格林公式及其應(yīng)用ppt課件(已修改)
2025-01-31 22:17 本頁面
【正文】 上頁 下頁 鈴 結(jié)束 返回 首頁 ? ? ,41),( 22 ??? yxyx ? ?10),( 22 ??? yxyx環(huán)形區(qū)域 都是復(fù)連通區(qū)域 . 定義 規(guī)定平面區(qū)域 D的邊界曲線 L的正向如下：當(dāng)觀測(cè)者沿 L的這個(gè)方向行走時(shí)， D內(nèi)在他近處的那一部分總在他的左邊 .如圖 D L l.L( 順時(shí)針逆時(shí)針，）的正向?yàn)楹偷倪吔缜€區(qū)域 llLD上頁 下頁 鈴 結(jié)束 返回 首頁 定理 1. 設(shè)區(qū)域 D 是由分段光滑正向曲線 L 圍成 , 則有 )(.)(dd ??? ???????? DLd x d yyPxQyQxP( 格林公式 ) 函數(shù) 在 D 上具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù) , 1. 格林公式 .D 的正向邊界為區(qū)域其中 ?L證 先 證 )(.d ??? ????? DLd x d yyPxP根據(jù)區(qū)域 D 的不同，我們分三種情況進(jìn)行證明： 上頁 下頁 鈴 結(jié)束 返回 首頁 ? ?bxaxyyxyyxD ????? ),()(),( 21（ 1） 根據(jù)曲線積分的性質(zhì)及計(jì)算法，有 ??LxPd ?? ??? BA P d x ? ?? BB P d x ??? BA P d x ? ?? AA P d x?? ba dxxyxP ))(,( 1 0? ?? ab dxxyxP ))(,( 2 0?? ??? ba dxxyxPxyxP .))](,())(,([ 12另一方面，根據(jù)二重積分的計(jì)算法，有 dx dyyPD ???? ? ???? baxyxydxdyy yxP)()(21)),((dxxyxPxyxPba ]))(,())(,([ 12? ??比較上面兩式，即得所要的公式（ ） 上頁 下頁 鈴 結(jié)束 返回 首頁 yxoL(2) 若 D是單連通區(qū)域 ,但 D的邊界線 L與平行于 y軸的直線之交點(diǎn)多于兩個(gè) . 則可通過加輔助線將其分割 1DnD2D? ??? ???? nk DyxyPk1ddyxyPDdd?????? ????nkD kxP1d.d? ??LxP為有限個(gè)上述形式的區(qū)域 , 如圖 )( 的正向邊界表示 kk DD?證畢 上頁 下頁 鈴 結(jié)束 返回 首頁 (3) D 是多連通區(qū)域 這時(shí)仍然可以通過作輔助線的方法將 D 分作若干小區(qū) 域 .如圖所示 .對(duì)于每個(gè) 小區(qū)域使用上述公式 (),然后相加 ，即得出對(duì)于整個(gè)區(qū) 域 D 上公式 () 成立 . 1D2D3D4Dxyo上頁 下頁 鈴 結(jié)束 返回 首頁 ? }),()(),( 21 dycyxyyxD ????? ??設(shè)類似地可證 .dxd y D??? ????? x dyL將前面已證明的關(guān)于 及 的公式相加， 即得到格林 公式 . ? ?L Qd y? ?L P d y上頁 下頁 鈴 結(jié)束 返回 首頁 ? ? ?? L x d yy d xI ,2例 1 求 其中 L為正方形 ABCD 的邊界， A(1,0),B(0,1),C(1,0),D(0,1). A(1,0 ) B(0,1 ) D(1,0 ) C(0,1 ) x y o 解 利用格林公式， dx dyyPxQID)( ?????? ???? ??Dd x dy)12(.2)2( 2 ??時(shí)，看出，當(dāng)從例 11 ?????? yPxQ.DL 的面積所圍成區(qū)域曲線??? ?L Q d yP d x.21D ? ? ??Ly dxx dy的面積上頁 下頁 鈴 結(jié)束 返回 首頁 12222?? byax例 2 求橢圓 的面積 D. 解 橢圓的邊界方程為 .20,s i n ,c os ???????? ttbytaxD 的面積 ? ? ?? L y dxx dy21? ???? ?20 )]s i n(s i nc osc os[21 dttatbtbta.21 20 ?? ababdt ?? ?上頁 下頁 鈴 結(jié)束 返回 首頁 .L,)()( 22 為光滑的閉曲線其中 ?? ? ? ????L yxdyyxdxyx例 3 求曲線積分 解 ,)(),(P 22 yx yxyx ????這里 ,),(Q 22 yxyxyx??? ),(P yx在原點(diǎn)處無定義，),(Q yx 為利用格林公式，故需分兩種 情況討論 . (1) 當(dāng) L所圍成的區(qū)域 D內(nèi)不包含原點(diǎn)時(shí) ,P(x,y),Q(x,y) 在 D 內(nèi)有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，這時(shí)可用格林公式 .易算出 ,)( 2Q 22222yxxxyyyPx ????????? 于是也即 .0Q ??????yPx上頁 下頁 鈴 結(jié)束 返回 首頁 .00)()( 22 ??? ???? ??? ?DLdx dyyx dyyxdxyx (
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