【正文】 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 167。 非線性方程研究的例子與概念 例子 基本定義 自治微分方程與非自治微分方程、 動力系統(tǒng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例 早期研究生態(tài)問題的一個簡單的 微分方程模型 時 Malthus模型 dx rxdt?() 其中 代表 t時刻種群的數(shù)量， 為一個常數(shù) ()xt r(稱為 內(nèi)稟增長率 )，模型的簡單解釋就是說 時刻 t種群的數(shù)量的變化率和種群數(shù)量成正比，這時一個 線性模型，加上初始條件 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 00( 0) ( 0)x x x??可以容易地求得其解為 由解的形式可以得出當(dāng) 時 0( 0 , 0)r r r? ? ?00l im ( , 0 , ) ( , )t x t x x? ? ? ? ? ? ? ?這種描述明顯的與實際問題不符。因為任何群的 數(shù)量都受生態(tài)環(huán)境的影響不會無限制的增長， 這就是線性化所引起的問題，它改變了實際現(xiàn)象 )e x p (),0,( 00 rtxxtx ? 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 變化規(guī)律，這就導(dǎo)出了對其改進的 Logisitic模型 0( 1 )( 0 )d x xrxd t kxx?????? ??這里的 及 的意義同 (), 是一個 ()xt r 0K ?常數(shù)，通常稱為 環(huán)境容納量 ．這是一個非線性的 問題，不過由于方程簡單也利用初等積分可以得 得到其解為： () 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (1) 如果 , 0 0x ?則 ； ( , 0 , 0) 0xt ?(2) 如果 , 0xK?則 ； ( , 0 , )x t K K?(3) 如果 , 0 0x ?則 00( , 0 , )1 ( 1 ) rtKx t xKeX????當(dāng) 時 ，從解的形式看出 00 , 0 , 0r K x? ? ?00t+l im ( , 0 , )x t x K?? ?()克服了 ()中種群數(shù)量無限增長的缺陷 , 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 在一定程度上能更好的刻畫實際問題的變化規(guī)律． 對 ()和 ()這樣能求出其解的具體形 式的問題 .當(dāng)然可以用前面所學(xué)的知識來討論其解 在 時的性態(tài)，而當(dāng)我們求不出方程解時 , t ? ??又該如何研究 解的 性態(tài)呢？ 事實上，對一些方程可從它的形式得到當(dāng) t ? ?? 的性態(tài)。例若將方程 ()滿足 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 初始值 的解記為 , 0( 0 )xx? 0( , )x t x則從方程的形式可以看出， 當(dāng) 時 00 , ( , ) 0r x t x??0( , x ) 0d x tdt ?則 , 單調(diào)減 。 0( , )x t x當(dāng) ， 時 0r ?0( , ) 0x t x ? 0( , x ) 0,dx tdt?則 , 單調(diào)增 。 0( , )x t x所以，當(dāng) 時 0r 0 , x 0 0( , ) 0x t x ? 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 且單調(diào)減 必有極限 0( , )x t x0l im ( , ) 0 .t x t x a? ? ? ??再由 ()看出 0( , )l im .td x t x radt? ? ??于是 , 。即當(dāng) 時， ()的解 0a ?0r 0 , x 0滿足 ．同理可以得到 0l im ( , ) 0t x t x? ? ? ?當(dāng) 時， ．這樣我們 0r 0 , x 0? 0l im ( , ) 0t x t x? ? ? ?沒有求解方程，通過解的形式得出了當(dāng) 時， 0r ? 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ()所有的解滿足 0l im ( , ) 0t x t x? ? ? ?同理，當(dāng) 時，對 ()的解 0 , 0rK??0( , )x t x有： 當(dāng) 時， 0( , ) 0x t x ? 0( , x ) 0。dx tdt ?當(dāng) 時， 00 ( , )x t x K?? 0( , ) 0。d x t xdt ?當(dāng) 時， 0( , )x t x K? 0( , ) x t xdt ? 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 于是不同的 我們可以得到 ()解的性態(tài)如下： 0x000000l im ( , ) , 0l im ( , ) 0 , 0l im ( , ) , 0tttx t x xx t x xx t x K x? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ?????例 討論當(dāng)時下面方程組解的性態(tài) . 4444()()dxy x x ydtdyx y x ydt?? ? ? ????? ? ? ???（ ） 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 解 由于 ()是一個非線性方程組，無法求出其 故我們 用定性分析法 來討論 ()當(dāng) t ? ??時解的性態(tài) .將 ()滿足 00( 0) , ( 0)x x y y??的解記為 0 0 0 0( , , ) , ( , , )x x t x y y y t x y??在時刻 ，該解在平面上的點為： t0 0 0 0( ( , , ) , ( , , ) )P x t x y y t x y 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 點隨著時間 t而變化， 點到坐標(biāo)原點 P P(0 , 0 )O220 0 0 0( ) ( , , ) ( , , )R t x t x y y t x y??由于 0000( , , )()2 ( ) 2 ( , , ) d x t x yd R tR t x t x yd t d t?0000( , , )2 ( , , ) d y t x yy t x ydt?利用解滿足的方程 ()得 440 0 0 0() ( ) ( ( , , ) ( , , ) ) 0d R t R t x t x y y t x ydt ? ? ? ? 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 于是， 隨時間單調(diào)減少， 再利用反證法可以 ()Rt得到 。我們得結(jié)論是 l im ( ) 0t Rt? ? ? ?0 0 0 0l im ( , , ) 0 , l im ( , , ) 0ttx t x y y t x y? ? ? ? ? ???即設(shè)有求解方程組 ()，我們也成功地解決了 解的性態(tài)分析問題。 本章就是要給出通過方程的形式來分析解的 法。接下來先給出一些基本概念。 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 自治微分方程與非自治微分方程 ,動力系統(tǒng) 最一般的 階非線性微分方程可以表示為 : n( ) ( 1 )( , , , .. . )nny G t y y y y ?? ???() 且 關(guān)于的 隱函數(shù)是存在的，即 ()可以 F()ny表示為 ( ) ( 1 )( , , , .. . )nny G t y y y y ?? ???如果做變換 ( 1 )12 , , ....,nnx y x y x y???