【正文】 第 2章 邏輯代數的基本運算 ? 邏輯代數 ? 邏輯函數及其表示方法 ? 邏輯代數的基本定律和恒等式 ? 邏輯函數的卡諾圖化簡法 邏輯代數 ? 邏輯代數又稱布爾代數，其基本思想是 19世紀英國數學家喬治 布爾首先提出的。所謂邏輯就是事物因果之間所遵循的規(guī)律。為了避免用冗繁的文字來描述邏輯問題，邏輯代數采用邏輯變量和一套運算符組成邏輯函數表達式來描述事物的因果關系。它是用數學的方法來研究、證明、推理邏輯問題的一種數學工具。邏輯代數雖然和普通代數一樣也是用字母表示變量，但是這兩種代數中的變量含義是完全不同的，邏輯代數中的每個變量 (邏輯變量 )只有 0和 1兩種取值 ,0和 1不再表示數量的大小，而是表示對立的兩種邏輯狀態(tài)。例如，電燈的亮與滅、電動機的工作與停止。 下一頁 返回 邏輯代數 ? 在數字電路中，輸入的信號是“條件”，輸出的信號是“結果”，因此輸入、輸出信號之間存在一定的因果關系，這種因果關系稱為邏輯關系。描述邏輯關系可以用語句、邏輯表達式、圖形和表格等，描述邏輯關系的表格又稱為真值表。表示邏輯運算所用的規(guī)定的圖形符號稱為邏輯符號。邏輯代數中有 3種基本運算 :“與”運算、“或”運算和“非”運算。下面就分別討論這 3種基本邏輯運算。 下一頁 返回 上一頁 邏輯代數 ? 與運算 ? 首先，我們來看一個具體的電路試驗，電路如 圖 21所示，電源 E通過A,B兩個串聯的開關給電燈 Y供電。 ? 從 圖 21(a)可以看出，只有開關 A,B同時閉合，燈泡 Y才會亮， A,B中有一個或兩個斷開，燈泡 Y就不亮。其邏輯關系如 表 21所示，當開關的閉合用 1表示、斷開用 0表示，燈泡的亮用 1表示、不亮用 0表示時， 表 21的邏輯關系就可以寫成 表 22的形式， 表 22就是該邏輯的真值表。以上試驗說明了這樣一種邏輯關系 :“只有當一個事件的幾個條件全部具備之后，這個事件才會發(fā)生?！边@種邏輯關系稱為與邏輯與邏輯的表達式可以用下式來描述 : 下一頁 返回 上一頁 邏輯代數 ? Y=AB或 Y=AB (21) ? 式中的小圓點“ ”表示 A,B的與運算，又叫邏輯乘。在不致引起混淆的前提下乘號“ ”可以被省略，而寫成 Y = AB。在有些文獻里，用符號 ∧ 、∩表示與運算請讀者注意。在電路中，與邏輯的邏輯符號如 圖 21(b)所示。 下一頁 返回 上一頁 邏輯代數 ? 或運算 ? 當決定事件結果的幾個條件中，只要有一個或一個以上的條件得到滿足，結果就會發(fā)生時，這種邏輯關系稱為或邏輯。如 圖 22 (a)所示就是或邏輯模型電路，圖中 A,B是兩個并聯開關， Y是燈泡， E是電源。當 A,B均不通時，則燈泡 Y不亮 。只要開關 A或 B有一個接通或兩個均接通，則燈泡 Y亮?？梢钥闯?，該電路滿足或邏輯關系，其邏輯關系如 表 23所示。 下一頁 返回 上一頁 邏輯代數 ? 仿照前面的方法，用 0和 1表示的或邏輯真值表如 表 24所示，用邏輯表達式描述可寫為 ? Y=A+B (22) ? 式中的符號“ +”表示 A,B的或運算，也稱為邏輯加。在有些文獻里，用符號 ∨ , ∪ 表示或運算，請讀者注意。在電路中或邏輯的邏輯符號如 圖22(b)所示。 下一頁 返回 上一頁 邏輯代數 ? 非運算 ? 另外一種基本的邏輯運算就是非運算，即“一件事情 (燈泡 )的發(fā)生是以其相反的條件為依據”。這種邏輯關系稱為非邏輯，其邏輯電路如 圖 23(a)所示。圖中 E是電源， R是限流電阻。開關 A閉合時，燈泡 Y不亮 。開關 A斷開時，燈泡 Y則亮。 下一頁 返回 上一頁 邏輯代數 其邏輯關系如 表 25所示，同樣也可寫成真值表的形式，如 表 26所示，從真值表中可以看出，非邏輯的運算規(guī)律為 :輸入。則輸出 1。輸入 1則輸出 0,即“輸入、輸出始終相反”。非運算的邏輯表達式可寫 ? (23) ? 式中，字母 A上方的“ ”表示非運算在某些文獻里，也有用“ ~”或“ ﹁ ”來表示非運算的。用非邏輯門電路實現非運算，其邏輯符號如 圖 23(b)所示。 YA?下一頁 返回 上一頁 邏輯代數 ? 幾種常見的復合邏輯關系 ? 與、或、非運算是邏輯代數中最基本的 3種運算，任何復雜的邏輯關系都可以通過與、或、非組合而成。常見的幾種復合邏輯關系的邏輯表達式、邏輯符號以及邏輯真值表分別介紹如下。 下一頁 返回 上一頁 邏輯代數 ? ? 邏輯表達式為 ? （ 24） ? 邏輯符號如 圖 24所示。 ? 真值表如 表 27所示 ? 從 表 27中可以看出，只有 A,B全為 1時， Y才為 0，與非邏輯和與邏輯正好相反，即“當一件事情的幾個條件全部具備之后，這件事情才不發(fā)生”。 Y AB?下一頁 返回 上一頁 邏輯代數 ? ? 邏輯表達式為 ? (25) ? 邏輯符號如 圖 25所示。 ? 真值表如 表 28所示。 ? 同樣從 表 28中可以看出，或非邏輯與或邏輯也正好相反。它的邏輯關系讀者可以自己整理一下。 Y A B??下一頁 返回 上一頁 邏輯代數 ? ? 邏輯表達式為 ? 或者 (26) ? 邏輯符號如 圖 26所示。 ? 真值表如 表 29所示。 ? 異或邏輯的特點是 :輸入相同時，輸出為 0。輸入相異時，輸出為 1。 Y AB AB?? Y A B??下一頁 返回 上一頁 邏輯代數 ? ? 邏輯表達式為 ? 或者 (27) ? 邏輯符號如 圖 27所示。 ? 真值表如 表 210所示。 Y AB AB?? Y A B?下一頁 返回 上一頁 邏輯代數 ? ? 這是一個很典型的組合邏輯運算，從字面上也可以看出，它是與運算、或運算和非運算 3種邏輯運算的組合。如 圖 28所示是其邏輯符號，如 圖29所示是其等效邏輯電路圖 ? 邏輯表達式為 ?