第4講利用軸對(duì)稱破解最短路徑問(wèn)題(已修改)
2025-04-06 06:48 本頁(yè)面
【正文】 專業(yè)整理分享 第一章 平移、對(duì)稱與旋轉(zhuǎn)第4講 利用軸對(duì)稱破解最短路徑問(wèn)題一、學(xué)習(xí)目標(biāo)1. 理解“直線上同一側(cè)兩點(diǎn)與此直線上一動(dòng)點(diǎn)距離和最小”問(wèn)題通過(guò)軸對(duì)稱的性質(zhì)與作圖轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間，線段最短”問(wèn)題求解。（對(duì)稱背景圖）中有關(guān)最短路徑（線段之差最大值）問(wèn)題借助軸對(duì)稱轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間，線段最短問(wèn)題分析與求解。二、基礎(chǔ)知識(shí)輕松學(xué)與軸對(duì)稱有關(guān)的最短路徑問(wèn)題關(guān)于最短距離，我們有下面幾個(gè)相應(yīng)的結(jié)論：（1）在連接兩點(diǎn)的所有線中，線段最短（兩點(diǎn)之間，線段最短）；（2）三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；（3）在三角形中，大角對(duì)大邊，小角對(duì)小邊。（4）垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等；【精講】一般說(shuō)來(lái)，線段和最短的問(wèn)題，往往把幾條線段連接成一條線段，利用“兩點(diǎn)之間線段最短”或者“三角形兩邊之和大于第三邊”加以證明，關(guān)鍵是找相關(guān)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)實(shí)現(xiàn)“折”轉(zhuǎn)“直”。另外，在平移線段的時(shí)候，一般要用到平行四邊形的判定和性質(zhì)。（判定：如果一個(gè)四邊形的一組對(duì)邊平行且相等，那么這個(gè)四邊形是平行四邊形；性質(zhì)：平行四邊形的對(duì)邊相等。）三、重難疑點(diǎn)輕松破最短路徑問(wèn)題在平面圖形中要解決最短路徑問(wèn)題，自然離不開(kāi)構(gòu)建與轉(zhuǎn)化“兩點(diǎn)之間，線段最短”的數(shù)學(xué)公理，通常將涉及到的兩點(diǎn)中的任一點(diǎn)作出關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，從而運(yùn)用兩點(diǎn)之間，線段最短解決實(shí)際問(wèn)題．在日常生活、工作中，經(jīng)常會(huì)遇到有關(guān)行程路線的問(wèn)題。 “最短路徑問(wèn)題”的原型來(lái)自于“飲馬問(wèn)題”、“造橋選址問(wèn)題”，出題通常以直線、角、等腰（邊）三角形、長(zhǎng)方形、正方形、坐標(biāo)軸等對(duì)稱圖形為背景。（1）“一線同側(cè)兩點(diǎn)”問(wèn)題例1 如圖，點(diǎn)A、B在直線m的同側(cè)，點(diǎn)B′是點(diǎn)B關(guān)于m的對(duì)稱點(diǎn)，AB′交m于點(diǎn)P．（1）AB′與AP+PB相等嗎？為什么？（2）在m上再取一點(diǎn)N，并連接AN與NB，比較AN+NB與AP+PB的大小，并說(shuō)明理由．解析：（1）∵點(diǎn)B′是點(diǎn)B關(guān)于m的對(duì)稱點(diǎn)，∴PB=PB′，∵AB′=AP+PB′，∴AB′=AP+PB．（2）如圖：連接AN，BN，B′N，∵AB′=AP+PB，∴AN+NB=AN+NB′＞AB′，∴AN+NB＞AP+PB．點(diǎn)評(píng)：兩條線段之和最短，往往利用對(duì)稱的思想，把兩條線段的和變?yōu)橐粭l線段來(lái)研究，利用兩點(diǎn)之間的線段最短得出結(jié)果。這類題主考實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，關(guān)鍵是利用軸對(duì)稱、“兩點(diǎn)之間，線段最短”及三角形三邊的關(guān)系等．變式1 需要在高速公路旁邊修建一個(gè)飛機(jī)場(chǎng)，使飛機(jī)場(chǎng)到A，B兩個(gè)城市
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