【正文】 信號(hào)與系統(tǒng) 第 41頁(yè) ■ 電子教案 西安郵電學(xué)院通信與信息工程學(xué)院 第四章 連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析 信號(hào)與系統(tǒng) 第 42頁(yè) ■ 電子教案 西安郵電學(xué)院通信與信息工程學(xué)院 從本章開始由時(shí)域轉(zhuǎn)入變換域分析，首先討論傅里葉變換。傅里葉變換是在傅里葉級(jí)數(shù)正交函數(shù)展開的基礎(chǔ)上發(fā)展而產(chǎn)生的，這方面的問題也稱為傅里葉分析（頻域分析）。將信號(hào)進(jìn)行正交分解，即分解為三角函數(shù)或復(fù)指數(shù)函數(shù)的組合。 頻域分析將時(shí)間變量變換成頻率變量，揭示了信號(hào)內(nèi)在的頻率特性以及信號(hào)時(shí)間特性與其頻率特性之間的密切關(guān)系，從而導(dǎo)出了信號(hào)的頻譜、帶寬以及濾波、調(diào)制和頻分復(fù)用等重要概念。 引言 信號(hào)與系統(tǒng) 第 43頁(yè) ■ 電子教案 西安郵電學(xué)院通信與信息工程學(xué)院 ? 時(shí)域分析中，將任意信號(hào)分解成沖激函數(shù)的加權(quán)積分； ? 變換域分析中，將任意信號(hào)分解成虛指數(shù)函數(shù)的加權(quán)積分； ? 將任意信號(hào)表示為不同頻率正弦分量的線性組合稱為信號(hào)的頻譜分析； ? 用頻譜分析的觀點(diǎn)來分析系統(tǒng)稱為系統(tǒng)的頻域分析法或傅里葉變換分析法。 引言 信號(hào)與系統(tǒng) 第 44頁(yè) ■ 電子教案 西安郵電學(xué)院通信與信息工程學(xué)院 第四章 連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析 信號(hào)分解為正交函數(shù) 傅里葉級(jí)數(shù) 周期信號(hào)的頻譜 非周期信號(hào)的頻譜 ——傅里葉變換 傅里葉變換的性質(zhì) 周期信號(hào)的傅里葉變換 LTI系統(tǒng)的頻域分析 取樣定理 點(diǎn)擊目錄 ，進(jìn)入相關(guān)章節(jié) 信號(hào)與系統(tǒng) 第 45頁(yè) ■ 電子教案 西安郵電學(xué)院通信與信息工程學(xué)院 第四章 連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析 時(shí)域分析 ，以 沖激函數(shù) 為基本信號(hào)，任意 輸入信號(hào)可分解為一系列沖激函數(shù)；從而系統(tǒng) 的零狀態(tài)響應(yīng)為： yf(t) = h(t)*f(t)。 本章將以 正弦信號(hào) 和 虛指數(shù)信號(hào) ejωt為基本 信號(hào)，任意輸入信號(hào)可分解為一系列 不同頻率 的正弦信號(hào)或虛指數(shù)信號(hào)之和。 這里用于系統(tǒng)分析的獨(dú)立變量是 頻率 。 故稱為 頻域分析 。 信號(hào)與系統(tǒng) 第 46頁(yè) ■ 電子教案 西安郵電學(xué)院通信與信息工程學(xué)院 第四章 連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析 信號(hào)分解為正交函數(shù) 一、矢量正交與正交分解 矢量 Vx = ( vx1, vx2, vx3)與 Vy = ( vy1, vy2, vy3)正交的定義： 其 內(nèi)積 為 0。即 031?? ??iyixiTyx vvVV由兩兩正交的矢量組成的矢量集合 稱為 正交矢量集。 信號(hào)與系統(tǒng) 第 47頁(yè) ■ 電子教案 西安郵電學(xué)院通信與信息工程學(xué)院 信號(hào)分解為正交函數(shù) 如三維空間中，以矢量 vx=（ 2， 0， 0）、 vy=（ 0， 2， 0）、 vz=（ 0， 0， 2) 所組成的集合就是一個(gè) 正交矢量集 。 例如對(duì)于一個(gè)三維空間的矢量 A =(2， 5， 8)，可以 用一個(gè)三維正交矢量集 { vx， vy， vz}分量的線性組合 表示。即 A= vx+ vy+ 4 vz 矢量空間正交分解的概念可推廣到 信號(hào) 空間， 在信號(hào)空間找到若干個(gè) 相互正交的信號(hào) 作為基本信號(hào)， 使得信號(hào)空間中任意信號(hào)均可表示成它們的線性組合。 信號(hào)與系統(tǒng) 第 48頁(yè) ■ 電子教案 西安郵電學(xué)院通信與信息工程學(xué)院 信號(hào)分解為正交函數(shù) 二、信號(hào)正交與正交函數(shù)集 1. 定義： 定義在 (t1， t2)區(qū)間的兩個(gè)函數(shù) ? 1(t)和 ? 2(t),若滿足 ? ?210d)()( *21ttttt ??即兩函數(shù)的內(nèi)積為 0 則稱 ? 1(t)和 ? 2(t) 在區(qū)間 (t1， t2)內(nèi) 正交 。 信號(hào)與系統(tǒng) 第 49頁(yè) ■ 電子教案 西安郵電學(xué)院通信與信息工程學(xué)院 信號(hào)分解為正交函數(shù) 2. 正交函數(shù)集： 若 n個(gè)函數(shù) ? 1(t)， ? 2(t)， … ， ? n(t)構(gòu)成一個(gè)函數(shù)集，當(dāng)這些函數(shù)在區(qū)間 (t1， t2)內(nèi)滿足 ????????21 ,0,0d)()( *ttiji jiKjittt ??則稱此函數(shù)集為在區(qū)間 (t1， t2)的 正交函數(shù)集 。 信號(hào)與系統(tǒng) 第 410頁(yè) ■ 電子教案 西安郵電學(xué)院通信與信息工程學(xué)院 信號(hào)分解為正交函數(shù) 3. 完備正交函數(shù)集： 如果在正交函數(shù)集 {?1(t)， ? 2(t)， … ， ? n(t)}之外， 不存在函數(shù) φ(t)( )滿足 則稱此函數(shù)集為 完備正交函數(shù)集 。 ? ?21 0d)()(tt i ttt ??( i =1， 2， … ， n) ??? ? dtttt)(0 212?信號(hào)與系統(tǒng) 第 411頁(yè) ■ 電子教案 西安郵電學(xué)院通信與信息工程學(xué)院 信號(hào)分解為正交函數(shù) 三角函數(shù)集 {1， cos(nΩt)， sin(nΩt)， n=1,2,…} 和 虛指數(shù)函數(shù)集 {ejnΩt， n=0， 177。 1， 177。 2， …} 是否為 區(qū)間 (t0， t0+T)(T=2π/Ω)上的完備正交函數(shù)集？ 思考： 信號(hào)與系統(tǒng) 第 412頁(yè) ■ 電子教案 西安郵電學(xué)院通信與信息工程學(xué)院 信號(hào)分解為正交函數(shù) 三、信號(hào)的正交分解 設(shè)有 n個(gè)函數(shù) ? 1(t)， ? 2(t)， … ， ? n(t)在區(qū)間 (t1， t2)構(gòu)成一個(gè)正交函數(shù)空間。將任一函數(shù) f(t)用這 n個(gè)正交函數(shù)的線性組合來近似，可表示為 f(t) ≈ C1?1+ C2?2+…+ C n?n 如何選擇各系數(shù) Cj 使 f(t)與近似函數(shù)之間的誤差在區(qū)間 (t1， t2)內(nèi)為最??？ 通常使誤差的均方值 (稱為均方誤差 )最小。 信號(hào)與系統(tǒng) 第 413頁(yè) ■ 電子教案 西安郵電學(xué)院通信與信息工程學(xué)院 信號(hào)分解為正交函數(shù) 均方誤差為： ttCtfttttnjjj d])()([1 2121122 ? ????? ??0d)]()([21 122? ????????? ttnjjjiittCtfCC??為使上式最小， 展開上式中的被積函數(shù)，注意到由序號(hào)不同的 正交函數(shù)相乘的各項(xiàng)，其積分均為零，而且所有不 包含 Ci的各項(xiàng)對(duì) Ci求導(dǎo)也等于零。 這樣，上式中只有兩項(xiàng)不為 0，寫為 信號(hào)與系統(tǒng) 第 414頁(yè) ■ 電子教案 西安郵電學(xué)院通信與信息工程學(xué)院 信號(hào)分解為正交函數(shù) ? ???? ? 21 0d)]()()(2[ 22tt iiiiittCttfCC ??即 ?? ??? 2121 0d)(2d)()(2 2tt iitt i ttCtttf ??求得 ?????212121 d)()(1d)(d)()(2tt iitt itt ii tttfKtttttfC ???最終求得最小均方誤差為： 0]d)([1122122 21???? ???njjjttKCttftt?信號(hào)與系統(tǒng) 第 415頁(yè) ■ 電子教案 西安郵電學(xué)院通信與信息工程學(xué)院 信號(hào)分解為正交函數(shù) 在用正交函數(shù)去近似 f(t)時(shí)，所取得項(xiàng)數(shù)越多，即 n越大，則均方誤差越小。當(dāng) n→∞ 時(shí)（為完備正交函數(shù)集），均方誤差為零。此時(shí)有 ?????12221d)(jjjttKCttf上式稱為 (Parseval)巴塞瓦爾公式 ， 表明： 在區(qū)間 (t1,t2) 信號(hào) f(t)所含能量恒等于 f(t)在完備 正交函數(shù)集中分解的各正交分量能量的總和。 ????1)()(jjj tCtf ?函數(shù) f(t)可分解為無窮多項(xiàng)正交函數(shù)之和。 信號(hào)與系統(tǒng) 第 416頁(yè) ■ 電子教案 西安郵電學(xué)院通信與信息工程學(xué)院 ? 三角函數(shù)集 ? 虛指數(shù)函數(shù)集 ? ?...3,2,1),s i n (),c o s (,1 ??? ntntn? ?, . . .2,1,0, ???? ne tjn任意函數(shù) f(t)可表示為無窮多項(xiàng)正交函數(shù)之和。 兩個(gè)完備的正交函數(shù)集： 回 顧 信號(hào)與系統(tǒng) 第 417頁(yè) ■ 電子教案 西安郵電學(xué)院通信與信息工程學(xué)院 頻域分析的基本思想： 周期信號(hào) 表示成 tjne ?? ?tntn ?? s i n,c o s對(duì)周期信號(hào) 的分析處理 轉(zhuǎn)化為 對(duì)正弦信號(hào) 的分析處理 信號(hào)與系統(tǒng) 第 418頁(yè) ■ 電子教案 西安郵電學(xué)院通信與信息工程學(xué)院 將信號(hào)表示為不同頻率正弦分量的線性組合的意義： ? 從信號(hào)分析 的角度，將信號(hào)表示為不同頻率正弦 分量的線性組合，為不同信號(hào)之間進(jìn)行比較提供了 方便。 ? 從系統(tǒng)分析的角度，已知單頻正弦信號(hào)激勵(lì)下的 響應(yīng)，利用疊加特性可求得多個(gè)不同頻率正弦信號(hào) 同時(shí)激勵(lì)下的總響應(yīng)，而且每個(gè)正弦分量通過系統(tǒng) 后的變化都很清楚。 信號(hào)與系統(tǒng) 第 419頁(yè) ■ 電子教案 西安郵電學(xué)院通信與信息工程學(xué)院 傅里葉級(jí)數(shù) 傅里葉級(jí)數(shù) 由上節(jié)可知，周期信號(hào) f(t) 在區(qū)間 (t0， t0+T)可以 展開成在完備正交信號(hào)空間中的無窮級(jí)數(shù)。 如果完備的正交函數(shù)集是三角函數(shù)集，則周期信號(hào) 所展開的無窮級(jí)數(shù)就稱為“ 三角型傅里葉級(jí)數(shù) ”。 如果完備的正交函數(shù)集是指數(shù)函數(shù)集，則周期信號(hào) 所展開的無窮級(jí)數(shù)就稱為“ 指數(shù)型傅里葉級(jí)數(shù) ”。 ―三角型傅里葉級(jí)數(shù)”和“指數(shù)型傅里葉級(jí)數(shù)”統(tǒng)稱為 傅里葉級(jí)數(shù) 。 信號(hào)與系統(tǒng) 第 420頁(yè) ■ 電子教案 西安郵電學(xué)院通信與信息工程學(xué)院 傅里葉級(jí)數(shù) 一、周期信號(hào)的分解 傅里葉級(jí)數(shù)的三角形式 設(shè)周期信號(hào) f(t)，其周期為 T，角頻率 ?=2?/T，當(dāng)滿足 狄里赫利 (Dirichlet)條件時(shí)，它可分解為如下三角級(jí)數(shù) —— 稱為 f(t)的 傅里葉級(jí)數(shù) 。 ???????????110 )s i n ()c o s (2)(nnnn tnbtnaatf系數(shù) an , bn稱為 傅里葉系數(shù) 。 信號(hào)與系統(tǒng) 第 421頁(yè) ■ 電子教案 西安郵電學(xué)院通信與信息工程學(xué)院 傅里葉級(jí)數(shù) ?? ?? 22d)c os ()(2TTn ttntfTa?? ?? 22d)s i n ()(2TTn ttntfTb bn是 n的奇函數(shù)。 ?? ?????????110 )s i n ()c o s (2)( n nn n tnbtnaatfan 是 n的偶函數(shù)， 整理得 ???????10 )c o s (2)( n nn tnAAtf ? A0 = a0 22nnn baA ?? nnn abar c t an??? An是 n的偶函數(shù)， ?n是 n的奇函數(shù)。 信號(hào)與系統(tǒng) 第 422頁(yè) ■ 電子教案 西安郵電學(xué)院通信與信息工程學(xué)院 傅里葉級(jí)數(shù) 物理意義 ： ? 周期信號(hào)可分解為直流和許多余弦分量。 ? 其中， A0/2為 直流分量 ； ? A1cos(?t+?1)稱為 基波或一次諧波 ，它的角頻率與 原周期信號(hào)相同； ? A2cos(2?t+?2)稱為 二次諧波 ，它的頻率是基波的 2倍； ? 一般而言， Ancos(n?t+?n)稱為 n次諧波 。 ???????10 )c o s (2)(nnn tnAAtf ?周期信號(hào)的分解 信號(hào)與系統(tǒng) 第 423頁(yè) ■ 電子教案 西安郵電學(xué)院通信與信息工程學(xué)院 傅里葉級(jí)數(shù) 吉布斯現(xiàn)象： 由周期的方波分解可見，當(dāng)它包含的