ) 的圖象關(guān)于 x 軸 對稱 f ( x ) 與 ? f ( ? x ) 的圖象關(guān)于 原點 對稱 f ( x ) 與 f ?1 ( x ) 的 圖象關(guān)于 直線 y = x 對稱 f ( x ) 與 f ( 2 a ? x ) 的圖象關(guān)于 直線 x = a 對稱 f ( x) 與 ? f ( 2a ? x ) 的圖象關(guān)于 點 ( a， 0) 對稱 y = f ( x + a) 將 y = f ( x) 圖象 ?左移a ( a 0) 個單位 → ???? ??? ? 右移 a ( a 0) 個單位 y = f ( x ? a ) y = f (x + a) + b ?上移 b? ? ? ? ? → ? ? ( b 0 ) 個單位 ? y = f (x + a) ? b 下移 b ( b 0 ) 個單位 注意如下 “翻折 ”變換： f ( x) ? → f ( x) ? f ( x) ? → f (| x|) ? 如： f ( x ) = log 2 ( x + 1) 作出 y = log 2 ( x + 1) 及 y = log 2 x + 1 的圖象 中國教育開發(fā)網(wǎng) . . . . 中國特級教師高考復(fù)習(xí)方法指導(dǎo)〈數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)版〉 中國特級教師高考復(fù)習(xí)方法指導(dǎo)〈數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)版〉 y y=log 2 x O 1 x 19. 你熟練掌握常用函數(shù)的圖象和性質(zhì)了嗎？ (k0) y (k0) y=b O’(a,b) O x=a x （ 1）一次函數(shù)： y = kx + b ( k ≠ 0 ) （ 2 ）反比例函數(shù)： y = 的雙曲線。 2 ? x + b ? + 4 ac ? b 圖象為拋物線 （ 3 ）二次函數(shù) y = ax + bx + c ( a ≠ 0) = a? ? ? 2 a? 4a 2 2 k ( k ≠ 0 )推廣為 y = b + x k a ( k ≠ 0 )是中心 O39。( a， b ) x ? ? b 4 ac ? b 2 ? b 頂點坐標(biāo)為 ? ? ， ? ，對稱軸 x = ? ? 2a 4a ? 2a 開口方向： a 0 ，向上，函數(shù) y min = 4 ac ? b 2 4a a 0，向下， y max = 4ac ? b 2 4a . . 應(yīng)用： ① “三個二次 ”（二次函數(shù)、二次方程、二次不等式）的關(guān)系 ——二次方程 ax 2 + bx + c = 0， ? 0時，兩根 x 1 、 x 2 為二次函數(shù) y = ax 2 + bx + c的圖象與 x軸 的兩個交點，也是二次 不等式 ax 2 + bx + c 0 ( 0 ) 解集的端點值。 ② 求閉區(qū)間［ m， n］上的最值。 ③ 求區(qū)間定（動），對