【正文】 工程彈塑性力學(xué) (有限元、塑性力學(xué)部分 ) 演示稿 第 0章 平面問題的有限單元法 概述、基本量及基本方程的矩陣表示 有限單元法的概念 位移模式與解答的收斂性 單元剛度矩陣 等效結(jié)點荷載 整體剛度矩陣 單元劃分應(yīng)注意的問題 概述、基本量及基本方程的矩陣表示 ? 彈性力學(xué)問題的求解方法： 解析方法：函數(shù)解、級數(shù)解 ——少數(shù)簡單問題 數(shù)值方法： ? 有限單元法的發(fā)展概況 1956年提出 196070年代理論基礎(chǔ)研究 1960至今：實際工程應(yīng)用、復(fù)雜問題理論研究 通用有限元軟件： SAP、 ADINA、 NASTRAN ANSYS、 ABAQUS等 差分法、變分法 有限單元法：適應(yīng)性強，概念直觀 ? 基本量及基本方程的矩陣表示 1. 基本量： 2. 基本方程： TTTTxyyxTxyyxYXpYXpvuf][}{:][}{:][}{:,][}{:,][}{:?????面力，體力，位移應(yīng)變應(yīng)力????tsss（平面應(yīng)力問題）彈性矩陣，物理方程幾何方程??????????????????????????210001011][:][}]{[}{:][}{:2?????s?EDDDyuxvyvxuT 3. 虛功方程： 外力虛功 =內(nèi)力虛功 在集中力 {F}作用下，虛功方程簡化為 {F}=[U1 V1 U2 V2 … Un Vn]T 為結(jié)點力向量； nhcuj7d3=[u1 v1 u2 v2 … un vn]T 為結(jié)點位移向量。 yxspfyxpf TTT dd}{*}nhcuj7d3{*}{dd}{*}{ ??? ???? s?yxtF TT dd}{*}{}{*}{ ??? s?d 有限單元法的概念 1. 離散化 劃分為有限數(shù)目、有限大小的單元。 ? 平面問題的常用單元： rg 連續(xù)體 三結(jié)點三角形單元 六結(jié)點三角形單元 矩形單元 任意四邊形單元 8結(jié)點曲邊四邊形單元 2. 單元分析 建立： {F}e=[k]nhcuj7d3e [k]： 單元剛度矩陣 單元結(jié)點力向量 {F}e=[Ui Vi Uj Vj Um Vm]T 單元結(jié)點位移向量 nhcuj7d3e=[ui vi uj vj um vm]T ? 體力、面力 ——? 等效結(jié)點荷載 3. 整體分析 建立： {F}=[K]nhcuj7d3， [K]： 整體剛度矩陣 由各結(jié)點平衡 {F}={R}， 得有限元方程： [K]nhcuj7d3= {R} 靜力等效 y ui , (Ui) i x vi , (Vi) uj j vj um m vm 位移模式與解答的收斂性 1. 什么是位移模式（位移函數(shù)） 利用單元的結(jié)點位移將整個單元的位移分量表 示為坐標(biāo)的函數(shù)。 2. 三結(jié)點三角形單元的位移模式 設(shè)： u=a1+a2 x+a3 y v=a4+a5 x+a6 y 系數(shù) a1~a6由結(jié)點位移 ui , vi , uj , vj , um , vm確定。 y x P i j m ? 將位移模式寫成結(jié)點位移的顯式： u= Niui+ Njuj +Nmum v= Nivi+ Njvj +Nmvm Ni、 Nj、 Nm： 形函數(shù) (插值函數(shù) ) y x P i j m ),(,111111輪換mjiyxyxyxyxyxyxNmmjjiimmjji?Ni(x, y) i j m 1 ? 形函數(shù)的性質(zhì) (1) (Ni )i=1， (Ni )j=0， (Ni )m=0 (2) 單元內(nèi)任一點： Ni+Nj+Nm=1 3. 位移模式的矩陣表示 Ni(x, y) i j m 1 為形函數(shù)矩陣其中 ??????????????????????????mjimjiemmjjiimmjjiiNNNNNNNNvNvNvNuNuNuNvuf000000][}]{[}{ d4. 位移模式應(yīng)滿足以下條件，才能保證有限元解答收斂： (1) 位移模式必須能反映單元的剛體位移 (2) 位移模式必須能反映單元的常量應(yīng)變 (3) 位移模式應(yīng)盡可能反映位移的連續(xù)性 ? 三結(jié)點三角形單元的完備性和連續(xù)性： (1) 反映剛體位移： (2) 反映常量應(yīng)變： ?x=a2， ?y=a6， ?xy=a2+a3 必要條件 充分條件 xxyvyyxu2222353564353521aaaaaaaaaaaa????????????? 三結(jié)點三角形單元的完備性和連續(xù)性： (3) 位移連續(xù)性： ▲ 單元內(nèi)：單值連續(xù)； ▲ 相鄰單元之間： uij(1)=uij(2)？ vij(1)=vij(2) ？ ij邊的方程： y=ax+b， 則 uij=a1+a2 x+a3(ax+b)= cx+d uij(1)、 uij(2)均為坐標(biāo)的線性函數(shù)，故可由 i、 j兩點的結(jié)點位移唯一確定。 y x (2) i j m p (1) 單元剛度矩陣 建立： {F}e=[k]nhcuj7d3e 單元剛度矩陣： 結(jié)點位移 位移 應(yīng)變 應(yīng)力 結(jié)點力 nhcuj7d3e ——?{f} ——?{?} ——?{s} ——? {F}e 物理方程 幾何方程 位移模式 虛功方程 {f }=[N]nhcuj7d3e {?}=[B]nhcuj7d3e {s}=[S]nhcuj7d3e ， [S]= [D][B] {F}e=[k]{d }e， [k]= [B]T [D] [B]tA ytxBDBk T dd]][[][][ ???y ui , (Ui) i x vi , (Vi) uj j vj um m vm [B]： 應(yīng)變矩陣； [S]： 應(yīng)力矩陣； 三結(jié)點三角形單元中， [B]、 [S] 的元素均為常數(shù)，故這種單元又稱 常應(yīng)變單元，或常應(yīng)力單元。 y ui , (Ui) i x vi , (Vi) uj j vj um m vm ),(,),(,21212121)1(4][,][2輪換。 mjixxcyybmjisrbbcccbbcbccbccbbAEtkkkkkkkkkkkmjimjisrsrsrsrsrsrsrsrrsmmmjmijmjjjiimijii???????????????????????????????????????????? [k]元素的物理意義 kpq： 第 q個結(jié)點位移分量為單位位移（其它結(jié)點位移 =0），所引起的第 p個結(jié)點力分量。 如 k25： ? [k]的性質(zhì)： (1) 對稱性： kpq= kqp (2) 奇異性； (3) 每行（列）元素之和為零。 (4) [k]取決于單元的形狀、方位和彈性常數(shù)，與所在位置（即平移或 np 轉(zhuǎn)動）無關(guān)。 y ui , (Ui) i x vi , (Vi) uj j vj um m vm 等效結(jié)點荷載 ? 非結(jié)點荷載需等效移置 到結(jié)點上。 ? 移置原則：靜力等效原則 ——原荷載與移置后的結(jié)點荷載在任意虛位移上所作虛功相等。 ? 集中荷載 {P}的移置： {R}e=[N]T{P} ? 分布體力 {p}的移置： ? 分布面力 {p}的移置： yxpNtR A Te dd}{][}{ ???spNtR s Te d}{][}{ ??y Xi i x Yi Xj j Yj Xm m Ym Px Py P 整體剛度矩陣 ? 整體剛度矩陣可由結(jié)構(gòu)的 各單元剛度矩陣集成。 1. 劃分單元： 4個單元， 6個結(jié)點 編號：單元 (1)~(4)；結(jié)點 1~6 2. 局部編碼與整體編碼的關(guān)系： y x 1kN/m 1m 1m 1m 1m 1 2 3 4 5 6 (1) (2) (3) (4) (1) (2) (4) (3) i j m i j m 局部碼 整體碼 單元號 (1) (2) (3) (4) i j m 3 1 2 5 2 4 2 5 3 6 3 5 3. 計算單剛 4. 對號入座，形成總剛 ??? ?????????????)4()2()1()1()1()1()1()1()1()1()1()1(][,][,][ kkkkkkkkkkkkmmmjmijmjjjiimijii????????????????????????)3()1()1()3()2()1()1()1(][miimijiijjmmmjjjkkkkkkkkK? 整體剛度元素 Kpq的物理意義 結(jié)構(gòu)第 q個結(jié)點位移為單位位移（其它結(jié)點位移 =0）時，所引起的第 p個結(jié)點力。 ? [K]的性質(zhì)： (1) 對稱性 (Kpq= Kqp), 主對角元素必為正 ； (2) 稀疏性，且一般為帶狀分布； 平面問題最大半帶寬 = 2?(單元結(jié)點號之差最大值 +1) (3) 引入約束條件后為正定矩陣。 ? 利用對稱稀疏性， [K]可用半帶寬存儲。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ?????????????????????????????????對稱???69686658575655474544363533252423221412110000][KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK0 答： 例：試求圖示結(jié)構(gòu)總剛 [K]中 的 2?2子塊 [K41]、 [K42]、 [K44]、 [K45]、 [K46]。 已知兩種單元的剛度矩陣均為： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (1) (2) (3) (1) (3) (2) i j m i j m ????????????