[高等教育]42方差(已修改)
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【正文】 返回 上頁 下頁 目錄 2022年 2月 16日星期三 1 第二節(jié) 方差 二、離散型隨機變量的方差 三、連續(xù)型隨機變量的方差 四、方差的性質(zhì) 一、方差的定義及計算公式 返回 上頁 下頁 目錄 2022年 2月 16日星期三 2 一、方差的定義及計算公式 引例： 設(shè) X， Y， Z的分布律分別為 ? ?01PX ??? ? ? ?111 , 122P Y P Y? ? ? ? ?? ? ? ?111 0 0 , 1 0 022P Z P Z? ? ? ? ?雖然 X， Y， Z的數(shù)學期望（平均值）都為 0，但 Y分散程度 比 X大， Z分散程度比 Y大。 問題： 如何定義隨機變量的分散程度？ 返回 上頁 下頁 目錄 2022年 2月 16日星期三 3 方差 是衡量隨機變量取值 波動 程度 的一個數(shù)字特征。 如何定義？ 返回 上頁 下頁 目錄 2022年 2月 16日星期三 4 一般希望了解隨機變量 X取值與期望 E(X) 的分散程度 , 通常是用 2( ( ) )E X E X?來度量 . 可能最先想到 的是用 ( ( ) )E X E X?, 但是 ( ( ) )E X E X? ( ) ( )E X E X?? 0?若用 | ( ) |E X E X?作為平均波動 , 雖然理論上 是可行的 , 但絕對值在計算中麻煩較多 , 故采用下面的定義 . 返回 上頁 下頁 目錄 2022年 2月 16日星期三 5 定義： 設(shè) X是一個隨機變量，若 ? ?? ?2()E X E X?存在， 則稱 為 X的方差。 ? ?? ?2()E X E X? 記為 D (X) 或 Var (X). ? ?? ?2( ) ( ) ( )D X V a r X E X E X? ? ?即 稱 為 X的均方差或標準差 。 ()DX 記為 σ (X). 可見 ????????????????連續(xù)型情形離散型情形,)()]([},{)]([)(212dxxfXExxXPXExXD kkk? 方差反映了隨機變量的取值相對于期望值的分散程度 . 返回 上頁 下頁 目錄 2022年 2月 16日星期三 6 一維隨機變量的方差 設(shè) 離散型 隨機變量 X的概率分布為 () kkP X x p?? 1 , 2 , ,k ?2 2 2( ) ( )k k k kkkD X p x x p??? ? ? ? ????離散型 ?連續(xù)型 設(shè) 連續(xù)型 隨機變量 X的分布密度為 f (x) ()EX ??其中 2 2 2( ) ( ) ( ) ( )D X x f x d x x f x d x??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???返回 上頁 下頁 目錄 2022年 2月 16日星期三 7 方差的計算公式 22( ) ( ) [ ( ) ]D X E X E X??Proof. 2( ) {[ ( ) ] }D X E X E X??22{ 2 ( ) [ ( ) ] }E X X E X E X? ? ?22( ) 2 ( ) ( ) [ ( ) ]E X E X E X E X? ? ?22( ) [ ( ) ]E X E X??返回 上頁 下頁 目錄 2022年 2月 16日星期三 8 例： 設(shè) X是 擲一顆均勻的骰子所得的點數(shù)，求 D(X)。 解： 由上一節(jié)的內(nèi)容，可知 E(X)=7/2. 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 9 1( ) 1 2 3 4 5 66 6 6 6 6 6 6EX ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 因此 222 9 1 7 3 5( ) ( ) [ ( ) ]6 2 1 2D X E X E X ??? ? ? ? ?????返回 上頁 下頁 目錄 2022年 2月 16日星期三 9 例： 設(shè) X的概率密度為 解： 求 D(X), D(X2). ???????????101011)(xxxxxf0110( ) ( 1 ) ( 1 ) 0E X x x d x x x d x?? ? ? ? ???012 2 2101( ) ( 1 ) ( 1 )6E X x x d x x x d x?? ? ? ? ???1()6DX??014 4 410( ) ( 1 ) ( 1 )E X x x d x x x d x?? ? ? ???15
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