【正文】 高數(shù) (上 )期末總復(fù)習(xí) 函 數(shù) 的定義 反函數(shù) 隱函數(shù) 反函數(shù)與直接 函數(shù)之間關(guān)系 基本初等函數(shù) 復(fù)合函數(shù) 初等函數(shù) 函 數(shù) 的性質(zhì) 單值與多值 奇偶性 單調(diào)性 有界性 周期性 雙曲函數(shù)與 反雙曲函數(shù) 函數(shù) :主要內(nèi)容 函數(shù)極限及連續(xù) 典型例題 例 1 .)sin1ta n1(l i m 310xx xx???求解法討論 則設(shè) ,)(lim,0)(lim ??? xgxf)](1ln [)(li m)()](1l i m [ xfxgxg exf ???)]()[(lim xfxge ??.)()(li m xfxge ??))(~)](1l n [: xfxf ??等價(jià)無窮小代換1 ?310)]1s i n1t a n1(1[lim xx xx ??????原式310]s i n1s i nt a n1[l i m xx xxx?????301s in1s inta nlimxxxxx?? ??? 301c o s)s i n1()c o s1(s i nlimxxxxxx?? ???xxxxxxx c o s)sin1(1c o s1sinlim20 ?????? ??21.21e?? 原式解 : 例 2 ).(,1)(lim,2)(lim,)(023xpxxpxxxpxpxx求且是多項(xiàng)式設(shè)??????解 ,2)(lim 2 3 ???? xxxpx?),(2)( 23 為待定系數(shù)其中可設(shè) babaxxxxp ?????,1)(li m0?? xxpx?又)0(~2)( 23 ?????? xxbaxxxxp.1,0 ?? ab從而得 xxxxp ??? 23 2)(故例 3 .1,2c o s1,1)( 的連續(xù)性討論?????????xxxxxf ?解 改寫成將 )( xf?????????????????1,111,2c o s1,1)(xxxxxxxf.),1(),1,1(),1,()( 內(nèi)連續(xù)在顯然 ??????xf,1時(shí)當(dāng) ??x????)(l i m1xfx2)1(lim1?????xx???? )(li m1 xfx ????? 2co slim1xx .0)(lim)(lim11xfxfxx ?? ??????.1)( 間斷在故 ??xxf,1時(shí)當(dāng) ?x??? )(lim1 xfx ???? 2co slim1 xx .0??? )(lim 1 xfx ???? )1(li m1 xx .0)1()(lim)(lim11fxfxfxx?? ?????.1)( 連續(xù)在故 ?xxf.),1()1,()( 連續(xù)在 ??????? ?xf2( 3 ),0sinsin,01xxxxyxxx??????? ?? ?? ??例 4: 討 論 的 連 續(xù) 性 ，并 且 指 出 間 斷 點(diǎn) 的 類 型 。)3(si n)3(l i msi n)3(l i m03 ??????? ????? ?xxxx解：????????????????????3)3(lims i n)3(lim003x? ? ? 為 可 去 間 斷 點(diǎn) 。,3s i n )3(lim,01s i nlim020 ?????????? xxxxxxx.1,0 是無窮間斷點(diǎn)為跳躍間斷點(diǎn) ?? xx為無窮間斷點(diǎn)。nx ?? ),3(s i n)3(lim ???????nxxxnx,1s i nlim 21???? xxx求 導(dǎo) 法 則 基本公式 導(dǎo) 數(shù) xyx ???? 0lim微 分 xydy ???關(guān) 系 )( xodyydxydyydxdy ??????????高階導(dǎo)數(shù) 高階微分 主要內(nèi)容 導(dǎo)數(shù)與微分 典型例題 例 1 ).0(),100()2)(1()(fxxxxxf?????求設(shè) ?解 : !100?或：設(shè) f(x)=xg(x)， g(x)=(x1)(x2)? (x100)， 則 f ?(x)=g(x)+xg?(x)， f ?(0)=g(0)+0=100！。 00( ) ( 0 )( 0 ) l im l im ( 1 ) ( 2 ) ( 1 0 0 )0xxf x ff x x xx???? ? ? ? ? ??例 2 解 22224321 1 11 , a r c t a n l n ,2 4 11 1 1 1()4 1 12( 1 )1( 1 ) ,21.( 2 ) 1uxxuu x y uuyuuuuxxxyx x x?? ? ? ??? ? ? ??????? ? ????? ? ???設(shè) 則2221 1 1 1a r c ta n 1 l n , .24 11xy x yx?? ?? ? ???設(shè) 求例 3 解 : 1s i nlim)0()0(lim)0(00?????? ????? xxxfxffxx1)1l n (lim)0()0(lim)0(00??????? ????? xxxfxffxx.1)0(,1)0()0( ??????? ?? fffsin , 0( ) ,l n( 1 ) , 0( 0) , ( 0) , ( 0) .xxfxxxf f f????? ????? ? ?設(shè)問 是 否 存 在例 4 解 : 兩邊取對數(shù) ,ln1ln1 xyyx ? ,lnln xxyy ?即,1ln)ln1( ????? xyy ,ln1 1ln yxy ? ???2)ln1(1)1(ln)1(ln1yyyxyxy?????????322)1(ln)1(ln)1(ln?????yxyxxyy22( ) ( 0 , 0),.yxy f x y x x ydydx? ? ? ?設(shè) 函 數(shù) 由 方 程所 確 定 求.,ar c t an1ln222dxyddxdytytx導(dǎo)數(shù)數(shù)的求有參數(shù)方程所確定函設(shè)????????例 5 解 ttttttdxdy 1111)1( l n)( a r ct a n222????????22222 1)1( l n)1()1(tttttdxddxyd ????????.,)(sin c o s yxxy x ?? 求設(shè)例 6 解 )( ln ??? yyy)s inlnc o s( ln ??? xxxy)sinc o ssinlnsin1()(sin2co sxxxxxxxx ????.,114 )(22nyxxy 求設(shè)???例 7 解 : )1111(234 ????? xx,)1( !)1()11( 1)( ????? nnnxnx? ,)1(!)1()11(1)(????? nnnxnx].)1( 1)1( 1[!)1(23 11)( ?? ?????? nnnn xxny22224 1 4 4 3 3 1 14 ( )2 1 111xxyxxxx? ? ?? ? ? ? ?????洛必達(dá)法則 Rolle 定理 Lagrange 中值 定理 常用的 泰勒公式 型00 ,1,0 ??型???型??0型00型??Cauchy 中值定理 Taylor 中值定理 xxF ?)()()( bfaf ?0?ngfgf 1??fg fggf 11 11 ????取對數(shù)令 gfy ? 主要內(nèi)容 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 (一 ) 例 1 .)1(51lim 5 20 xx xx ????求極限解 .2的次數(shù)為分子關(guān)于 x?515 )51(51 xx ????)()5()151(51!21)5(511 22 xoxx ???????)(21 22 xoxx ????)1()](21[l i m 2220 xxoxxxx ???????原式 .21??典型例題 .)21(lim)3(。)a r c t a n2(lim)2(10ln1xxxxxxx nnx ?????????xxxe ln)a r c t a n2l n (lim)2(??????原式解xxxxe /111)a r c t a n2(1lim2?????????)a r c ta n2(1lim 2xxxxe????????22221111l i mxxxxe ?????????）（.12211limee xxx ?? ????? ）（xxxxx nn 10)21(lim)3( ????)1l n (1lim0)3(nnxxxxe?????原式解])l n ()1[ l n ()( 1l i m0???????nnx xxxe?xxxxxx nnne ???????? 1ln2ln21ln111l i m0nnnne !!ln??22l i maxaxaxax ?????? , 0?a ；310)si n1ta n1(l i m xx xx??? a21 ； 21e ..)2l n (2t anlim。lnsi nlim。)( l nlim10xxxxxxxxxx????????????0； 0； 2/?. 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 (二 ) 典型例題 .)0(ln 有幾個(gè)實(shí)根方程 ?? aaxx例 1 ( ) l n ( 0 , ) 。1( ) , 1 / .f x x ax xf x a x ax? ? ? ??? ? ? ?解 : 設(shè) ，駐 點(diǎn) ：x )/1,0( a ),/1( ??aa/1)(xf?)(xf? ??0?最大值 .,1,01ln,0)1(。,10,01ln,0)1(。,1,01ln,0)1(原方程無根時(shí)原方程有兩個(gè)根時(shí)原方程有唯一根時(shí)eaaafeaaafeaaaf????????????????例 2 .),0()11( 上的單調(diào)性在判斷 ???? xxyxxyyxxy ???????1