【正文】 167。 量子躍遷理論與不含時(shí)微擾論的關(guān)系 一、不含時(shí)微擾論所處理的兩類問題 上學(xué)期我們學(xué)習(xí)了微擾論。仔細(xì)分析一下， 發(fā)現(xiàn)這種微擾論實(shí)際上處理兩類問題 1. 純粹是求能量本征值問題的一種技巧 即人為地把 分成兩部分， ，其中 的本征值問題已有解或容易求解。然后 逐級把 的影響考慮進(jìn)去，以求得 的更為精確的解 HHH ??? 0 ???0?HH?? H ? H ? 例如， Stark效應(yīng)、 Zeeman效應(yīng)等。 在此過程中， 實(shí)際上是隨時(shí)間變化的。但 人們通常仍用不含時(shí)微擾論，即定態(tài)微擾論 來處理。 39。H2. 真正加上了某種外界微擾 這樣做是否合理？我們分析一下。 式中參數(shù) 表征微擾加 進(jìn)來的快慢。 表示 微擾無限緩慢地引進(jìn)來。 的變化如右圖所示： ????)(39。 tH設(shè) ,)( ???? teHtH )0( ???? t1) 長時(shí)微擾 )(t設(shè) 時(shí)體系處于 的 非簡并態(tài) ，按微 擾論一級近似公式 ??t0H k.1)( 0 dtHeitC kkt tikk kk ??? ?? ? ?? 時(shí)刻體系躍遷到 態(tài) 的波幅為 0?t k? )( kk ???????? ??????? ???? ? titkHkdtiCkkkk e xp)0(0)1(????????? 1kkikHki? ,kk EEkHk????????? ??利用初始條件 kkkkC ?? ???? )()0(來自 ,)(???? teHtH及前面所給公式 ntiEnnk Ct ????? ?)()(,)0( 39。?? ????????k kkkEEkHkk上式右邊第一項(xiàng)是 的非簡并本征態(tài) ， 第二項(xiàng)正是微擾 帶來的一級近似修正。 0H kH?此式正好是定態(tài)微擾論中 的一個 本征態(tài)。 39。0 HHH ??但這種微擾是“ 絕熱地 ”引進(jìn)來的，即微擾時(shí) 間參數(shù) 比所處理體系的特征時(shí)間長得多 . 或者說，體系有足夠的時(shí)間調(diào)整自己的狀 態(tài)來應(yīng)對外界的微擾。所以可以用定態(tài)微擾 論來處理。 ?可以求出準(zhǔn)確到一級近似下的波函數(shù) 上次課復(fù)習(xí) ,)(dd)(dd 2tCttPtw nknknk ??ntiEnnk Ct ????? ?)()(tHeitC kkt ikk kk d1)(0)1(??? ?? ???對含時(shí) Hamilton體系，有 則 含時(shí)微擾論的一級近似解為 主要學(xué)習(xí)了含時(shí)微擾論 : ,)()( 2tCtP nknk ????????? ??mmn l mmlnlnnl PlP,121有簡并的情況下躍遷幾率為 通過與含時(shí)微擾論比較，發(fā)現(xiàn)非含時(shí)微擾論主要處 理兩類問題： 1）純粹是求能量本征值問題的一種技巧 2）真正加上了某種外界微擾 而當(dāng)這種微擾是緩慢地、絕熱地加進(jìn)來時(shí)，可 以用定態(tài)微擾論來代替含時(shí)微擾論 但當(dāng)這種微擾是常微擾，且持續(xù)有限時(shí)間時(shí)，即有限常微擾時(shí)，如何處理 ? 2) 有限常微擾 即常微擾只在一定時(shí)間間隔中起作用。 設(shè) ? ?,)()()( TttHtH ???????其中 為階梯函數(shù)， 定義為 )(t????????.0,1。0,0)(ttt如右圖。 則在時(shí)刻 ，微擾 導(dǎo)致的體系從 態(tài) 到 態(tài)的躍遷振幅的一級近似為 t )(39。 tH39。kk39。.)39。(1)( 39。)1( dttHeitC kkt tikk kk ????? ?? ???分部積分，得 .)()(39。)1( tdetHetHtC tkktikkkktikkkkkkkk??????????? ??????????????u vd當(dāng) t T后 ,上式右邊第一項(xiàng)為 0，利用公式 tHtHtH?????????????? 39。39。)(39。及 )(1lim0ttt?????????),1( Tikkkk kkeH ???? ?????? ?kktitkkkkeTttHtd???? ? ??????????? ?39。)()(第二項(xiàng)化為 .)()(39。)1( tdetHetHtC tkktikkkktikkkkkkkk??????????? ??????????????下式 因此，躍遷幾率 為 )( kk ??2239。21)()( TikkkkkkkkeHtP???? ?? ??? .)2()2(s in2222kkkkkk TH????????下面我們利用上述結(jié)論來討論散射問題中的一個重要公式 而 隨 變化的曲線如下圖所示： 22)2()2(s inkkkk T???? kk??二、 Fermi黃金規(guī)則 對公式 )(tP kk?2222)2()2(s inkkkkkk TH????????當(dāng)微擾作用的時(shí)間間隔 T足夠長 時(shí)， 只在 的 一個窄范圍中不為 0。 見右圖。 )1( ??? ? Tkk))(( TttP kk ?? 0~kk??1. 躍遷速率 利用公式 ),(s inlim 22xx x ? ? ??????則有 )2()2()2(s i nlim22kkkkkkTTT ??????????? ),(2kkT ?????因此，當(dāng) 時(shí)， TtTkk ????? ,1?,)(2)( 22 THtP kkkkkk ??? ????? ?而單位時(shí)間的躍遷幾率（躍遷速率）為 TPw kkkk ?? ?)(2 22 kkkkH ?? ????? ? ? ?.2 2 kkkk EEH ????? ???kkw? ? ?kkkk EEH ???????22?從公式 中可以看出： ① 如常微擾只在 起作用，則只要 足夠 長（遠(yuǎn)大于體系的特征時(shí)間），則躍遷速 率與時(shí)間無關(guān)； ),0( T T② 只有 當(dāng)末態(tài)能量 和初態(tài)能量 相近的情 況下，才有可觀的躍遷發(fā)生。而 恰是常微擾作用下體系能量守恒的反映。 kE? kE)( kk EE ?? ?﹟ 2. 黃金規(guī)則 前面我們講過，一級微擾論成立的條件是： 躍遷幾率很小，體系有很大幾率仍停留在 初始狀態(tài)。 但在公式 kk?? ? ?kkkk EEH ???????22?中出現(xiàn)了 函數(shù)，與 有關(guān)。此時(shí)一級微 擾論還成立嗎？ ??解釋： δ 函數(shù)出現(xiàn)上述公式中只有當(dāng)能量連續(xù)變化的情況下才有意義。 此時(shí)我們對所有能量積分時(shí)， δ 函數(shù)就被積分掉，不存在 ∞問題 了。 設(shè) 表示體系 的末態(tài)的態(tài)密度，即在 范圍中的末態(tài)數(shù)為 。 因此，從初態(tài) 到 附近一系列可能 末態(tài)的躍遷速率之和（求積分）為 )( kE ?? )( 0H)d,( kkk EEE ??? kk EE ??? d)(k kk EE ~?? ????? kkkk wEEw )(d.)(2 2kkk HE ?????上式應(yīng)用很廣，非常有價(jià)值，故人們習(xí)慣 稱之為 Fermi黃金規(guī)則 (golden role). 物理含義容易理解： 躍遷速率與能態(tài)密度 成正比，與躍遷矩陣元的平方成正比。 利用公式 ? ?kkkkkk EEHw ?? ??? |39。|2 39。39。 ?下面看 Fermi黃金規(guī)則在實(shí)際問題中的應(yīng)用。 3. 黃金規(guī)則的應(yīng)用 彈性散射 前面我們學(xué)習(xí)過，對于一維入射粒子，碰到 勢壘后會發(fā)生反射和透射，而且反射和透射 系數(shù)定義為 ),1( ???????TRjjTjjRitir對于三維粒子，入射粒子沿確定方向入射， 動量為 （取為 軸方向）。在受到靶子作 用 （視為微擾 ）后，可以沿不同方向 出射，相應(yīng)的幾率也與出射方向有關(guān)。 p? z)(rV ? 39。H或者說，出射粒子有一個角分布，見下圖： 設(shè)出射粒子的動量為 ，與入射粒子動量方 向 夾角為 。對于彈性散射， 。 39。p?p? ? pp ?? ?39。采用平面波近似，入射波表為 23Le rpi ??? ?利用流密度公式 可以算出入射流密度為 .).?(2 * ccpmij ????? ?出射波表為 2339。 Le rpi ??? ?,33 LvmLpj i ??這樣 .)(d1 )39。(33 ? ??? ?? ??? rppikk errVLH令 表示動量轉(zhuǎn)移，則 ppq ???? ?? 39。? ?? ?? rqikk errVLH ??? )(d1 33 3/)( LqV ??式中 ? ??? rqierrVqV ??? )(d)( 3是 的 Fourier變換。 )(rV ?設(shè)沿 角方向的立體角 中出射粒子的末 態(tài)密度為 ，則能量在 范圍內(nèi)的 末量子態(tài)數(shù)為 ? ?d? )d,( kkk EEE ?323 )2(dd ???? ppL323 ddd h ppLE ????其中：相空間中的一個體積元 相當(dāng)于一 個量子態(tài) 3h在相對論和非相對論條件下，都可以證明： v dpdE ? v 是粒子的速度 .下面舉例證明相對論的情況 . pvd?ppcEE d2d2 2?2220/1 cvcmE??,/1 220 cvvmmvp???,224202 pccmE ?? 所以 故 pcmcvcvvmc d/1/1 20222202 ???pEpcE dd 2? 在相對論情況下，因?yàn)? 323)2(d?????vpL 將上式及 kkH?? 3/)( LqV?? 代入黃金規(guī)則公式 w2)(2kkk HE ??????.)(1)2(239。 23323qVLvdpLdw?? ????得到沿 角方向的 立體角中出射的速率為 ? ?d323 )2(ddd