【正文】 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 主要內(nèi)容 : ,建模的原則 什么是數(shù)學(xué)模型 ? 所謂的數(shù)學(xué)模型， 是描述系統(tǒng)動態(tài)特性及各變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式 。 控制系統(tǒng)定量分析的基礎(chǔ)。 數(shù)學(xué)模型的特點 1) 相似性：不同性質(zhì)的系統(tǒng)，具有相同的數(shù)學(xué)模型。抽象的變量和系統(tǒng) 2) 簡化性和準(zhǔn)確性：忽略次要因素，簡化之，但不能太簡單，結(jié)果合理 3) 動態(tài)模型：變量各階導(dǎo)數(shù)之間關(guān)系的微分方程。 性能分析 4) 靜態(tài)模型：靜態(tài)條件下，各變量之間的代數(shù)方程。 放大倍數(shù) 數(shù)學(xué)模型的類型 1)微分方程：時域 其它模型的基礎(chǔ) 直觀 求解繁瑣 2)傳遞函數(shù)：復(fù)頻域 微分方程拉氏變換后的結(jié)果 3)頻率特性：頻域 分析方法不同，各有所長 21 數(shù)學(xué)模型的概念 數(shù)學(xué)模型的建立方法 1) 分析法：根據(jù)系統(tǒng)各部分的運動機(jī)理，按有關(guān)定理列方程，合在一起。 2) 實驗法：黑箱問題。施加某種測試信號，記錄輸出，用系統(tǒng)辨識的方法，得到數(shù)學(xué)模型。 建模原則：選擇合適的分析方法－ 確定相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型 －簡化 列寫微分方程式的一般步驟 1) 分析系統(tǒng)運動的因果關(guān)系，確定系統(tǒng)的 輸入量 、 輸出量 及內(nèi)部 中間變量 ，搞清各變量之間的關(guān)系。 2) 忽略一些次要因素， 合理簡化 。 系統(tǒng)微分方程的建立 3) 根據(jù)相關(guān)基本定律，列出各部分的 原始方程式 。 4) 列寫中間變量的 輔助方程 。 方程數(shù)與變量數(shù)相等 ！ 5) 聯(lián)立上述方程，消去中間變量，得到只包含輸入輸出的方程式。 6) 將方程式化成標(biāo)準(zhǔn)形。 與 輸出 有關(guān)的放在 左邊 ，與 輸入 有關(guān)的放在 右邊 ，導(dǎo)數(shù)項按降階 排列， 系數(shù) 化為有物理意義的形式。 三個基本的無源元件：質(zhì)量 m,彈簧 k,阻尼器 f 對應(yīng)三種阻礙運動的力 :慣性力 ma。彈性力 ky。阻尼力 fv 例 21(P22例 23) 彈簧 質(zhì)量 阻尼器串聯(lián)系統(tǒng)。 試列出以外力 F(t)為輸入量，以質(zhì)量的位移 y(t)為 輸出量的運動方程式。 解：遵照列寫微分方程的一般步驟有： （ 1）確定 輸入量 為 F(t)， 輸出量 為 y(t)，作用于質(zhì) 量 m的力還有彈性阻力 Fk(t)和粘滯阻力 Ff(t)，均作為 中間變量。 （ 2）設(shè)系統(tǒng)按線性集中參數(shù)考慮 ，且無外力作用時， 系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)。 K m f F(t) y(t) 機(jī)械平移系統(tǒng)舉例 （ 3）按牛頓第二定律列寫原始方程，即 kytF k ??)( )(dtdyffvtFf ????（ 5）將以上輔助方程式代入原始方程 ,消去中 間變量 ,得 )(22tFdtdyfkydt ydm ????（ 6）整理方程得標(biāo)準(zhǔn)形 )(122tFkydtdykfdt ydkm ??? )()()( 22????? dt ydmtFtFtFF fk （ 4）寫中間變量與輸出量的關(guān)系式 K m f F(t) y(t) 電路系統(tǒng)舉例 例 22 （ P21例 21） 電阻－電感－電容串聯(lián)系統(tǒng)。 RLC串聯(lián)電路，試列出以 ur(t)為輸入量， uc(t)為輸出量的網(wǎng)絡(luò)微分方程式。 令 Tm2 = m/k， Tf = f/k ，則方程化為 )(1222 tFkydtdyTdtydTfm ??? R C ur(t) uc(t) L 解： （ 1）確定輸入量為 ur(t)，輸出量為 uc(t)，中間變量為 i(t)。 rc uuRidtdiL ???（ 4）列寫中間變量 i與輸出變量 uc 的關(guān)系式 : dtduCi c?（ 5）將上式代入原始方程，消去中間變量得 R C ur(t) uc(t) L （ 2）網(wǎng)絡(luò)按線性集中參數(shù)考慮且忽略輸出端負(fù)載效應(yīng)。 （ 3）由 KVL寫原始方程： i(t) （ 6）整理成標(biāo)準(zhǔn)形，令 T1 = L/R， T2 = RC， 則方程化為 rccc uudtduTdtudTT ???22221 線性微分方程的一般特征 觀察實際物理系統(tǒng)的運動方程，若用線性定常特性來描述，則方程一般具有以下形式： cadtdcadt cdadt cda nnnnnn???? ???11110 ?rbdtdrbdt rdbdt rdb mmmmmm????? ???11110 ?rccc uudtduRCdtudLC ???22 式中， c(t)是系統(tǒng)的輸出變量， r(t)是系統(tǒng)的輸入變量。 從工程可實現(xiàn)的角度來看，上述微分方程滿足以下約束： （ 1）方程的系數(shù)為實常數(shù)，由系統(tǒng)自身參數(shù)決定； （ 2）左端的階次比右端的高 ,n=m。這是因為實際物理系統(tǒng)均有慣性或儲能元件； （ 3）方程式兩端的各項的量綱應(yīng)一致。利用這點，可以檢查微分方程式的正確與否。 cadtdcadt cdadt cda nnnnnn ???? ??? 11110 ? rbdtdrbdt rdbdt rdb mmmmmm ????? ??? 11110 ?22 ()d y dym f k y F tdt dt? ? ?221rd q d qL R q ud t d t C? ? ? 相似系統(tǒng)的定義 ：任何系統(tǒng)，只要它們的微分方程具有相同的形式。在方程中，占據(jù)相同位置的量，相似量。 上面兩個例題介紹的系統(tǒng)，就是相似系統(tǒng)。 例 21 例 22 令 uc=q/C rccc uudtduRCdtudLC ???22模擬技術(shù)： 當(dāng)分析一個機(jī)械系統(tǒng)或不易進(jìn)行試驗的系統(tǒng)時，可以建造一個與它相似的電模擬系統(tǒng)，來代替對它的研究。 直流電動機(jī)是將電能轉(zhuǎn)化為機(jī)械能的一種典型的 機(jī)電轉(zhuǎn)換 裝置。在電樞控制的直流電動機(jī)中，由輸入的電樞電壓 ua在電樞回路產(chǎn)生電樞電流 ia ，再由電樞電流 ia與激磁磁通相互作用產(chǎn)生電磁轉(zhuǎn)矩 MD ，從而使電樞旋轉(zhuǎn)，拖動負(fù)載運動。 Ra和 La分別是電樞繞組總電阻和總電感。在完成能量轉(zhuǎn)換的過程中，其繞組在磁場中切割磁力線會產(chǎn)生感應(yīng)反電勢 Ea， 其大小與 電樞控制的直流電動機(jī)（ P21例 22） M Ra ua La ia ? if=常數(shù) Ea 激磁磁通及轉(zhuǎn)速成正比，方向與外加電樞電壓 ua相反。 下面推導(dǎo)其微分方程式。 （ 1）取電樞電壓 ua為控制輸入，負(fù)載轉(zhuǎn)矩 ML為擾動輸入，電動機(jī)角速度 ?為輸出量； （ 2）忽略電樞反應(yīng)、磁滯、渦流效應(yīng)等影響，當(dāng)激磁電流不變 if 時，激磁磁通視為不變，則將變量關(guān)系看作線性關(guān)系； （ 3）列寫原始方程式 電樞回路方程： aaaaaa uEiRdtdiL ??? ua M Ra La ia ? if=常數(shù) Ea 電動機(jī)軸上機(jī)械運動方程： LD MMdtdJ ??? J — 負(fù)載折合到電動機(jī)軸上的轉(zhuǎn)動慣量 。 MD — 電樞電流產(chǎn)生的電磁轉(zhuǎn)矩 。 ML — 合到電動機(jī)軸上的總負(fù)載轉(zhuǎn)矩。 （ 4）列寫輔助方程 Ea = ke ? ke — 電勢系數(shù)，由電動機(jī)結(jié)構(gòu)參數(shù)確定。 MD = km ia km — 轉(zhuǎn)矩系數(shù)，由電動機(jī)結(jié)構(gòu)參數(shù)確定。 （ 5）消去中間變量，得 LmmmLmDa MkdtdkJkMdtdJkMi 1????? ??aaaaaa uEiRdtdiL ???LmmmLmDa MkdtdwkJkMdtdwJkMi 1?????dtdMkkLMkkRukdtdkkJRdtdkkJL LmeaLmeaaemeamea ????? 122???dtdMkkLMkkRukdtdkkJRdtdkkJL LmeaLmeaaemeamea ????? 122???meam kkJRT ?令機(jī)電時間常數(shù) Tm : 令電磁時間常數(shù) Ta : aaa RLT ?1)當(dāng)電樞電感較小時，可忽略，可簡化上式如下： Lmaem MJTukdtdT ??? 1??0?aT222 一階系統(tǒng) dtdMJTTMJTukdtdTdtdTT LmaLmaemma ?????122???二階系統(tǒng) （ 221） 2)對微型電機(jī)，轉(zhuǎn)動慣量 J很小，且 Ra 、 La都可忽略 ?? eaaekuuk ?? ??? 1 測速發(fā)電機(jī) 3) 隨動系統(tǒng)中，取 θ 為輸出 Lmaem MJTukdtddtdTdtd ???? 122 ????4) 在實際使用中，轉(zhuǎn)速常用 n（ r/min） 表示 ,設(shè) ML=0 aemma ukndtdnTdtndTT39。22 1???3022230602 39。 ???? ?????ee kknn ，令代入0??meam kkJRT0??aaa RLTdtdMJTTMJTukdtdTdtdTT LmaLmaemma ?????122???Lmaem MJTukdtdT ??? 1??小結(jié) 物理本質(zhì)不同的系統(tǒng)，可以有相同的數(shù)學(xué)模 型，從而可以拋開系統(tǒng)的物理屬性，用同一 方法進(jìn)行具有普遍意義的分析研究（信息方 法） 。 從動態(tài)性能看，在相同形式的輸入作用 下，數(shù)學(xué)模型相同而物理本質(zhì)不同的系統(tǒng) 其輸出響應(yīng)相似。相似系統(tǒng)是控制理論中 進(jìn)行實驗?zāi)M的基礎(chǔ)。 通常情況下，元件或系統(tǒng)微分方程的階次等 于元件或系統(tǒng)中所包含的 獨立 儲能元件（慣性 質(zhì)量、彈性要素、電感、電容等）的個數(shù)； 因為系 統(tǒng)每增加一個獨立儲能元，其內(nèi)部就 多一層能量（信息）的交換。 系統(tǒng)的動態(tài)特性是系統(tǒng)的 固有特性 ，僅 取決于系統(tǒng)的結(jié) 構(gòu)及其參數(shù)， 與系統(tǒng)的輸 入無關(guān) 。 線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng) 線性系統(tǒng) 可以用線性微分方程描述的系統(tǒng)。如果方程的 系數(shù)為常數(shù)，則為 線性定常系統(tǒng) ；如果方程的 系數(shù)是時間 t的函數(shù)，則為 線性時變系統(tǒng) ； 線性 是指系統(tǒng)滿足 疊加原理 ，即： 可加性： f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 齊次性： f (? x) ? ? f ( x) 或： f (? x1 ? ?x2 ) ? ? f ( x1 ) ? ?f ( x2 ) 23 數(shù)學(xué)模型的線性化（ P25） 非線性系統(tǒng) 用非線性微分方程描述的系統(tǒng)。非線性系統(tǒng)不 滿足疊加原理。 實際的系統(tǒng)通常都是非線性的，線性只在一 定的工作范圍內(nèi)成立。 為分析方便，通常在合理的條件下， 將非線性系統(tǒng)簡化為線性系統(tǒng)處理。 非線性系統(tǒng) 用非線性微分方程描述的系統(tǒng)。非線性系統(tǒng)不 滿足疊加原理。 實際的系統(tǒng)通常都是非線性的，線性只在一 定的工作范圍內(nèi)成立。 為分析方便，通常在合理的條件下， 將非線性系統(tǒng)簡化為線性系統(tǒng)處理。 線性系統(tǒng)微分方程的一般形式 式中， a1， a2， … ， an和 b0， b1， … ， bm 為由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)決定的實常數(shù) ， m≤n。 線性化問題的提出 非線性現(xiàn)象：機(jī)械系統(tǒng)中的高速阻尼器，阻 尼力與速度的平方有關(guān)；齒輪嚙合系統(tǒng)由 于間隙的存在導(dǎo)致的非線性傳輸特性；具有 鐵芯的電感，電流與電壓的非線性關(guān)系等。 線