[理學(xué)]第二講古典概型與概率的定義(已修改)
2025-01-31 15:08 本頁面
【正文】 1 第二講 古典概型與概率的定義 一、 古典概型 設(shè) 隨機試驗 E 具有下列特點： 1） 樣本點個數(shù)有限 ——有限性 2） 每個樣本點發(fā)生的可能性相等 ——等可能性 則稱 E 為 古典 (等可能 )概型 古典概型中概率的計算： 記 個數(shù)中所包含的樣本點的 ??n的樣本點的個數(shù)組成 Ak ?nkAP ?)(則 概率的 古典定義 3 }{}{1inii ePneP????)}{(},{)(1121 ??niin ePeeePP?????).,2,1(1}{ nineP i ???故 概率的 古典定義與統(tǒng)計定義是一致的： 由概率的 統(tǒng)計 定義 即任意基本事件 }{ ie 發(fā)生的概率均為 n1 。 4 ,)1( 21 niii k ????? ?)}{(},{)(1,21 ??kjiiii jk ePeeePAP???.}{1 nkePkji j ?? ?? )(中的樣本點數(shù)中的樣本點數(shù)SAAP ?（ ） 若事件 A 包含 k 個基本事件，即 },{21 kiii eeeA ?? 則有 所以，在等可能概型中事件 A 發(fā)生的概率 為 古典概率的性質(zhì) 1)(0 1 ?? AP、1)(2 ??P、)()(11 ????nknkkk APAP ?規(guī)范性 有限可加性 對于互不相容的事件 有 nAAA , , , 21 ?非負性 基本計數(shù)原理 這里我們先簡要復(fù)習(xí)一下計算古典概率所用到的 1. 加法原理 設(shè)完成一件事有 m種方式， 第一種方式有 n1種方法， 第二種方式有 n2種方法 , … ； 第 m種方式有 nm種方法 , 無論通過哪種方法都可以完成這件事， 則完成這件事總共 有 n1 + n2 + … + nm 種方法 . 這樣就把求概率問題轉(zhuǎn)化為 計數(shù)問題 . 排列組合是計算古典概率的重要工具 . 基本計數(shù)原理 則完成這件事共有 種不同的方法 . mnnn ??? ?212. 乘法原理 設(shè)完成一件事有 m個步驟， 第一個步驟有 n1種方法， 第二個步驟有 n2種方法 , … ； 第 m個步驟有 nm種方法 , 必須通過每一步驟 ,才算完成這件事， 加法原理和乘法原理是兩個很重要計數(shù)原理，它們不但可以直接解決不少具體問題，同時也是推導(dǎo)下面常用排列組合公式的基礎(chǔ) . 排列、組合的幾個簡單公式 排列和組合的區(qū)別： 順序不同是 不同的排列 3把不同的鑰匙的 6種排列 而組合不管 順序 從 3個元素取出 2個 的排列總數(shù)有 6種 從 3個元素取出 2個 的組合總數(shù)有 3種 623 ?P323 ?C（ 1）排列 : 從 n個不同元素取 k個 （ 1 k n)的不同排列總數(shù)為： ? ?k = n時稱全排列 !12)2)(1( nnnnpA nnn ?????? ?排列、組合的幾個簡單公式 )!(!)1()2)(1(knnknnnnP kn ??????? ?A B D C 例如： n=4, k =3 第 1次選取 第 2次選取 第 3次選取 B D C B C D B D C …… 2423434 ????P2412344 ?????P從 n個不同元素取 k個（允許重復(fù)） （ 1 k n)的不同排列總數(shù)為： ??knnnn ?? ?例如：從裝有 4張卡片的盒中 有放回地摸取 3張 3 2 4 1 n=4,k =3 1 2 3 第 1張 4 1 2 3 第 2張 4 1 2 3 第 3張 4 共有 =43種可能取法 !)!(!! kknnkPCknkn ???（ 2）、組合 : 從 n個不同元素取 k個 （ 1 k n)的不同組合總數(shù)為： ? ?knC常記作 ????????kn ，稱為組合系數(shù)。 !kCP knkn ?? 組合系數(shù) 又常稱為二項式系數(shù)，因為 它出現(xiàn)在下面的二項式展開的公式中： ????????kn（ 3）、組合系數(shù)與二項式展開的關(guān)系 knknkn baknba ??? ?
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