《格林公式及其應用》ppt課件-文庫吧
2025-01-04 22:17 本頁面
【正文】 2) 當 L所圍的區(qū)域 D 包含原點作為其內(nèi)點時，由于P(x,y) ,Q(x,y) 在 D內(nèi)一點（即原點）處無定義，也就不滿 足 格林公式成立的條件，故不 能 在區(qū)域 D 上用格林公式 . 為了能 用 格林公式，需要把原點“挖掉” .為此以原點為圓心，充分小的 r(0)為半徑作一小圓 C，使 C整個包含在D 內(nèi) .在挖掉小圓域 C 之后的多連通區(qū)域 上，可利用格林公式 .設 C的邊界曲線為 ，則有 1D?.00)()(1)( 22??????? ??????DLdx dyyxdyyxdxyx上頁 下頁 鈴 結束 返回 首頁 按這時的正向邊界曲線表示多連通區(qū)域這里 )( 1???L因而按順時針方向逆時針方向，而 .?? ??? ? ????)( 22 )()(L yx dyyxdxyx? ? ? ????? L yx dyyxdxyx 22 )()( ,)()( 22? ?? ? ????? yx dyyxdxyx?? ? ? ????L yx dyyxdxyx 22 )()( .)()( 22? ?? ? ????? yx dyyxdxyx此式說明，沿任意一條將原點包圍在其內(nèi)部的光滑正向閉曲線 L 的積分，都等于沿以原點為圓心的正向圓周 的積分 . ??上頁 下頁 鈴 結束 返回 首頁 有令 ,20,s i n,c o s ????? ttrytrx? ? ? ????L yx dyyxdxyx 22 )()(dttttrtttrr )])(c oss i n(c os)s i n)(s i n(c os[1 22022 ?????? ??dt?? ?20 1 .2?? 例 4 設函數(shù) u(x,y)在有界閉區(qū)域 D上有連續(xù)的二階偏導數(shù)， L 為 D 的邊界且逐段光滑 .證明： .? ??? ????LDuddsnu ?其中 表示函數(shù) u(x,y)沿 L的外法線方向的方向導數(shù)， u?.2222yuxu??????nu??上頁 下頁 鈴 結束 返回 首頁 及000 ?? tn應滿足 0c o sc o s0??bakji,)c o sc o s( kba ?? ?? 證 設 為 的單位切向量，其方向余弦為 0t?L ?? c o s,c o s .而 為 L 的外法線方向的單位向量 .設 與 0n ),(0 ban ? 0t 0n,00 ktn ??其中 為 z軸正方向的單位向量 .由于 k?? 00 tn00 ??tn故條件 即表為及 ktn ?? 00???????,1c osc os,0c osc os????baba上頁 下頁 鈴 結束 返回 首頁 即由此解出 ,c o s,c o s ?? ?? ba).c o s,( c o s0 ?? ??n 說明 的方向余弦為 .于是由方向導數(shù)的定義 ，有 0n ?? c o s,c o s ?? ? ??L dsnu ? ? ?????? L dsyuxu )c osc os( ??? ? ?????? L dxyudyxu?? ???????????Ddx dyyuyxux )]()([.?? ??Du d x d y上頁 下頁 鈴 結束 返回 首頁 例 5 設區(qū)域 D的邊界為閉曲線 L. 某穩(wěn)定流體 (即流體的流速與時間無關，只與點的位置有關 )在 上每一點 (x,y)處的速度為 LDD ??)),(),((),( yxQyxPyxv ?其中 P(x,y),Q(x,y) 在 上有一階連續(xù)偏導數(shù) .該流體通過閉曲線 L的流量 定義為 D?,? ? ??? L dsnv其中 為 L的外法線方向的單位向量 .試證明 n.)( ?dyQxPdsnvDL ??????? ????上頁 下頁 鈴 結束 返回 首頁 證 設 的切向量的方向余弦為 由例 4知 ?L .c o s,c o s ??).c o s,( c o s ???n? ? ?L dsnv ? ? ?? L dsQP )c o sc o s( ??? ? ?? L Qd xP d y========= 由格林公式 .)( ?dxQyPD ???????（格林公式的另一種形式） 稱函數(shù) 為平面向量場 )),(),(( yxQyxPv ?的 散度 . 物理意義： 穩(wěn)定流體通過某一閉曲線的流量，等 于其散度在該 閉曲線所的區(qū)域上的二重積分之值 . 提示 ? 格林公式 ? 設區(qū)域 D的邊界曲線為 L? 則 在格林公式中 ? 令 P??y? Q?x? 則有 用
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