點差法公式在橢圓中點弦問題中的妙用(已修改)
2025-04-06 05:46 本頁面
【正文】 點差法公式在橢圓中點弦問題中的妙用定理 在橢圓（＞＞0）中，若直線與橢圓相交于M、N兩點，點是弦MN的中點，弦MN所在的直線的斜率為，則. 證明：設M、N兩點的坐標分別為、則有，得又同理可證，在橢圓（＞＞0）中，若直線與橢圓相交于M、N兩點，點是弦MN的中點，弦MN所在的直線的斜率為，則.典題妙解例1 設橢圓方程為，過點的直線交橢圓于點A、B，O為坐標原點，點P滿足，求：（1）動點P的軌跡方程；（2）的最大值和最小值.解：（1）：點P是弦AB的中點 .焦點在y上， 假設直線的斜率存在.由得：整理，得：當直線的斜率不存在時，弦AB的中點P為坐標原點，也滿足方程。所求的軌跡方程為（2）配方，得：當時，；當時，例2 在直角坐標系中，經過點且斜率為的直線與橢圓有兩個不同的交點P和Q.（1）求的取值范圍；（2）設橢圓與軸正半軸、軸正半軸的交點分別為A、B，是否存在常數(shù)，使得向量與共線？如果存在，求的取值范圍；如果不存在
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