【正文】 2022年 3月 13日 1時 2分 北京科技大學信息工程學院自動化系 1 線性系統(tǒng)的時域分析 典型輸入信號與時域性能指標 一階系統(tǒng)的時域分析 二階系統(tǒng)的時域分析 高階系統(tǒng)的時域分析 線性系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差計算 線性系統(tǒng)狀態(tài)方程的解 2022年 3月 13日 1時 2分 北京科技大學信息工程學院自動化系 2 本章學習要點 ? 了解典型輸入信號和時域性能指標 ? 掌握一階系統(tǒng)的時域分析方法 ? 掌握二階系統(tǒng)的時域分析方法 ? 了解高階系統(tǒng)的主導極點及其時域分析方法 ? 掌握反饋系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差及其誤差補償?shù)姆椒? ? 掌握線性系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)和求解方法 ? 掌握狀態(tài)方程的求解方法 2022年 3月 13日 1時 2分 北京科技大學信息工程學院自動化系 3 引言 時域分析在控制理論中的地位和作用 系統(tǒng)數(shù)學模型 G(s) 時間域 復數(shù)域 頻率域 系統(tǒng)的 性能（指標） 系統(tǒng)的校正、綜合 時域分析是三大分析方法之一，在時域中研究問題， 重點討論過渡過程的響應形式。其特點： 1).直觀、精確。 2).比較煩瑣。 2022年 3月 13日 1時 2分 北京科技大學信息工程學院自動化系 4 典型輸入信號與時域性能指標 1）系統(tǒng)的響應過程 系統(tǒng)的響應由穩(wěn)態(tài)響應和動態(tài)響應兩部分組成 瞬態(tài)響應： 系統(tǒng)在某一輸入信號作用下，其輸出量從一個穩(wěn)定狀態(tài)（如：初始狀態(tài)）過渡到另一個穩(wěn)定狀態(tài)的響應過程。瞬態(tài)響應也稱為過渡過程或動態(tài)響應。 穩(wěn)態(tài)響應： 當某一信號輸入時，穩(wěn)定系統(tǒng)在時間趨于無窮大時的輸出狀態(tài)。穩(wěn)態(tài)也稱為靜態(tài)， 控制系統(tǒng)的動態(tài)性能，可以通過在輸入信號作用下系統(tǒng) 的過渡過程來評價。 ① 系統(tǒng)的過渡過程不僅僅取決于系統(tǒng)本身的特性， 還與外加輸入信號的形式有關(guān)。 ② 許多系統(tǒng)的外加輸入信號是事先不可能知道的。 但是有兩個問題 此時系統(tǒng)的自由響應已經(jīng)衰減完畢 2022年 3月 13日 1時 2分 北京科技大學信息工程學院自動化系 5 典型輸入信號與時域性能指標 為了能比較各種控制系統(tǒng)的性能，在設計和分析控制系統(tǒng)時，需要有一個對各種控制系統(tǒng)的性能進行比較的基礎(chǔ)。 而這種基礎(chǔ)就是預先規(guī)定一些具有特殊型式的試驗信號做為系統(tǒng)的輸入，然后比較各種系統(tǒng)對這些輸入信號的反應（過渡過程）。 這些特殊的信號，就是我們前面介紹過的 —— 典型輸入信號。有： ①階躍函數(shù) —— 單位階躍函數(shù) ②斜坡函數(shù) —— 單位斜坡函數(shù) ③拋物線函數(shù) —— 單位拋物線函數(shù) ④ 脈沖函數(shù) —— 單位脈沖函數(shù) ⑤正弦函數(shù) 2022年 3月 13日 1時 2分 北京科技大學信息工程學院自動化系 6 時域響應與典型輸入信號 （ 1）階躍函數(shù) 2）常用的典型輸入信號 ??????000)(tAttuA=1時，稱為單位階躍函數(shù)，記為 1(t)。 拉氏變換為： L ； 一般情況為： st1)](1[ ?sAsu ?)(2022年 3月 13日 1時 2分 北京科技大學信息工程學院自動化系 7 典型輸入信號與時域性能指標 （ 2）斜坡函數(shù) （ 3）拋物線函數(shù) 3)(00021)(sAsuttAttu?????????sAsuttAttu???????)(000( ）2022年 3月 13日 1時 2分 北京科技大學信息工程學院自動化系 8 典型輸入信號與時域性能指標 （ 4）單位脈沖函數(shù) δ(t) 1]([ ?）t?L 22)()。s i n((????????SAsutAtu ）（ 5）正弦函數(shù) 2022年 3月 13日 1時 2分 北京科技大學信息工程學院自動化系 9 上次課小結(jié) 狀態(tài)空間表達式 基本概念 狀態(tài) 狀態(tài)變量 狀態(tài)向量 狀態(tài)空間 表達式 X A X B UY C X D U????三種表達式 基本表達式 概念 狀態(tài)方程 —— 一組一階微分方程組，是動態(tài)方程 輸出方程是一組靜態(tài)方程，輸出與狀態(tài)和輸入的映射關(guān)系 2022年 3月 13日 1時 2分 北京科技大學信息工程學院自動化系 10 上次課小結(jié) 求取 機理分析方法 微分方程求取 傳遞函數(shù)求取 微分方程求取 不含有輸入導數(shù)項 含有輸入導數(shù)項 （兩種方法） 相關(guān)概念 能控標準型 能觀標準型 約當型 2022年 3月 13日 1時 2分 北京科技大學信息工程學院自動化系 11 上次課小結(jié) 求傳遞函數(shù)矩陣 G(s)=C(sInA)1B+D 不變性 時域響應 典型輸入信號 211 ( ) ( ) sin ( )2t t t t t?、 、 、 、響應的一些概念 2022年 3月 13日 1時 2分 北京科技大學信息工程學院自動化系 12 作業(yè)： 系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式為： ? ? xtyuxtx100)(210311032010)(????????????????????????????1）畫出系統(tǒng)的模擬結(jié)構(gòu)圖。 2）求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。 2022年 3月 13日 1時 2分 北京科技大學信息工程學院自動化系 13 典型輸入信號與時域性能指標 3）時域性能指標 時域中評價系統(tǒng)的動態(tài)態(tài)性能，通常以系統(tǒng)對單位階躍輸入信號的暫態(tài)響應為依據(jù)。 動態(tài)性能： 系統(tǒng)輸出量從初始狀態(tài)到最終狀態(tài)響應過程的運動性能。 穩(wěn)態(tài)性能： 表征穩(wěn)態(tài)時系統(tǒng)輸出量最終跟蹤或復現(xiàn)理想輸出的程度 由于系統(tǒng)的響應分穩(wěn)態(tài)響應與動態(tài)響應兩部分 所以分析系統(tǒng)的性能也就分穩(wěn)態(tài)性能和動態(tài)性能 兩部分進行分析。 分別定義了動態(tài)性能指標和穩(wěn)態(tài)性能指標 2022年 3月 13日 1時 2分 北京科技大學信息工程學院自動化系 14 典型輸入信號與時域性能指標 動態(tài)性能 上升時間 tr 延遲時間 td 峰值時間 tp 調(diào)節(jié)時間 ts 超調(diào)量 σ% 振蕩次數(shù) N ()ctrtpt st10p?tdt 誤 差 帶 ：?或?2022年 3月 13日 1時 2分 北京科技大學信息工程學院自動化系 15 h(t) t A 時間 tr 上 升 超調(diào)量 σ% = A B 100% 峰值時間 tp B 調(diào)節(jié)時間 ts 動態(tài)性能指標定義1 y(t)時間 tr 上 升 峰值時間 tp B 超調(diào)量調(diào)節(jié)時間 ts 2022年 3月 13日 1時 2分 北京科技大學信息工程學院自動化系 16 y(t) t 上升時間 tr 調(diào)節(jié)時間 ts 動態(tài)性能指標定義2 2022年 3月 13日 1時 2分 北京科技大學信息工程學院自動化系 17 y(t) t ts tp tr A B σ%= B A 100% 動態(tài)性能指標定義3 2022年 3月 13日 1時 2分 北京科技大學信息工程學院自動化系 18 典型輸入信號與時域性能指標 動態(tài)性能 上升時間 tr 延遲時間 td 峰值時間 tp 調(diào)節(jié)時間 ts 超調(diào)量 σ% 振蕩次數(shù) N 過渡過程時間 ts dt2022年 3月 13日 1時 2分 北京科技大學信息工程學院自動化系 19 上升時間 tr： 響應曲線從零首次上升到穩(wěn)態(tài)值 h(∞)所需的時間，稱為上升時間。若響應曲線無振蕩的系統(tǒng)，tr是響應曲線從穩(wěn)態(tài)值的 10%上升到 90%所需的時間。 延遲時間 td: 響應曲線第一次到達終值一半所需的時間。 峰值時間 tp: 響應曲線超過穩(wěn)態(tài)值 h(∞)達到第一個峰值所需的時間。 調(diào)節(jié)時間 ts: 在穩(wěn)態(tài)值 h(∞)附近取一誤差帶，通常取響應曲線開始進入并保持在誤差帶內(nèi)所需的最小時間，稱為調(diào)節(jié)時間。 典型輸入信號與時域性能指標 dt2022年 3月 13日 1時 2分 北京科技大學信息工程學院自動化系 20 典型輸入信號與時域性能指標 ts越小，說明系統(tǒng)從一個平衡狀態(tài)過渡到另一個平衡狀態(tài)所需的時間越短。 超調(diào)量 σ%： 響應曲線超出穩(wěn)態(tài)值的最大偏差與穩(wěn)態(tài)值之比。即 超調(diào)量表示系統(tǒng)響應過沖的程度，超調(diào)量過大將使系統(tǒng)元件工作于惡劣條件，同時加長了調(diào)節(jié)時間。 振蕩次數(shù) N： 在調(diào)節(jié)時間以內(nèi)，響應曲線穿越其穩(wěn)態(tài)值次數(shù)的一半。 tr,tp和 ts表示控制系統(tǒng)反映輸入信號的快速性，而σ%和 N反映系統(tǒng)動態(tài)過程的平穩(wěn)性。其中 ts和 σ%是最重要的兩個動態(tài)性能的指標。 %100)( )()(% ?? ??? h hth p?2022年 3月 13日 1時 2分 北京科技大學信息工程學院自動化系 21 典型輸入信號與時域性能指標 穩(wěn)態(tài)性能： 本課程中所講的穩(wěn)態(tài)性能主要是穩(wěn)態(tài)誤差 ess，它是系統(tǒng)控制精度的一種度量。 2022年 3月 13日 1時 2分 北京科技大學信息工程學院自動化系 22 凡以一階微分方程作為運動方程的控制系統(tǒng)，稱為一階系統(tǒng)。一階系統(tǒng)在控制工程中應用廣泛。如加熱爐、單容水箱等。 一階系統(tǒng)的時域分析 11 ( )1bK G s Ts?? ?當 時 ，開環(huán)傳函為： () ( ) ( )d y tT y t K u tdt ??閉環(huán)傳函為： 微分方程為： 其中： T為系統(tǒng)的時間常數(shù)， K的為開環(huán)增益 K()b KGs T s K? ?()k KGs Ts?2022年 3月 13日 1時 2分 北京科技大學信息工程學院自動化系 23 一階系統(tǒng)的時域分析 1）單位階躍響應 對上式取拉氏反變換，得單位階躍響應為： )(tu( t) 1?ssu1)( ?單位階躍輸入 的像函數(shù)為 則系統(tǒng)輸出量的拉氏變換為： 11111)()()(??????? TsTssTssusGsy)(1)1()( tety Tt???2022年 3月 13日 1時 2分 北京科技大學信息工程學院自動化系 24 一階系統(tǒng)的時域分析 t T 2T 3T 4T 5T y(t) 2022年 3月 13日 1時 2分 北京科技大學信息工程學院自動化系 25 一階系統(tǒng)的時域分析 2）單位斜坡響應 當輸入信號 時， 系統(tǒng)輸出量的拉 氏變換為： )(1)( tttu ??21)(ssu ?11111)()()( 222 ???????? TsTstssTssusGsy對上式取拉氏反變換，得單位斜坡響應為： )(1)()( tTeTtty Tt????( ) 1 ) 0tTy t t T e t?? ? ? ?或 （2022年 3月 13日 1時 2分 北京科技大學信息工程學院自動化系 26 一階系統(tǒng)的時域分析 ( ) 1 ) 0tTy t t T e t?? ? ? ?（2022年 3月 13日 1時 2分 北京科技大學信息工程學院自動化系 27 一階系統(tǒng)的時域分析 當 u(t)=δ(t)時，系統(tǒng)的輸出響應為該系統(tǒng)的脈沖響 應。因為 L [δ(t)]=1，一階系統(tǒng)脈沖響應的拉氏變換為： 3）單位脈沖響應 TsTTssusGsy 11111)()()(??????)(11)( teTty Tt?? ?對應單位脈沖響應為： 2022年 3月 13日 1時 2分 北京科技大學信息工程學院自動化系 28 一階系統(tǒng)的時域分析 )(11)( teTty Tt???21T?2()11001 1 10y t k t bk b bTTk T bk T k T kT T T??? ? ? ???? ? ? ? ? ?2022年 3月 13日 1時 2分 北京科技大學信息工程學院自動化系 29 一階系統(tǒng)的時域分析 )(tu)(1t )(11 te Tt ?? ?)(ty)(1)1( teTt Tt ??? ?)(t? )(11 teTTt??221t )(1)1(21