【正文】 第 2章 邏輯代數(shù)的基本運(yùn)算 ? 邏輯代數(shù) ? 邏輯函數(shù)及其表示方法 ? 邏輯代數(shù)的基本定律和恒等式 ? 邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法 邏輯代數(shù) ? 邏輯代數(shù)又稱布爾代數(shù)，其基本思想是 19世紀(jì)英國數(shù)學(xué)家喬治 布爾首先提出的。所謂邏輯就是事物因果之間所遵循的規(guī)律。為了避免用冗繁的文字來描述邏輯問題，邏輯代數(shù)采用邏輯變量和一套運(yùn)算符組成邏輯函數(shù)表達(dá)式來描述事物的因果關(guān)系。它是用數(shù)學(xué)的方法來研究、證明、推理邏輯問題的一種數(shù)學(xué)工具。邏輯代數(shù)雖然和普通代數(shù)一樣也是用字母表示變量，但是這兩種代數(shù)中的變量含義是完全不同的，邏輯代數(shù)中的每個(gè)變量 (邏輯變量 )只有 0和 1兩種取值 ,0和 1不再表示數(shù)量的大小，而是表示對立的兩種邏輯狀態(tài)。例如，電燈的亮與滅、電動機(jī)的工作與停止。 下一頁 返回 邏輯代數(shù) ? 在數(shù)字電路中，輸入的信號是“條件”，輸出的信號是“結(jié)果”，因此輸入、輸出信號之間存在一定的因果關(guān)系，這種因果關(guān)系稱為邏輯關(guān)系。描述邏輯關(guān)系可以用語句、邏輯表達(dá)式、圖形和表格等，描述邏輯關(guān)系的表格又稱為真值表。表示邏輯運(yùn)算所用的規(guī)定的圖形符號稱為邏輯符號。邏輯代數(shù)中有 3種基本運(yùn)算 :“與”運(yùn)算、“或”運(yùn)算和“非”運(yùn)算。下面就分別討論這 3種基本邏輯運(yùn)算。 下一頁 返回 上一頁 邏輯代數(shù) ? 與運(yùn)算 ? 首先，我們來看一個(gè)具體的電路試驗(yàn)，電路如 圖 21所示，電源 E通過A,B兩個(gè)串聯(lián)的開關(guān)給電燈 Y供電。 ? 從 圖 21(a)可以看出，只有開關(guān) A,B同時(shí)閉合，燈泡 Y才會亮， A,B中有一個(gè)或兩個(gè)斷開，燈泡 Y就不亮。其邏輯關(guān)系如 表 21所示，當(dāng)開關(guān)的閉合用 1表示、斷開用 0表示，燈泡的亮用 1表示、不亮用 0表示時(shí)， 表 21的邏輯關(guān)系就可以寫成 表 22的形式， 表 22就是該邏輯的真值表。以上試驗(yàn)說明了這樣一種邏輯關(guān)系 :“只有當(dāng)一個(gè)事件的幾個(gè)條件全部具備之后，這個(gè)事件才會發(fā)生?！边@種邏輯關(guān)系稱為與邏輯與邏輯的表達(dá)式可以用下式來描述 : 下一頁 返回 上一頁 邏輯代數(shù) ? Y=AB或 Y=AB (21) ? 式中的小圓點(diǎn)“ ”表示 A,B的與運(yùn)算，又叫邏輯乘。在不致引起混淆的前提下乘號“ ”可以被省略，而寫成 Y = AB。在有些文獻(xiàn)里，用符號 ∧ 、∩表示與運(yùn)算請讀者注意。在電路中，與邏輯的邏輯符號如 圖 21(b)所示。 下一頁 返回 上一頁 邏輯代數(shù) ? 或運(yùn)算 ? 當(dāng)決定事件結(jié)果的幾個(gè)條件中，只要有一個(gè)或一個(gè)以上的條件得到滿足，結(jié)果就會發(fā)生時(shí)，這種邏輯關(guān)系稱為或邏輯。如 圖 22 (a)所示就是或邏輯模型電路，圖中 A,B是兩個(gè)并聯(lián)開關(guān)， Y是燈泡， E是電源。當(dāng) A,B均不通時(shí)，則燈泡 Y不亮 。只要開關(guān) A或 B有一個(gè)接通或兩個(gè)均接通，則燈泡 Y亮?？梢钥闯?，該電路滿足或邏輯關(guān)系，其邏輯關(guān)系如 表 23所示。 下一頁 返回 上一頁 邏輯代數(shù) ? 仿照前面的方法，用 0和 1表示的或邏輯真值表如 表 24所示，用邏輯表達(dá)式描述可寫為 ? Y=A+B (22) ? 式中的符號“ +”表示 A,B的或運(yùn)算，也稱為邏輯加。在有些文獻(xiàn)里，用符號 ∨ , ∪ 表示或運(yùn)算，請讀者注意。在電路中或邏輯的邏輯符號如 圖22(b)所示。 下一頁 返回 上一頁 邏輯代數(shù) ? 非運(yùn)算 ? 另外一種基本的邏輯運(yùn)算就是非運(yùn)算，即“一件事情 (燈泡 )的發(fā)生是以其相反的條件為依據(jù)”。這種邏輯關(guān)系稱為非邏輯，其邏輯電路如 圖 23(a)所示。圖中 E是電源， R是限流電阻。開關(guān) A閉合時(shí)，燈泡 Y不亮 。開關(guān) A斷開時(shí)，燈泡 Y則亮。 下一頁 返回 上一頁 邏輯代數(shù) 其邏輯關(guān)系如 表 25所示，同樣也可寫成真值表的形式，如 表 26所示，從真值表中可以看出，非邏輯的運(yùn)算規(guī)律為 :輸入。則輸出 1。輸入 1則輸出 0,即“輸入、輸出始終相反”。非運(yùn)算的邏輯表達(dá)式可寫 ? (23) ? 式中，字母 A上方的“ ”表示非運(yùn)算在某些文獻(xiàn)里，也有用“ ~”或“ ﹁ ”來表示非運(yùn)算的。用非邏輯門電路實(shí)現(xiàn)非運(yùn)算，其邏輯符號如 圖 23(b)所示。 YA?下一頁 返回 上一頁 邏輯代數(shù) ? 幾種常見的復(fù)合邏輯關(guān)系 ? 與、或、非運(yùn)算是邏輯代數(shù)中最基本的 3種運(yùn)算，任何復(fù)雜的邏輯關(guān)系都可以通過與、或、非組合而成。常見的幾種復(fù)合邏輯關(guān)系的邏輯表達(dá)式、邏輯符號以及邏輯真值表分別介紹如下。 下一頁 返回 上一頁 邏輯代數(shù) ? ? 邏輯表達(dá)式為 ? （ 24） ? 邏輯符號如 圖 24所示。 ? 真值表如 表 27所示 ? 從 表 27中可以看出，只有 A,B全為 1時(shí)， Y才為 0，與非邏輯和與邏輯正好相反，即“當(dāng)一件事情的幾個(gè)條件全部具備之后，這件事情才不發(fā)生”。 Y AB?下一頁 返回 上一頁 邏輯代數(shù) ? ? 邏輯表達(dá)式為 ? (25) ? 邏輯符號如 圖 25所示。 ? 真值表如 表 28所示。 ? 同樣從 表 28中可以看出，或非邏輯與或邏輯也正好相反。它的邏輯關(guān)系讀者可以自己整理一下。 Y A B??下一頁 返回 上一頁 邏輯代數(shù) ? ? 邏輯表達(dá)式為 ? 或者 (26) ? 邏輯符號如 圖 26所示。 ? 真值表如 表 29所示。 ? 異或邏輯的特點(diǎn)是 :輸入相同時(shí)，輸出為 0。輸入相異時(shí)，輸出為 1。 Y AB AB?? Y A B??下一頁 返回 上一頁 邏輯代數(shù) ? ? 邏輯表達(dá)式為 ? 或者 (27) ? 邏輯符號如 圖 27所示。 ? 真值表如 表 210所示。 Y AB AB?? Y A B?下一頁 返回 上一頁 邏輯代數(shù) ? ? 這是一個(gè)很典型的組合邏輯運(yùn)算，從字面上也可以看出，它是與運(yùn)算、或運(yùn)算和非運(yùn)算 3種邏輯運(yùn)算的組合。如 圖 28所示是其邏輯符號，如 圖29所示是其等效邏輯電路圖 ? 邏輯表達(dá)式為 ?